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1、第3章 概率與概率分布練習題(全免)1 .某技術小組有12人,他們的性別和職稱如下,現(xiàn)要產(chǎn)生一名幸運者。試求這位幸運者分 別是以下幾種可能的概率:(1)女性;(2)工程師;(3)女工程師,(4)女性或工程師。并 說明幾個計算結果之間有何關系?序號123456789101112性別男男男女男男女男女女男男職稱工程師技術員技術員技術員技術員工程師工程師技術員技術員工程師技術員技術員解:設A =女性,B=H程師,AB =女工程師,A+B =女性或工程師(1) P(A) = 4/12 = 1/3(2) P(B) = 4/12 = 1/3(3) P(AB) = 2/12 = 1/6(4) P(A+B)
2、= P(A) + P(B) - P(AB) = 1/3 + 1/3 - 1/6 = 1/22. 某種零件加工必須依次經(jīng)過三道工序,從已往大量的生產(chǎn)記錄得知,第一、二、三道工 序的次品率分別為 0.2 , 0.1 , 0.1,并且每道工序是否產(chǎn)生次品與其它工序無關。試求這種 零件的次品率。解:求這種零件的次品率,等于計算“任取一個零件為次品”(記為A)的概率P(A)??紤]逆事件A = “任取一個零件為正品”,表示通過三道工序都合格。據(jù)題意,有:P(A) =(1-0.2)(1-0.1)(1-0.1) =0.648于是 P(A) =1 -P(A) =1 -0.648=0.3523. 已知參加某項考試
3、的全部人員合格的占80 %,在合格人員中成績優(yōu)秀只占15%。試求任一參考人員成績優(yōu)秀的概率。解:設A表示“合格”,B表示“優(yōu)秀”。由于B = AB,于是P(B)= P(A)P(B | A) = 0.8X 0.15 = 0.124. 某項飛碟射擊比賽規(guī)定一個碟靶有兩次命中機會(即允許在第一次脫靶后進行第二次射擊)。某射擊選手第一發(fā)命中的可能性是80%,第二發(fā)命中的可能性為 50%。求該選手兩發(fā)都脫靶的概率。解:設A =第1發(fā)命中。B =命中碟靶。求命中概率是一個全概率的計算問題。再利用對立事 件的概率即可求得脫靶的概率。P(B)= P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)=0.8 氷 +
4、0.2 0.5 = 0.9脫靶的概率=1-0.9 = 0.1或(解法二):P(脫靶)=P(第1次脫靶)>P(第2次脫靶)=0.2 >0.5 = 0.15. 已知某地區(qū)男子壽命超過 55歲的概率為84%,超過70歲以上的概率為 63%。試求任一 剛過55歲生日的男子將會活到 70歲以上的概率為多少?解:設A =活到55歲,B =活到70歲。所求概率為:P(AB)P(B)0.63P(B | A)=0.75P(A)P(A)0.846某企業(yè)決策人考慮是否采用一種新的生產(chǎn)管理流程。據(jù)對同行的調(diào)查得知, 采用新生產(chǎn)管理流程后產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率達 95%的占四成,優(yōu)質(zhì)率維持在原來水平(即80% )的占六
5、成。該企業(yè)利用新的生產(chǎn)管理流程進行一次試驗,所生產(chǎn)5件產(chǎn)品全部達到優(yōu)質(zhì)。問該企業(yè)決策者會傾向于如何決策?解:這是一個計算后驗概率的問題。設人=優(yōu)質(zhì)率達95%, A =優(yōu)質(zhì)率為80%, B =試驗所生產(chǎn)的5件全部優(yōu)質(zhì)。P(A) = 0.4, P( A )= 0.6, P(B|A)=0.955, P(B| A )=0.85,所求概率為:P(A|B)=0.30951=0.61150.50612P(A)P(B | A)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)決策者會傾向于采用新的生產(chǎn)管理流程。7. 某公司從甲、乙、丙三個企業(yè)采購了同一種產(chǎn)品,采購數(shù)量分別占總采購量的25%、30%和45%。這
6、三個企業(yè)產(chǎn)品的次品率分別為4%、5%、3%。如果從這些產(chǎn)品中隨機抽出一件,試問:(1)抽出次品的概率是多少? (2)若發(fā)現(xiàn)抽出的產(chǎn)品是次品,問該產(chǎn)品來自丙廠的概率是多少?解:令Ai、A2、A3分別代表從甲、乙、丙企業(yè)采購產(chǎn)品,B表示次品。由題意得:P(Ai) = 0.25,P(A2)= 0.30, P(A3)= 0.45; P(B|Ai)= 0.04, P(BA2)= 0.05, P(B|A3)= 0.03;因此,所求概率 分別為:(1) P(B)= P(Ai)P(B|Ai) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B|A3)=0.25X 0.04 + 0.30 X 0.05+ 0.45 X
7、 0.03 = 0.0385(2)P(A3 |B)=0.45X0.030.250.04 + 0.300.05+ 0.450.030.01350.0385=0.350668. 某人在每天上班途中要經(jīng)過3個設有紅綠燈的十字路口。設每個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的,且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標準差。解:據(jù)題意,在每個路口遇到紅燈的概率是p= 24/(24+36) = 0.4。設途中遇到紅燈的次數(shù)=Xi0123P(X= Xi)0.2160.4320.2880.064X,因此,XB(3 , 0.4)。其概率分布如下表:期望值(均值)=1.2
8、(次),方差=0.72,標準差=0.8485 (次)9. 一家人壽保險公司某險種的投保人數(shù)有20000人,據(jù)測算被保險人一年中的死亡率為萬分之5。保險費每人50元。若一年中死亡,則保險公司賠付保險金額50000元。試求未來一年該保險公司將在該項保險中(這里不考慮保險公司的其它費用):(1 )至少獲利50萬元的概率;(2) 虧本的概率;(3) 支付保險金額的均值和標準差。解:設被保險人死亡數(shù)= X, XB(20000 , 0.0005)。(1) 收入=20000 X 50 (元)=100萬元。要獲利至少 50萬元,則賠付保險金額應該不 超過50萬元,等價于被保險人死亡數(shù)不超過10人。所求概率為:
9、P(X <10) = 0.58304。(2 )當被保險人死亡數(shù)超過20人時,保險公司就要虧本。所求概率為:P(X>20) = 1 - P(X 0) = 1 0.99842 = 0.00158(3)支付保險金額的均值=50000 X E(X)=50000 X 20000 X 0.0005 (元)=50 (萬元)支付保險金額的標準差= 50000 X o(X)=50000 X (20000 X 0.0005 X 0.9995)1/2= 158074 (元)10. 對上述練習題3.09的資料,試問:(1) 可否利用泊松分布來近似計算?(2) 可否利用正態(tài)分布來近似計算?(3) 假如投保人
10、只有 5000人,可利用哪種分布來近似計算?解:(1)可以。當n很大而p很小時,二項分布可以利用泊松分布來近似計算。本例中,入=np=20000 >0.0005=10,即有XP(10)。計算結果與二項分布所得結果幾乎完全一致。(2) 也可以。盡管 p很小,但由于n非常大,np和np(1-p)都大于5,二項分布也可以 利用正態(tài)分布來近似計算。本例中,np=20000 X 0.0005=10 , np(1- p)=20000 X 0.0005 X (1- 0.0005)=9.995 , 即有XN(10,9.995)。相應的概率為:P(X <10.5) = 0.51995, P(X<
11、;20.5) = 0.853262??梢娬`差比較大(這是由于P太小,二項分布偏斜太嚴重)?!咀ⅰ坑捎诙椃植际请x散型分布, 而正態(tài)分布是連續(xù)性分布,所以, 用正態(tài)分布來近 似計算二項分布的概率時,通常在二項分布的變量值基礎上加減 0.5作為正態(tài)分布對應的區(qū) 間點,這就是所謂的“連續(xù)性校正”。(3) 由于p= 0.0005,假如n=5000,貝U np = 2.5<5,二項分布呈明顯的偏態(tài),用正態(tài)分 布來計算就會出現(xiàn)非常大的誤差。此時宜用泊松分布去近似。11. 某企業(yè)生產(chǎn)的某種電池壽命近似服從正態(tài)分布,且均值為200小時,標準差為 30小時。若規(guī)定壽命低于150小時為不合格品。試求該企業(yè)生
12、產(chǎn)的電池的:(1)合格率是多少? ( 2)電池壽命在200左右多大的范圍內(nèi)的概率不小于 0.9。解: (1) P(X 150)=P(Z 150 200)= P(Z-1.6667) = 0.0477930合格率為 1-0.04779 = 0.95221 或 95.221 %。(2)設所求值為K,滿足電池壽命在 200 ± K小時范圍內(nèi)的概率不小于0.9,即有:P(|X -200卜:K)=P|Z| = Z 泮今 -0-9303030K/30 > 1.64485,故 K > 49.3456。12. 某商場某銷售區(qū)域有 6種商品。假如每1小時內(nèi)每種商品需要 12分鐘時間的咨詢服務, 而且每種商品是否需要咨詢服務是相互獨立的。求:(1)在同一時刻需用咨詢的商品種數(shù)的最可能值
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