關(guān)于積分限函數(shù)的小結(jié)----習題課選例

1、關(guān)于積分限函數(shù)的小結(jié)關(guān)于積分限函數(shù)的小結(jié)-習題課選例習題課選例積分上限函數(shù)（或變上限定積分）( )( )xaF xf t dt的自變量是上限變量x，在求導時，是關(guān)于x求導，但在求積分時，則把x看作常數(shù)，積分變量t在積分區(qū)間,xa上變動。 弄清上限變量和積分變量的區(qū)別是對積分限函數(shù)進行正確運算的前提。 定理 1 如果)(xf在,ba上可積，則xadttfxF)()(在,ba上連續(xù). 定理 2 如果)(xf在,ba上連續(xù)，則xadttfxF)()(在,ba上 可 導 ， 且).()()(xfdttfdxdxFxa 一一 關(guān)于積分限函數(shù)的理論關(guān)于積分限函數(shù)的理論注： （）從以上兩個定理可看出，對)(

2、xf作變上限積分后得到的函數(shù)，性質(zhì)比原來的函數(shù)改進了一步： 可積改進為連續(xù)； 連續(xù)改進為可導。 這是積分上限函數(shù)的良好性質(zhì)。 而我們知道， 可導函數(shù))(xf經(jīng)過求導后， 其導函數(shù))(xf 甚至不一定是連續(xù)的。 （）定理（2）也稱為原函數(shù)存在定理。它說明：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，并通過定積分的形式給出了它的一個原函數(shù)。我們知道，求原函數(shù)是求導運算的逆運算，本質(zhì)上是微分學的問題；而求定積分是求一個特定和式的極限，是積分學的問題。定理（2）把兩者聯(lián)系了起來，從而使微分學和積分學統(tǒng)一成為一個整體，有重要意義。 推論 1 )()(xfdttfdxdbx 推論 2 )()()()(xxfdttfdxdxc

3、推論 3 )()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx （1） 比如 xdttftxxF0)()()( (被積函數(shù)中含 x , 但 x 可提到積分號外面來.) 在求)(xF時，先將右端化為xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再對x求導。 二二 積分上限函數(shù)的幾個變式積分上限函數(shù)的幾個變式（2）比如 xdtxttfxF0)()( ( f 的自變量中含 x, 可通過變量代換將 x 置換到 f 的外面來) 在求)(xF時， 先對右端的定積分做變量代換xtu（把x看作常數(shù)） ， 此時，dudt ，0t時，xu；xt 時，0u，這樣，)(xF就化

4、成了以u作為積分變量的積分下限函數(shù)：000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF，然后再對 x 求導。 ( 3 ) 比如 10)()(dtxtfxF (這是含參數(shù) x 的定積分, 可通過變量代換將 x 變換到積分限的位置上去) 在求)(xF時，先對右端的定積分做變量代換xtu （把x看作常數(shù)） ，此時，xdudt ，0t時，0u；1t時，xu ，于是，)(xF就化成了以u作為積分變量的積分上限函數(shù)：xduufxxF0)(1)(，然后再對 x 求導。 （1） 極限問題： 例 1 xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2 （答：12） 例 2 xdttxx0sinlim （提示：本題用洛必達法則求不出結(jié)果，可用夾逼準則求。 答：2） 例 3 已知極限1sin1lim00 xxxdtcttabxe， 試確定其中的非