平面圖形的面積ppt課件

1、一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 二、由平行截面面積求體積二、由平行截面面積求體積 第十章第十章 定定積積分的運(yùn)用一分的運(yùn)用一由平行截面面積求體積直接運(yùn)用求旋轉(zhuǎn)體的體積面積公式直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 假設(shè)函數(shù)y=f(x)( f(x)0)在區(qū)間a, b上延續(xù)，那么由曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積為 復(fù)習(xí)：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 baf(x)dx。 由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？思索如下問題：Ox y 1

2、、假設(shè)圖形在x軸上方，ab yf (x) y=g(x) y=g(x)留意圖形的構(gòu)成S baf(x)dx baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(x)dx ab yf(x) y=g(x)Ox y 2、假設(shè)圖形不在x軸上方， yf(x)+m y=g(x)+mm將圖形平移到x軸的上方S baf(x)mdxg(x)mdx baf(x)g(x)dx。 由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？思索如下問題： 1、假設(shè)圖形在x軸上方，S baf(x)dx baf(x)g(x)dx。 f(x)dxbag(x)dx f(x)mdxbag(x

3、)mdx 結(jié)論：由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當(dāng)曲線f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。Ox yab yf(x)g(x)=0Ox yab yg(x)f(x)=0Ox yab yf(x)g(x)=0ab yf(x)g(x)=0Ox yab yf(x)g(x)=0 (2)當(dāng)左右兩邊縮為一點(diǎn)時(shí)，上述公式也成立。 (3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。 結(jié)論：由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注

4、： (1)當(dāng)曲線f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。 (4)假設(shè) y=f(x)有分段點(diǎn) c，那么需把圖形分割后計(jì)算。Ox yab yf(x)g(x)=0 yf1(x) yf2(x)cSbaf (x)g(x)dx f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 f (x)g(x)dx f1(x)g(x)dxf2(x)g(x)dx。 結(jié)論：由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為注： (1)當(dāng)曲線f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。 (2)當(dāng)左右兩邊縮為一點(diǎn)時(shí)，上述公式也成立。 (3)積分區(qū)間就

5、是圖形在x軸上的投影區(qū)間。討論： 由左右兩條延續(xù)曲線x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線y=c、 y=d所圍成的圖形的面積 S 如何求？Ox ycdx=y(y)x=j(y)dyyySdc)()(。 答案： 結(jié)論：由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為abxyOS1結(jié)論：由上下兩條延續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線 baf(x)g(x)dx。 Sx=a、x=b所圍成的圖形的面積為 例1. 求橢圓 所圍成的圖形面積。 解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1，那么橢圓的面積為22221xyab22022

6、000241, let sin , we get 4cos(1 cos2 ) .4 aaxSydxbdxxataSabtdtabt dtab 221xyba 解： 由對(duì)稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022dxxxdxxx)112()211(23121022x3所圍成的圖形的面積。 例 2 求曲線 y21x2、y211x與直線 x3、 NoImagexO-1 1 y y211x 33 y21x2 解： 由對(duì)稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。 S =2 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(

7、xx x3所圍成的圖形的面積。 dxxxdxxx)112()211(23121022103)6 arctg(xx 303) arctg6(xx )233(31.11 例 2 求曲線 y21x2、y211x與直線 x3、 例3 計(jì)算拋物線y22x 與直線xy4所圍成的圖形的面積。8 y-2 2 x2O444(8, 4)(2, -2) 解：求兩曲線的交點(diǎn)得：(2，2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區(qū)間2，4。 1861421)214(4232242yyydyyy18。思索：為什么不向x軸投影？ S1861421)214(4232242yyydyyy oyxababoyx普通地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲

8、邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí), 按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt那么曲邊梯形面積2121d)()()()( ttttbattttdtydxA)(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,那么該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2S所求曲邊扇形的面積為d)(21212dAA)(r x d 對(duì)應(yīng) 從 0 變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . ttadcos8204

9、2例例6. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對(duì)稱性)2t令28a43212223a二、由平行截面面積求體積二、由平行截面面積求體積 設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b ，過x點(diǎn)垂直于x軸的截面面積S(x)是x的延續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。 V ni 1S(i)xi。 (3)令l=maxDxi，那么立體體積為 (1) 在a, b內(nèi)插入分點(diǎn)： a=x0 x1x2 xn-1xn=b， (2)過xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個(gè)小薄片，第i個(gè)小薄片體積的近似

10、值S(xi)Dxi。 將n個(gè)小薄片體積的近似值相加得立體體積的近似值xOax1xi-1 xixn bV ni 10limlS( )xi baS(x)dx。 iabzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例7. 計(jì)算由曲面計(jì)算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxS因此橢球體體積為bc20abca34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaxbcaxd)1 (22aV02x233axx的體積.例例8. 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 , 并

11、與底面交成 角,222Ryx解解: 如下圖取坐標(biāo)系如下圖取坐標(biāo)系,那么圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyxoRxy思索思索: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22Oxba y區(qū)間a, b上截面積為S(x)的立體體積：右圖為由延續(xù)曲線 yf(x)、直線 xa 、 xb

12、及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。 yf (x)V baf(x)2dxbaf(x)2dx。 V baS(x)dx。 關(guān)鍵是確定截面面積2( )( )S xf x當(dāng)思索延續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), dcdyyV2)(xoy)(yxcdy2( )( )S yy 截面面積為于是有 例9 銜接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h，r)的直線、直線xh 及x軸圍成一個(gè)直角三角形。將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體。計(jì)算這圓錐體的體積。 解：過原點(diǎn) O 及點(diǎn) P(h，r)的直線方程為 yxhr。 Vh0 (xhr)2dx 所求圓錐體的體積為 22 hr

13、h0 x2dxxhry hrxyO曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：V baf(x)2dx。 區(qū)間a, b上截面積為 S(x) 的立體體積：V baS(x)dx。 x2dx231hr。 NoImage( , )P r hayxb例例10. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby那么截面面積xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboadxyV022x2( )S xy于是方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytax

14、sincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343axyoa2例例11. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyoa2a繞 y 軸旋

15、轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0留意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 留意分段點(diǎn)！分部積分對(duì)稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226ox1 2yBC3A例例12. 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封鎖圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (236