第1節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)

1、一. 無窮級數(shù)的概念二. 級數(shù)收斂的必要條件三. 無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 一.無窮級數(shù)的概念1.無窮級數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列 un: u1 , u2 , , un , nnnuuuu211為一個(gè)無窮級數(shù), 簡稱為級數(shù).稱 un 為級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).則稱表達(dá)式 ., 1數(shù)則稱該級數(shù)為常數(shù)項(xiàng)級均為常數(shù)的每一項(xiàng)若級數(shù)nnnuu . )( ),( : 1數(shù)項(xiàng)級數(shù)為函則稱級數(shù)函數(shù)一個(gè)變量的若級數(shù)的每一項(xiàng)均為同nnnnxuxuu下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級數(shù); 214121211nnn; 211nnn; ) 1(1111) 1(111nnn. cos2cos1coscos1nnn例12. 級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)1nnu

2、的前 n 項(xiàng)之和：,211nnkknuuuus稱為級數(shù)的部分和.若ssnnlim存在, 則稱級數(shù)1nnu收斂.s 稱為級數(shù)的和：. 1sunn若nnslim不存在 ( 包括為 ) ,1nnu發(fā)散.則稱級數(shù)討論等比級數(shù)的斂散性.11nnar等比級數(shù)的部分和為：nkknars11當(dāng)公比 | r | 1 時(shí),. 1)1 (limlimrrasnnnn當(dāng)公比 r =1時(shí),. limlimnasnnnsn=a, n為奇數(shù)0, n為偶數(shù)當(dāng)公比當(dāng)公比 | r | 1 時(shí)時(shí), 等比級數(shù)收斂；等比級數(shù)收斂；當(dāng)公比 r = 1時(shí),當(dāng)公比當(dāng)公比 | r | 1 時(shí)時(shí), 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散.綜上所述, . li

3、m ,不存在故nns討論級數(shù)的斂散性.1) 12)(12(1nnn12112121) 12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnsn121121n解解例3而121121limlimnsnnn故21) 12)(12(11nnn21即該級數(shù)收斂, 其和為. 21s二.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 有相同的斂散性, 且 . 11nnnnuccu若 c 0 為常數(shù), 則1nncu1nnu與1. 性質(zhì)性質(zhì) 1證證1nnu的部分和為，nkknus11nncu的部分和為,11nnkknkkncsuccus故nnnnnnsccsslimlimlim同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散,即與1nnu1

4、nncu且有 .11nnnnuccu2. 性質(zhì)性質(zhì) 2 , , 2111ssvunnnn和其和分別為收斂與若且也收斂則級數(shù) , )( 1nnnvu211)(ssvunnn .11nnnnvu證證1)(nnnvu的部分和為：nkkknvus1)()()(2121nnvvvuuu故)(limlim21nnnnnsssnnss21)()()(2211nnvuvuvu2121limlimssssnnnn即 級數(shù)1)(nnnvu收斂, 且21111)(ssvuvunnnnnnn 因?yàn)榈缺燃墧?shù), 31 2111收斂與nnnn所以級數(shù) . 31211也收斂nnn例4 一個(gè)收斂級數(shù)與一個(gè)發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還

5、是發(fā)散的？是發(fā)散的 兩個(gè)發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定在一個(gè)級數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后, 所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.3. 性質(zhì)性質(zhì) 3kmmmkuuus21kmmmmuuuuuu2121)(mkmss證證)(21muuu設(shè)級數(shù)1nnu的部分和為 sn , 去掉級數(shù)的前面 m 項(xiàng)后得到的級數(shù)1mkku的部分和為:ksmkmkkkssslimlim由于 sm 當(dāng) m 固定時(shí)為一常數(shù),所以故 級數(shù)1nnu與級數(shù)1mkku. 有相同的斂散性級數(shù)仍然收斂, 且其和不變.對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新 在級數(shù)運(yùn)算中, 不能隨意加上或去掉括 號, 因?yàn)檫@樣做可能改變級數(shù)的斂散性.4

6、. 性質(zhì)性質(zhì) 4 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？不一定 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？不一定原級數(shù)也發(fā)散 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散, 原級數(shù)是否也發(fā)散？5. 性質(zhì)性質(zhì)5級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)1nnu收斂, 則必有. 0limnnu定理)(limlim1nnnnnssu1limlimnnnnss0ss證證設(shè) ,1sunn. lim ssnn則證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的:調(diào)和級數(shù)的部分和有：， 11s，211122 ss4131211224ss證證21211，221 201例5 . ,11121調(diào)和中項(xiàng)的與為則稱若cabbca1 .1312111nnn328ss23181716151413