概率與概率分布

1、第3章 概率與概率分布練習(xí)題(全免)1 .某技術(shù)小組有12人，他們的性別和職稱如下，現(xiàn)要產(chǎn)生一名幸運(yùn)者。試求這位幸運(yùn)者分 別是以下幾種可能的概率：(1)女性；(2)工程師；(3)女工程師，(4)女性或工程師。并 說(shuō)明幾個(gè)計(jì)算結(jié)果之間有何關(guān)系？序號(hào)123456789101112性別男男男女男男女男女女男男職稱工程師技術(shù)員技術(shù)員技術(shù)員技術(shù)員工程師工程師技術(shù)員技術(shù)員工程師技術(shù)員技術(shù)員解：設(shè)A =女性，B=H程師，AB =女工程師，A+B =女性或工程師(1) P(A) = 4/12 = 1/3(2) P(B) = 4/12 = 1/3(3) P(AB) = 2/12 = 1/6(4) P(A+B)

2、= P(A) + P(B) - P(AB) = 1/3 + 1/3 - 1/6 = 1/22. 某種零件加工必須依次經(jīng)過(guò)三道工序，從已往大量的生產(chǎn)記錄得知，第一、二、三道工 序的次品率分別為 0.2 , 0.1 , 0.1，并且每道工序是否產(chǎn)生次品與其它工序無(wú)關(guān)。試求這種 零件的次品率。解：求這種零件的次品率，等于計(jì)算“任取一個(gè)零件為次品”(記為A)的概率P(A)?？紤]逆事件A = “任取一個(gè)零件為正品”，表示通過(guò)三道工序都合格。據(jù)題意，有：P(A) =(1-0.2)(1-0.1)(1-0.1) =0.648于是 P(A) =1 -P(A) =1 -0.648=0.3523. 已知參加某項(xiàng)考試

3、的全部人員合格的占80 %，在合格人員中成績(jī)優(yōu)秀只占15%。試求任一參考人員成績(jī)優(yōu)秀的概率。解：設(shè)A表示“合格”，B表示“優(yōu)秀”。由于B = AB,于是P(B)= P(A)P(B | A) = 0.8X 0.15 = 0.124. 某項(xiàng)飛碟射擊比賽規(guī)定一個(gè)碟靶有兩次命中機(jī)會(huì)(即允許在第一次脫靶后進(jìn)行第二次射擊)。某射擊選手第一發(fā)命中的可能性是80%,第二發(fā)命中的可能性為 50%。求該選手兩發(fā)都脫靶的概率。解:設(shè)A =第1發(fā)命中。B =命中碟靶。求命中概率是一個(gè)全概率的計(jì)算問(wèn)題。再利用對(duì)立事 件的概率即可求得脫靶的概率。P(B)= P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)=0.8 氷 +

4、0.2 0.5 = 0.9脫靶的概率=1-0.9 = 0.1或(解法二)：P(脫靶)=P(第1次脫靶)>P(第2次脫靶)=0.2 >0.5 = 0.15. 已知某地區(qū)男子壽命超過(guò) 55歲的概率為84%，超過(guò)70歲以上的概率為 63%。試求任一 剛過(guò)55歲生日的男子將會(huì)活到 70歲以上的概率為多少？解：設(shè)A =活到55歲，B =活到70歲。所求概率為：P(AB)P(B)0.63P(B | A)=0.75P(A)P(A)0.846某企業(yè)決策人考慮是否采用一種新的生產(chǎn)管理流程。據(jù)對(duì)同行的調(diào)查得知， 采用新生產(chǎn)管理流程后產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率達(dá) 95%的占四成，優(yōu)質(zhì)率維持在原來(lái)水平(即80% )的占六

5、成。該企業(yè)利用新的生產(chǎn)管理流程進(jìn)行一次試驗(yàn)，所生產(chǎn)5件產(chǎn)品全部達(dá)到優(yōu)質(zhì)。問(wèn)該企業(yè)決策者會(huì)傾向于如何決策？解:這是一個(gè)計(jì)算后驗(yàn)概率的問(wèn)題。設(shè)人=優(yōu)質(zhì)率達(dá)95%, A =優(yōu)質(zhì)率為80%, B =試驗(yàn)所生產(chǎn)的5件全部?jī)?yōu)質(zhì)。P(A) = 0.4, P( A )= 0.6, P(B|A)=0.955, P(B| A )=0.85,所求概率為：P(A|B)=0.30951=0.61150.50612P(A)P(B | A)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)決策者會(huì)傾向于采用新的生產(chǎn)管理流程。7. 某公司從甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)采購(gòu)了同一種產(chǎn)品，采購(gòu)數(shù)量分別占總采購(gòu)量的25%、30%和45%。這

6、三個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的次品率分別為4%、5%、3%。如果從這些產(chǎn)品中隨機(jī)抽出一件，試問(wèn)：(1)抽出次品的概率是多少？ (2)若發(fā)現(xiàn)抽出的產(chǎn)品是次品，問(wèn)該產(chǎn)品來(lái)自丙廠的概率是多少？解：令A(yù)i、A2、A3分別代表從甲、乙、丙企業(yè)采購(gòu)產(chǎn)品，B表示次品。由題意得：P(Ai) = 0.25,P(A2)= 0.30, P(A3)= 0.45; P(B|Ai)= 0.04, P(BA2)= 0.05, P(B|A3)= 0.03;因此，所求概率 分別為：(1) P(B)= P(Ai)P(B|Ai) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B|A3)=0.25X 0.04 + 0.30 X 0.05+ 0.45 X

7、 0.03 = 0.0385(2)P(A3 |B)=0.45X0.030.250.04 + 0.300.05+ 0.450.030.01350.0385=0.350668. 某人在每天上班途中要經(jīng)過(guò)3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。解：據(jù)題意，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率是p= 24/(24+36) = 0.4。設(shè)途中遇到紅燈的次數(shù)=Xi0123P(X= Xi)0.2160.4320.2880.064X，因此，XB(3 , 0.4)。其概率分布如下表:期望值(均值)=1.2

8、(次)，方差=0.72，標(biāo)準(zhǔn)差=0.8485 (次)9. 一家人壽保險(xiǎn)公司某險(xiǎn)種的投保人數(shù)有20000人，據(jù)測(cè)算被保險(xiǎn)人一年中的死亡率為萬(wàn)分之5。保險(xiǎn)費(fèi)每人50元。若一年中死亡，則保險(xiǎn)公司賠付保險(xiǎn)金額50000元。試求未來(lái)一年該保險(xiǎn)公司將在該項(xiàng)保險(xiǎn)中(這里不考慮保險(xiǎn)公司的其它費(fèi)用)：(1 )至少獲利50萬(wàn)元的概率；(2) 虧本的概率；(3) 支付保險(xiǎn)金額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。解:設(shè)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)= X, XB(20000 , 0.0005)。(1) 收入=20000 X 50 (元)=100萬(wàn)元。要獲利至少 50萬(wàn)元，則賠付保險(xiǎn)金額應(yīng)該不 超過(guò)50萬(wàn)元，等價(jià)于被保險(xiǎn)人死亡數(shù)不超過(guò)10人。所求概率為：

9、P(X <10) = 0.58304。(2 )當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)超過(guò)20人時(shí)，保險(xiǎn)公司就要虧本。所求概率為：P(X>20) = 1 - P(X 0) = 1 0.99842 = 0.00158(3)支付保險(xiǎn)金額的均值=50000 X E(X)=50000 X 20000 X 0.0005 (元)=50 (萬(wàn)元)支付保險(xiǎn)金額的標(biāo)準(zhǔn)差= 50000 X o(X)=50000 X (20000 X 0.0005 X 0.9995)1/2= 158074 (元)10. 對(duì)上述練習(xí)題3.09的資料，試問(wèn)：(1) 可否利用泊松分布來(lái)近似計(jì)算？(2) 可否利用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算？(3) 假如投保人

10、只有 5000人，可利用哪種分布來(lái)近似計(jì)算？解：(1)可以。當(dāng)n很大而p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以利用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。本例中，入=np=20000 >0.0005=10，即有XP(10)。計(jì)算結(jié)果與二項(xiàng)分布所得結(jié)果幾乎完全一致。(2) 也可以。盡管 p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二項(xiàng)分布也可以 利用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算。本例中，np=20000 X 0.0005=10 , np(1- p)=20000 X 0.0005 X (1- 0.0005)=9.995 , 即有XN(10,9.995)。相應(yīng)的概率為：P(X <10.5) = 0.51995, P(X<

11、;20.5) = 0.853262?？梢娬`差比較大(這是由于P太小，二項(xiàng)分布偏斜太嚴(yán)重)?！咀ⅰ坑捎诙?xiàng)分布是離散型分布， 而正態(tài)分布是連續(xù)性分布，所以， 用正態(tài)分布來(lái)近 似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率時(shí)，通常在二項(xiàng)分布的變量值基礎(chǔ)上加減 0.5作為正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的區(qū) 間點(diǎn)，這就是所謂的“連續(xù)性校正”。(3) 由于p= 0.0005，假如n=5000，貝U np = 2.5<5，二項(xiàng)分布呈明顯的偏態(tài)，用正態(tài)分 布來(lái)計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)非常大的誤差。此時(shí)宜用泊松分布去近似。11. 某企業(yè)生產(chǎn)的某種電池壽命近似服從正態(tài)分布，且均值為200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為 30小時(shí)。若規(guī)定壽命低于150小時(shí)為不合格品。試求該企業(yè)生

12、產(chǎn)的電池的：(1)合格率是多少？ ( 2)電池壽命在200左右多大的范圍內(nèi)的概率不小于 0.9。解: (1) P(X 150)=P(Z 150 200)= P(Z-1.6667) = 0.0477930合格率為 1-0.04779 = 0.95221 或 95.221 %。(2)設(shè)所求值為K，滿足電池壽命在 200 ± K小時(shí)范圍內(nèi)的概率不小于0.9，即有：P(|X -200卜:K)=P|Z| = Z 泮今 -0-9303030K/30 > 1.64485,故 K > 49.3456。12. 某商場(chǎng)某銷售區(qū)域有 6種商品。假如每1小時(shí)內(nèi)每種商品需要 12分鐘時(shí)間的咨詢服務(wù), 而且每種商品是否需要咨詢服務(wù)是相互獨(dú)立的。求：(1)在同一時(shí)刻需用咨詢的商品種數(shù)的最可能值