系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)PPT課件

1、13.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定的充要條件和屬性q 穩(wěn)定的基本概念： 設系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當外作用消失后，如果經過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng) 。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。第1頁/共43頁2定義1：對于線性定常系統(tǒng)，在任何一組初始條件下，若輸入x(t)=0，當t時，系統(tǒng)的輸出及其各階導數(shù)為零，即則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。0)(lim.)(lim)(lim)1(tytytynttt定義2：對于線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，加入一個有界的輸入，總引起一個有界的輸出，則稱該系

2、統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定系統(tǒng)。即當 時，如果 則0)0(.)0()0()1(nyyy10)(Ktxt20)(Ktyt3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定的定義和定理第2頁/共43頁3設系統(tǒng)或元件的微分方程為：)(.)()()(.)()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatymmmmnnn上式右邊第一項為零狀態(tài)解，對應與由輸入引起的響應過程。011101110111.)(.)(asasassXasasasbsbsbsbsYnnnnnnmmmm多項式系數(shù)取決于初始條件的)().()().(01110111sXbsbsbsbsYasasasmmmmnnn+系數(shù)取決于初始條件

3、的多項式)()()(21tytyty)0,);10( ,mjbniaji式中：x(t)輸入，y(t)輸出為常系數(shù)。將上式求拉氏變化，得(初始值不全為零）第二項為零輸入解，對應于由初始狀態(tài)引起的響應過程。 3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定的充要條件和屬性第3頁/共43頁4)2()(.)(22110111221kkknkjnjnnnspsasasassY多項式系數(shù)取決于初始條件的多項式系數(shù)取決于初始條件的211222121)(nkkkkkkkkkknjjjsscsbpsatectebeatykktnkkkktnkknjtpjkkkkj2121121sin1cos)(221q 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定

4、的充要條件： 系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復根?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半開平面。時域表達式為：前面討論的當外作用消失后，如果經過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)可看作第二項經過足夠長的時間變?yōu)榱恪?.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定的充要條件和屬性第4頁/共43頁5對有界輸入有界輸出穩(wěn)定系統(tǒng)可看作當輸入有界(如階躍輸入)時，第一項在足夠長的時間內輸出有界并趨于有限值。3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第5頁/共43頁6)()()(.)(011101111sXssXasasasbsbsbsbsYnnnmmmm其單位階躍響應函數(shù)為：2

5、1122210121)(1)()(nkkkkkkkkkknjjjsscsbpsasasssY0tnmnnnsspszsksnjnkkkkjmiig，21112212)2()()()(123.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定的充要條件和屬性第6頁/共43頁73.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)110)(njtpjjeaatctectebkktnkkkktnkkkkkk21211sin1cos22時域表達式為：第7頁/共43頁8定理1：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)的全部特征根都位于s左半開平面，即系統(tǒng)的特征方程的根全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復根。定理2：線性定常系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定

6、系統(tǒng)的充要條件為系統(tǒng)的全部極點都位于s左半開平面。3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第8頁/共43頁9 如果特征方程中有一個正實根，它所對應的指數(shù)項將隨時間單調增長； 如果特征方程中有一對實部為正的共軛復根，它的對應項是發(fā)散的周期振蕩。 上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果特征方程中有一個零根，它所對應于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)； 如果特征方程中有一對共軛虛根，它對應于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定mIeRS平面3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)充要條件說明 從控制工程的角度認為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。第9頁

7、/共43頁10 對于一階系統(tǒng)， 只要 都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。, 01001aasasa10,aa 對于二階系統(tǒng)，2022112, 1012224, 0aaaaasasasa只有 都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。(負實根或實部為負)210,aaa 對于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結構參數(shù)有關，與輸入輸出信號無關，與初始條件無關；只與閉環(huán)極點有關，與零點無關。3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)充要條件說明第10頁/共43頁11二、 勞思赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù) 勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為

8、1，3，5，項系數(shù)組成，第二行為2，4，6，項系數(shù)組成。則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：q 特征方程的全部系數(shù)為正值； q 由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。0.0111asasasannnn設線性系統(tǒng)的特征方程為1132132132153142.gfdddcccbbbaaaaaannnnnn014321.sssssssnnnnn3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)第11頁/共43頁12114321432143217531642.gfddddccccbbbbaaaaaaaannnnnnnn014321.sssssssnnnnn以下各項的計算式為： 由該項元素前兩行的第一列和后一列構成的

9、行列式取負值再除以上一行第一列元素。132113121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab154115142nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab176117163nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)第12頁/共43頁13014321sssssssnnnnn114321432143217531642.gfddddccccbbbbaaaaaaaannnnnnnn11231121311bababbbbaacnnnn11351131512bababbbbaacnnnn11471141713bababbbbaacnnnn141413131312

10、121211ccbbcdccbbcdccbbcd依次類推。可求得,.)2 , 1,.(,igfeiii3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)第13頁/共43頁14例：特征方程為： ，試判斷穩(wěn)定性。0012233asasasa解：勞斯陣為：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa穩(wěn)定的充要條件為：0123,aaaav 均大于零00321aaaav且3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)例子第14頁/共43頁15特殊情況下勞斯陣列的列寫及結論：q 用一個正數(shù)去乘或除某整行，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結論；q勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半

11、平面上有極點，右極點個數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。例：系統(tǒng)的特征方程為：054322345sssss012345ssssss-1 3 0（2）1 0 0（ ） 329勞斯陣第一列有負數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。53241105 . 15 . 0059009320051 3 01 0 03.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)特殊情況第15頁/共43頁16q 勞思陣某一行第一列系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。例0122234ssss01234sssss22111令 則 故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。22 0 處理辦法：用很小

12、的正數(shù)代替零的那一項，然后據(jù)此計算出勞斯陣列中的其他項。若第一列零(即)的項與其上項或下項的符號相反，計作一次符號變化。1012211103.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)特殊情況第16頁/共43頁17q 勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號相反的一對實根，或一對共軛虛根，或對稱于虛軸的兩對共軛復根。例如:)2)(25)(1(5025482422223451ssssssss)1)(1)(1)(1(442jsjsjsjss處理辦法：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，將此輔助方程式對s求導所得方程的系數(shù)

13、代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應為偶次數(shù)的。3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)特殊情況第17頁/共43頁18例：0161620128223456ssssss0123456sssssss016122016122162081 從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時還要計算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：0)4)(2(22ss2,2,4, 32, 1jsjs輔助方程為： ，求導得： ，或 ，用1，3，0代替全零行即可。08624 ss01243ss033ss 此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J為是不穩(wěn)定的。8318301

14、23456sssssss0008618611620811 33.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)特殊情況第18頁/共43頁193.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)（二）、赫爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù)設系統(tǒng)的特征方程式為：0.0111asasasannnn則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，且由特征方程系數(shù)構成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。0na赫爾維茨行列式的構造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數(shù) 至最后一項系數(shù) ，在主對角線以下各行中各項系數(shù)下標逐次增加，在主對角線以上各行中各項系數(shù)下標逐次減小。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。 1na0a021425316427531.00

15、000.0000.00.000.000.00.aaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnn赫爾維茨行列式：nn第19頁/共43頁20以4階系統(tǒng)為例使用赫爾維茨判據(jù)：001223344asasasasa赫爾維茨行列式為：0241302413000000aaaaaaaaaa穩(wěn)定的充要條件是：014a、00214232413231aaaaaaaaa，、0000413024133，aaaaaaa3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨判據(jù)第20頁/共43頁21系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件林納特-戚伯特(Lienard-Chipard)定理：若 或 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。),0(01niai、,.)5

16、 , 3 , 1( 02jj、,.)6 , 4 , 2( 0jj赫爾維茨判據(jù)的另一種形式： 式中， 為赫爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計算工作量。j可以證明勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)是等價的，即11na121b231c341d3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨判據(jù)的另一種形式第21頁/共43頁22（三）勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應用q 判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-4 系統(tǒng)的特征方程為： ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。05432234ssss解：排列勞斯陣如下：00500605104253101234sssss因為， ，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符

17、號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。 )40( , 0iai3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第22頁/共43頁23例3-5：系統(tǒng)的特征方程為： 試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。 014 . 02 . 005. 0001. 0234ssss解：系統(tǒng)的特征方程為： 0100040020050234ssss列胡爾維茨行列式如下：10002001004005000100020010040050, 0501, 02001400502040050010002001040050301, 01000434a且所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于 所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計算 這樣可以減小一半的計

18、算量。, 0ia。、即可或42313.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第23頁/共43頁24例3-6系統(tǒng)的特征方程為： 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點并畫出極點分布圖。04623482422345sssss解：勞斯陣如下0004648223241345sss 行全為零。由前一行系數(shù)構成輔助方程得：3s2324)(46482)(2424sssQsssQ或其導數(shù)為： 將 4,48 或 1,12 代替 行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：sssQ484)(33s0023001 .100231201212324123241012345ssssss )50( , 0iai因為 行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解

19、如下：1,230) 1)(23(, 0)(4, 32, 122jsjssssQ，有令3s由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第24頁/共43頁25設剩余的一個根為-p。則： ，整理得：0)2324)(24ssps0232324242345pspsspss比較系數(shù)得：-p= -2極點分布如下：23j23j1 j1 j2注意：勞斯判據(jù)實際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對于虛軸上的根要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有對稱于虛軸的實根或共軛復根，則一定在勞斯表的第一列有變號，并可由輔助方程求出3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第25頁/共4

20、3頁26q 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù) 。pK例已知系統(tǒng)的結構圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。)5)(3(sssk解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ksssksssksssks158)5)(3(1)5)(3()(23特征方程為：015823ksss3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第26頁/共43頁27勞斯陣：kkkssss0812081510123要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，有0k勞斯陣第一列皆大于0，有12008120kk120pk所以，臨界

21、放大系數(shù)12000120kkk特征方程為：015823ksss3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第27頁/共43頁28 利用實部最大的特征方程的根 p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則 ，表示穩(wěn)定裕量為0。0 作 的垂線，若系統(tǒng)的極點都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-赫爾維茨判據(jù)進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。s zsq 確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度） 利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實際系統(tǒng)中，往往需要

22、知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第28頁/共43頁29例已知系統(tǒng)的結構圖，為使系統(tǒng)特征方程的根的實數(shù)部分不大于-1，試確定k值的取值范圍。)5)(3(sssk解：閉環(huán)特征方程為： 現(xiàn)以 s=x-1代入上式，得015823ksss082523kxxx勞斯陣：8051885210123kkkxxxx要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，8k勞斯陣第一列皆大于01888180518有kkkk188 k所以，此時k的取值范圍為3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第29頁/共43頁30 討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點離虛軸遠近外，還要考慮共軛極點的振蕩

23、情況。對于共軛極點，其實部反映響應的衰減快慢，虛部反映響應的振蕩情況。對于極點 ，對應的時域響應為 。所以， 越小，衰減越慢， 越大，振蕩越激烈。如下圖示意：dj)sin(tedtddj可用共軛極點對負實軸的張角 來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。當 時，表示極點在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。 越小，穩(wěn)定性越高。相對穩(wěn)定性越好。903.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第30頁/共43頁31三、結構不穩(wěn)定系統(tǒng) 及其改進措施僅僅調節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q-杠桿和放大器的傳遞函數(shù)執(zhí)行電機的傳遞函數(shù)進水閥門的傳遞函數(shù)控制對象水箱的傳遞函數(shù)放大器電動機減

24、速器進水閥門電位器連桿浮子實際水位水池出水+-例：如圖所示的液位控制系統(tǒng)3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施第31頁/共43頁32閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 432124321) 1()(KKKKTssKKKKs4321KKKKK 令： 0) 1(2KTss閉環(huán)特征方程為： 023KsTs展開為： KaaaTa0123,0, 1,方程系數(shù)： 由于 ，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。01a勞斯表：KKTKTssss100123 由于無論怎樣調節(jié)參數(shù)K和T都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，所以是一個結構不穩(wěn)定的系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變原系統(tǒng)的結構。 3.5 系統(tǒng)

25、的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施第32頁/共43頁33 由圖可看出，造成系統(tǒng)結構不穩(wěn)定的原因是前向通路中有兩個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，而傳遞函數(shù)的分子只有增益K。這樣，造成系統(tǒng)閉環(huán)特征方程缺項，即s一次項系數(shù)為零。 因此，消除結構不穩(wěn)定的措施可以有兩種，一是改變積分性質；二是引入開環(huán)零點，補上特征方程中的缺項。0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q-3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施第33頁/共43頁34 改變積分性質：用反饋包圍積分環(huán)節(jié)，破壞其積分性質。0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q5K0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK

26、4H2Q1K積分性質的破壞將改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但會使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度下降。3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施第34頁/共43頁350H1Q1s) 1(321TssKKKsK4H2Q0H1Q) 1(321TssKKKsK4H2Qs 速度反饋 比例+微分3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施(3) 引入開環(huán)零點：第35頁/共43頁36閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ) 1() 1() 1()(2sKTsssKs閉環(huán)特征方程為： 023KsKsTsKaKaaTa0123, 1,方程系數(shù)： 勞斯表：KTKKKTssss)(10123引入比例+微分控制后，補上了特征方程中s一次項系數(shù)。故只要適當匹配參數(shù)，滿足上述條件，系統(tǒng)就可穩(wěn)定。穩(wěn)定的充分必要條件為： 即0ia0,0,0KT0)(TKT 即3.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)結構不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施第36頁/共43頁37例：倒立擺系統(tǒng)當忽略轉動慣量J時 MluMlgm