平面幾何中的一些重要定理及其分解

1、編號璨什即翁曙坯學(xué)士學(xué)位論文應(yīng)用學(xué)生姓名：如先古力阿布拉學(xué)號：20040101053_系部：數(shù)學(xué)系_專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：2004- (3)班_指導(dǎo)教師：阿吉木優(yōu)勒達(dá)希完成日期：2009 年月 10 日學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS2摘要在初等幾何中有很多著名的定理，在本論文中主要介紹了其中的梅涅勞斯定 理，德薩格定理，錫瓦定理，斯特瓦爾特定理，托勒密定理，西姆松定理等一些著 名而重要的定理并且通過實(shí)例說明了上述定理在平面幾何中的一些比較復(fù)雜的問 題上具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞：共線點(diǎn)；重心；截線；共點(diǎn)線；垂心學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS3目錄摘要.2.目錄.3.3

2、.引言.4.1.梅涅勞斯（MENELAUS定理.4.2.德薩格（DESARGUESS理.6.3.錫瓦（CEVA定理.9 94.斯特瓦爾特（STEWAVT定理.115.托勒密（PTOLEMY定理.126.西姆松（SIMSON定理.14總結(jié).16參考奉獻(xiàn).17致謝.18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS4引言幾何學(xué)是一門非常古老的數(shù)學(xué)科學(xué)，它以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式作為主要研究對 象。幾何學(xué)起源于土地測量。人們在幾千年的歷史過程中對幾何學(xué)進(jìn)行了繁復(fù)而深 入的研究得到了很多的結(jié)果，并且現(xiàn)已把幾何學(xué)發(fā)展成為一門具有嚴(yán)密的邏輯體系 的數(shù)學(xué)分支。人們在研究過程中從少量的公里出發(fā)，經(jīng)過演繹推理在理論

3、和實(shí)際方 面得到了不少結(jié)論，把這些結(jié)論通過了邏輯證明后成為定理，平面幾何中有不少定理，其中有一些很著名的定理。這些定理不僅在初等幾何，而且在高等幾何，解析 幾何射影幾何中的應(yīng)用范圍特別廣。在這些定理的基礎(chǔ)下我們可以推出很完美的數(shù) 學(xué)思想方法。這些定理的證明方法及其引申出的結(jié)論體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的完美，使人感到 學(xué)幾何是一種享受，使人開闊眼界，活躍思想。下面我介紹一些著名的定理和它們 在實(shí)際問題中的具體應(yīng)用：1. 梅涅勞斯（Menelaus）定理梅涅勞斯（Menelaus,約公元100年）定理是亞歷山大后期的數(shù)學(xué)家和天文學(xué) 家，著有“球面論”及幾何學(xué)，三角學(xué)書籍，初等幾何中用于證明三點(diǎn)共線的“梅 涅勞斯

4、定理”便是首先發(fā)現(xiàn)的，后來他又把這定理推廣到球面幾何。定理：一條直線截BC的三條邊AB,AC,BC（或其延長線）所得交點(diǎn)分別為證明：如圖，注意以XZ為底的三角形面積，可得 壓=SAXZ(1)XBSBXZBZ_SBXZ(2)ZC SCXZ得ABff=1說明： 此定理是證明點(diǎn)共線的有力工具， 它有多種證法，例如可利用線段的比X,Y,Z,則AX BZ CYXB ZC YACYYA SAXZ學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS5證之，上面采用的三角形面積法是其中之一。逆定理：在ABC的三條邊AB,AC,BC（或其延長線）上分別取點(diǎn)X,Y,Z，使AXBZ CYXB云士/，則X，Y，Z在同一直線

5、上AX BZ CY證明：延長ZY與AB相較于點(diǎn)X，則由梅涅勞斯定理茹云應(yīng)=1.由AX AX.A.A 竺且X，X都在AB上XB XB這說明點(diǎn)X與X分別內(nèi)分線段AB所得兩 線段的比相等。故X與X重合，即X,Y,Z在同一直線上。例1:設(shè)AD是ABC的邊BC的中線，任作一條直線分別交AB,AD,AC與P,Q,R,求證：PB,QD,RC成等差數(shù)列PA QA RARC，故PB,QD,RC成公差為零的等差RA PA QA RA數(shù)列若PR與BC不平行，則PR與BC有交點(diǎn)， 設(shè)交點(diǎn)為S，如圖，則在ABD和ADC中分 別運(yùn)用梅涅勞斯定理，可得BS DQ AP DS CR AQ 1,1,SD QA PB SC RA

6、 QD于是有，證明：若PR/BC,則空=如PA QAPBQDBSRCQDSCZ學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS6PA QA SD RA QA SD學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS7PBRC=QDBCSC,而D為BC的中點(diǎn)，所以BS SC二2SD .PA RA QASDPB RCQDPB QD RC從而-=2，即，成等差數(shù)列。PA RAQAPA QA RA例2:如圖，。和。與-ABC的三邊所在的三條直線都相切，E,F,G,H為切點(diǎn)，并且EG,FH的延長線交于P點(diǎn).求證：直線PA與BC垂直.證明： 延長PA交BC于點(diǎn)D直線PHF與L ABD的三邊延長線都相交， 直線PG

7、E與ADC的三邊延長線都相交，由梅涅勞斯定理，有BH二BF,CE =CG，所以空二些.DF DE連接OG ,O,E,O,A,O2A,O2H ,O2F,則QA。?為一條直線，且OG - GC,O2H BH又O.AG相似于O2AH，則二型,于是AD/ /O.E,故AD EF即直線PA與BC垂O2A AH DF直。2. 德薩格(Desargues )定理德薩格(Desargues，1593-1662)法國數(shù)學(xué)家，射影幾何的創(chuàng)始人。定理：如兩個三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線。分析：BC和A B C中，對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA ,BB ,CC交于同一點(diǎn)S，三BH DFAPAP CG DE十冃A

8、HBFAGCE于是-BHDFCGDE AH BF DP , DP AG CE ,1,1學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS8對對應(yīng)邊AB與AB,BC與BC,CA與CA（所在直線）的交點(diǎn)是D,E,F.我們證明D,E,F三點(diǎn)共線即可梅涅勞斯定理-SA ADBB. 1,AA DB BSAB,BC,CA所在直線上的點(diǎn)D,E,F滿足上式，由梅涅勞斯定理知D,E,F在同一直線上。德薩格逆定理：設(shè)兩個三角形ABC和ABC彼此對應(yīng)，使得對應(yīng)邊（所在直線）BC與BC的交點(diǎn)L,CA與C A的交點(diǎn)M AB與A B的交點(diǎn)N共線，則對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA,BB ,CC必共點(diǎn)或互相平行。證明：設(shè)O為AA與CC的交點(diǎn)

9、，我們證明BB也通過點(diǎn)O。在=LCC與UNAA中，由于對應(yīng)頂 點(diǎn)的連線LN,CA,CAH共點(diǎn)于M根據(jù)定理本身，下列三點(diǎn)，即LC與NA的交點(diǎn)B，證明：直線ABD與SAB的三邊所在直線SA AB,BS分別交于A ,D,B.由同理可得直線ACF,BCE分別于厶SCASBC交于C ,F,A和B ,E,C，所以SC CF AACC FA ASSB BE CCBB EC CS把上面三式的兩邊分別相乘得AD BE CFDB EC FA=1,即厶ABC的三邊學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS9CC與AA的交點(diǎn)O,LC與NA的交點(diǎn)B必共線。即是說BB應(yīng)通過AA和CC的 交點(diǎn)O學(xué)士學(xué)位論文BACHEL

10、OR S THESIS10若AA /CC則AA與BB必不相交，否則根據(jù)剛才的證明，CC應(yīng)通過他們的 交點(diǎn)了，與AA /CC的假設(shè)矛盾，所以這時AA ,BB；CC互相平行。說明：德薩格定理和它的逆定理在射影幾何中占重要地位。此定理的重要意 義不僅在于從它可以推出一系列射影幾何命題， 還在于它是平面射影幾何的基礎(chǔ)之 一。 此地證明時利用了綜合法，也可以用線性代數(shù)證明。因此，要構(gòu)作平面射影幾 何公里體系，往往把它作為公理。例3.證明三角形的外心，重心和垂心三點(diǎn)共線。證明：通常這一定理是用比例相似形證明的， 而用德薩格定理去證明就及其簡 便,現(xiàn)介紹如下：設(shè)H ,G和O分別為KABC的垂心，重心/ 和外

11、心。/ 連接AG,BG分別交BC,CA于D,E。圖，則D,E分別是BC,CA的中點(diǎn)于是在ABH，:DEO中，因?yàn)锳H /DO,BH /EO, AB/DE.即ABH與.DEO的三雙對應(yīng)邊的交點(diǎn)皆 為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。故皆在無窮遠(yuǎn)直線上，則由 德薩格定理知AD,BE與HO共點(diǎn)，而AD, BE的交點(diǎn)是重心G.故G在HO上，即垂心，重心和外心共線。例4.證明三角形的三中線共點(diǎn)。證明：如圖，若ABC的三邊中點(diǎn)分 別為D,E,F，貝U EF /BC, DE /AB,DF / /AC.學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS11對.ABC和：DEF，它們的對應(yīng)邊交點(diǎn)共無窮遠(yuǎn)直線.由德薩格逆定理，可 知其對應(yīng)頂

12、點(diǎn)的連線AD,BE,CF共點(diǎn)O。3. 錫瓦（ceva）定理證明共點(diǎn)線除上述方法外，還有一個有力工具，稱為錫瓦定理。此定理是意大 利數(shù)學(xué)家錫瓦（ceva）在1678年發(fā)表的。證明：如上圖，首先AX/BY,則YA BX代入已知條件得=C.這表明CZ /AX /BY.ZB CB其次，若AX交BY于一點(diǎn)O,以Z表示表示直線CO于AB的交點(diǎn),BX CY AZ根據(jù)定理本身得-CA 7訂和已知條件比較得由于出現(xiàn)的都是有向線段，可知Z和Z重合。所以直線AX , BY, CZ共點(diǎn)O定理：ABC的頂點(diǎn)與一點(diǎn)O所連的直線依次交對方（所在直線）于點(diǎn)仿此，AXB被直線COZ所截。又得出匹BZCB ZATCBBC）堅(jiān)CY

13、腔=1XC YA ZB兩端相除得（AO .- -1OX，逆定理：設(shè)在ABC三邊（所在直線）BC,CA,AB上個取一點(diǎn)X,Y,Z，使有BX CY AZ XCYA ZB二1，則直線AX,BY,CZ平行或共點(diǎn)AZ AZZB ZBBX CY AZ證明：應(yīng)用梅涅勞斯定理于BC YA OX學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS12說明：本定理出現(xiàn)的比值都是有向線段的比學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS13例5.證明ABC的個頂點(diǎn)與對邊上內(nèi)切圓切點(diǎn)相連所得三線共點(diǎn)證明：考察有向線段之比的積（如圖）BX CY AZXC YA ZB首先觀察符號，三個比值都是正的。所以乘 積是正的。其次就線段

14、的長度論，BX =ZB,CY二XC, AZ二YA,所以有BX CY AZXC YA ZB從而AX , BY,CZ共點(diǎn)。（因?yàn)锳X, BY,CZ顯然不平行，例如BY和CZ被BC所 截，所得同旁內(nèi)角和YBC ZCB：ABC ACB 180：）。例6.一圓交ABC的各邊（所在直線）于兩點(diǎn)（這兩點(diǎn)可能重合），設(shè)BC邊上的交點(diǎn)為X,X, CA邊上的交點(diǎn)為Y,Y】AB邊上的交點(diǎn)為JZ，若AX,BY,CZ共點(diǎn)，則AX , BY , CZ三線共點(diǎn)或平行證明：由假設(shè)有BX CY坐“XC YA ZBAZ YA但AY AY =AZ AZ ,即YA AZ仿此有BXZBZB CY _ XC BX XC CY將最后三個式

15、兩端相乘，并適當(dāng)交換順序得BX CY A7 X C Y A 7 R空注=仝C.丄仝.,此式左端等于1，顛倒右端分式分母便得XC YA ZB BX CY AZ學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS14說明：讀者考慮怎么樣作圖，可以使AX /B YV/CZ，而AX,B Y,CZ共點(diǎn)4. 斯特瓦爾特(Stewavt )定理定理：. ABC頂點(diǎn)A與對邊BC上任一點(diǎn)P間的距離AP由下列等式確定:AB2PC AC2BP二AP2BC BP PC BC證明：設(shè).APB，如圖，貝UAPC = 180 -:2 2 2AB -AP PC 2PC AP cos：,AB2PC AC2BP二AP2(PC BP)

16、BP PC(BP PC)即AB2PC AC2BP = AP2BC BP PC BC說明： 為了便于運(yùn)用，上面等式可以改寫為根據(jù)斯特瓦爾特定理，我們可以推到三角形的中線，高，內(nèi)外角平分線的計(jì) 算公式。在ABC中，設(shè)三邊長分別為a,b,c，過頂點(diǎn)A的中線，高線，內(nèi)外角平分1線分別為ma,ha,ta,ta，令A(yù)BC的半周長為-(a b c),則有22，ha Js(s -a)(s -b)(s -c)aBX CYXC YAAZZB=1,所以AX , BY , CZ共點(diǎn)或平行AP2二AB2空AC2BCBPBC2旦竺BCBC BCma= 2 ,2(b2C2) - a2學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THE

17、SIS15ta學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS16ta=爲(wèi)Jbc(S_b)(S_a)例7.證明：平面上任意一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)距離平方之和，當(dāng)這一點(diǎn)與三角 形重心重合時，其值為最小。證明：如圖，設(shè)G為ABC的重心 點(diǎn)。在MAD中，運(yùn)用斯特瓦爾特定理，得2122222MG2MA2MD2AD2339在MBC和ABC中運(yùn)用中線式，得212 212MD2(MB2MC2) -BC224AD2=(b2c2) _ 丄a224代入上式得：MG2MA2-1(MB2MC21BC2-1(b2c2)a233 249 24=(MA2MB2MC2) -丄心2b2c2)39MA2MB2MC2(a2b2c2) 3

18、MG23顯然，MG -0時，即M與G重合時，MA2 MB2MC2的值最小。5. 托勒密(ptolemy )定理托勒密(ptolemy，約公元85-165年)是古代天文學(xué)的集大成者。一般幾何教 科書的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書 中摘出。從這個定理可以推出正弦，余弦的和差公式及一系列的三角恒等式。定理：圓內(nèi)接四邊形中兩對角線乘積等于兩雙對邊乘積之和證明：從圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個頂點(diǎn)，例如A,作D為BC的中點(diǎn)，M為平面上的任意一D學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS217在.ABC和.AED中，除.ACB和.ADE對同弧外，還有BAC

19、BAE EAC CAD EAC EAD .AC BC于是ABC FADE,從而，即ADAC ED將（1）和（2）式相加得AB CD AD BC二AC(BE ED)二AC BD.證完說明：（1）托勒密定理可以如下推廣：“在凸四邊形ABCD中AB CD AD EC AC BD，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形是圓內(nèi)接四 邊形時，等號成立。”（2）托勒密定理逆定理也成立。逆定理：如果一個四邊形中兩個對角線乘積等于兩雙對邊乘積之和，那么這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形。例8.如圖，x, y,z為BC的外心O到三邊的距 離，R,r分別為ABC的外接圓和內(nèi)接圓半徑。求證：x y z二R r。證明：連接OB,DF,記L ABC三邊長

20、射線AE交BD于E（如圖）.BAE CAD ,在.ABE和ACD中，除上兩角相等外,還有 /ABE = . ACD，所以.ABE ACD，從而空ACBECD即AB CD二AC BE(1)A學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS18AB - c, BC二a,CA二b，1則DF b,OB二R,因O,F,B,D四點(diǎn)共圓。由托勒密定理得學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS19BD DF BF OD二BO DF，即dz!cx二Rb,az ex二R b 2 2 2學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS20同理ay + bx = R e,bz + cy = R a,又SABC1r(

21、cz ax by) (a b c),即cz ax by = r (a b c)上述四式相加即得結(jié)論x y R r例9.如圖，已知正七邊形為A| A2A3A4A5AeA7,求證:1A1A2丄.丄A| A3A| A4分析：由正七邊形的性質(zhì)，設(shè)AiA? = a, AA3二b,人代=c，則原式相當(dāng)于bc=ab ac。于是在正七邊形中選出某四 個點(diǎn)組成四邊形且其四條邊為a,a,b,c，對角線為b,c證明：由正七邊形的性質(zhì)，設(shè)邊長為 角線長為c，在四邊形人人幾乓中，A3A5= A|A3= b, A3A4= A4A5= a,由托勒密定理知b a a b c，111兩邊同除以abc，得1二丄1，即a b ca

22、，隔一點(diǎn)的對角線長為b，隔兩點(diǎn)的對A1A5- AA - c1 1 1- =- 十-AA2A1A3A1A46.西姆松（simson）定理19世紀(jì)時，通常認(rèn)為西姆松線是simson（1687-1768）發(fā)現(xiàn)的，所以叫做simson線，但后來經(jīng)過Maskay（瑪開）研究核實(shí)，才知道這條直線Wallace于1797年首 先發(fā)現(xiàn)的。Simson發(fā)現(xiàn)的說法是誤傳，但通稱為Simson線已很久，所以至今仍沿學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS21用這習(xí)慣名稱。定理：三角形外接圓周上任意一點(diǎn)在三邊（所在直線）上的射影共線。分析：如圖，P是厶ABC外接圓周上任一點(diǎn)，X,Y,Z是P在直線BC,CA,AB

23、上的射影，即作過P垂直于BC,CA,AB的直線時，垂足分別是X,Y,Z，現(xiàn)在我們只證明X,Y,Z三點(diǎn)共線即可。證明：不妨設(shè)P在BC弧上，連接XY, XZ, PB,PC.PY _ CA,PX _ BC P,C,Y,X四點(diǎn)共圓，所以PCA PXY =180“同樣，：PX _ BC,PZ _ AB P,X,B,Z四點(diǎn)共圓，又已知P,B,A,C四點(diǎn)共圓PXZ二PBZ PCA7- PCA PXY =180$所以X,Y,Z三點(diǎn)共線。說明：這條直線通常叫做點(diǎn)P關(guān)于ABC的simson線。例10.設(shè)ABC的三邊高線AD,BE,CF的高線足分別為D,E,F,從點(diǎn)D作AB,BE,CF, AC的垂線，垂足分別為P,Q,R,S,則P,Q,R,S在同一直線上。證明：如圖設(shè)ABC的垂心為H ,貝UHEC =90： = HDC.所以H,D,C,E四點(diǎn)共圓，即D在HCE的外接圓上。Q, R, S分別是D在HE,HC,CE上的射影。BDC學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR S THESIS22所以Q,R, S三點(diǎn)在一直線上（simson線）同理可證D在- FBH的外接圓上三點(diǎn)P,Q,R在點(diǎn)D關(guān)于=FBH的simson線。綜上所證，P,Q, R,S在同一直線上總結(jié)平面幾何中有很多重要定理，其中