結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定計算PPT課件

1、3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算3.13.1兩類穩(wěn)定問題概述兩類穩(wěn)定問題概述 從穩(wěn)定性角度來考察，平衡狀態(tài)有三種不同的情況： 穩(wěn)定平衡狀態(tài) 不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 中性平衡狀態(tài) 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計算理論：小撓度理論（通常采用），優(yōu)點(diǎn)：方法簡 單，結(jié)論基本正確。 大撓度理論，特點(diǎn)：結(jié)論精確，方法復(fù)雜。 隨著荷載的逐漸增大，結(jié)構(gòu)的原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。這時原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡稱為失穩(wěn)。 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的兩種基本形式：分支點(diǎn)失穩(wěn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)。下面以壓桿為例加以說明。 第1頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn) 簡支壓桿的完善體系或理想體系(圖3-1(a)：桿件軸線是理想的直線（

2、沒有初曲率），荷載P是理想的中心受壓荷載（沒有偏心）。 在分支點(diǎn)B處，原始平衡路徑與新平衡路徑同時并存，出現(xiàn)平衡形式的二重性，原始平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變。具有這種特征的失穩(wěn)形式稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)形式。分支點(diǎn)對應(yīng)的荷載稱為臨界荷載，對應(yīng)的平衡狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。分支點(diǎn)失穩(wěn)又稱為第一類失穩(wěn)。 圖31 分支點(diǎn)失穩(wěn)（a）理想的中心受壓桿；（b）P曲線 第2頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算其他結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)的分支點(diǎn)失穩(wěn)現(xiàn)象 圖32 分支點(diǎn)失穩(wěn)（a）受結(jié)點(diǎn)荷載的剛架；（b）受水壓力的圓拱；（c）窄條梁 第3頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算極值點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn) 在極值點(diǎn)處，平衡路徑

3、由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。這種失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。其特征是平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象，而P-曲線具有極值點(diǎn)。極值點(diǎn)相應(yīng)的荷載極大值稱為臨界荷載。極值點(diǎn)失穩(wěn)又稱為第二類失穩(wěn)。 圖33 極值點(diǎn)失穩(wěn)（a）有初彎曲的壓桿；（b）偏心荷載壓桿；（c）P曲線 壓桿的非完善體系(圖3-3(a)、(b)：具有初曲率和承受偏心荷載的壓桿。第4頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算穩(wěn)定問題與強(qiáng)度問題的區(qū)別說明穩(wěn)定問題與強(qiáng)度問題的區(qū)別說明 強(qiáng)度問題是指結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下它的最大應(yīng)力不超過材料的允許應(yīng)力，其重點(diǎn)是在內(nèi)力的計算上。對大多數(shù)結(jié)構(gòu)，通常其應(yīng)力都處于彈性范圍內(nèi)而且變形很小。因此，認(rèn)為荷載與變形之間呈線性關(guān)系，

4、并按結(jié)構(gòu)未變形前的幾何形狀和位置來進(jìn)行計算，疊加原理適用，通常稱此種計算為線性分析或一階分析。對于應(yīng)力雖處于彈性范圍但變形較大的結(jié)構(gòu)（如懸索），因變形對計算的影響不能忽略，應(yīng)按結(jié)構(gòu)變形后的幾何形狀和位置來進(jìn)行計算，此時，荷載與變形之間已為非線性關(guān)系，疊加原理不再適用，這種計算稱為幾何非線性分析或二階分析。 穩(wěn)定問題的著眼點(diǎn)不是放在計算最大應(yīng)力，而是研究荷載與結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力之間的平衡上，看這種平衡是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，即要找出變形開始急劇增長的臨界點(diǎn)，并找出與臨界狀態(tài)相應(yīng)的最小荷載（臨界荷載）。由于它的計算要在結(jié)構(gòu)變形后的幾何形狀和位置上進(jìn)行，其方法也屬于幾何非線性范疇，疊加原理不再適用，故其計算也

5、屬二階分析。 本章只討論完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)，并根據(jù)小撓度理論求臨界問題荷載。確定臨界荷載的方法很多，其中最基本和最重要的是靜力法和能量法。 第5頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算3.23.2穩(wěn)定問題的分析方法穩(wěn)定問題的分析方法靜力法靜力法 根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的確定臨界荷載的方法，稱為靜力法。 靜力法的要點(diǎn)： 是在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，確定二者交叉的分支點(diǎn)，由此求出臨界荷載。 第6頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算靜力法確定有限自由度體系的臨界荷載 圖3-4（a）中，AB為剛性壓桿，底端A為彈性支承，其轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)為k。圖34 單自由度失穩(wěn)（a）原始平衡形式；（b）平衡的新

6、形式 桿AB處于豎直位置時的平衡形式（圖3-4（a）是其原始平衡形式。 第7頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算靜力法確定有限自由度體系的臨界荷載（續(xù)）靜力法確定有限自由度體系的臨界荷載（續(xù)） 現(xiàn)在尋找桿件處于傾斜位置時新的平衡形式(圖3-4(b)。 根據(jù)小撓度理論，其平衡方程為 (3-1) 由于彈性支座的反力矩MAk，所以 (3-2) 式(3-2)是以位移為未知量的齊次方程。齊次方程有兩類解：即零解和非零解。零解(0)對應(yīng)于原始平衡形式，即平衡路徑；非零解(0)是新的平衡形式。為了得到非零解，齊次方程(3-2)的系數(shù)應(yīng)為零，即 (3-3) 式(3-3)稱為特征方程。由特征方程得知，第二平衡路徑

7、為水平直線。由兩條路徑的交點(diǎn)得到分支點(diǎn)，分支點(diǎn)相應(yīng)的荷載即為臨界荷載，因此 (3-4) 0AMPl0kPl0kPllkPcr第8頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算例例3-13-1 圖3-5(a)所示是一個具有兩個變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結(jié)點(diǎn)B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。試求其臨界荷載Pcr。 圖35 兩個自由度的體系（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式第9頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算例例3-1(3-1(續(xù)續(xù)1)1) 解：設(shè)體系由原始平衡狀態(tài)(圖3-5(a)的水平位置)轉(zhuǎn)到任意變形的新狀態(tài)(圖3-5(b)，設(shè)B點(diǎn)和C點(diǎn)的豎向位移分別為y1和y2，相

8、應(yīng)的支座反力分別為 11kyR 22kyR 同時，A點(diǎn)和D點(diǎn)的支座反力為 PXA lPyYA1 lPyYD2 變形狀態(tài)的平衡條件為 0)(/左CCM02211PyllPylky0)(/右BBM02122PyllPylky 即 (a) 這是關(guān)于y1和y2的齊次方程。 02022121yPklPyPyyPkl第10頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算例例3-1(3-1(續(xù)續(xù)2)2) 如果系數(shù)行列式不等于零，即 則零解(即y1和y2全為零)是齊次方程(a)的唯一解。也就是說，原始平衡形式是體系唯一的平衡形式。 如果系數(shù)行列式等于零，即 022PklPPPkl022PklPPPkl 則除零解外，齊次方程

9、(a)還有非零解。也就是說，除原始平衡形式外，體系還有新的平衡形式。這樣，平衡形式即具有二重性，這就是體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征。方程(b)就是穩(wěn)定問題的特征方程。展開式(b)，得 由此解得兩個特征值： 0222PPklklklP3(b)第11頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算例例3-1(3-1(續(xù)續(xù)3)3) 其中最小的特征值叫做臨界荷載，即 圖36 例3-1的失穩(wěn)形態(tài)（a）第一失穩(wěn)形態(tài)；（b）第二失穩(wěn)形態(tài) 將特征值代回式(a)，可求得y1和y2的比值。這時位移y1、y2組成的向量稱為特征向量。如將Pkl/3代回式(a)，則得y1y2，相應(yīng)的變形曲線如圖3-6(a)所示。如將Pkl代回式(a)

10、，則得y1y2，相應(yīng)的變形曲線如圖3-6(b)所示。 3klPcr第12頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算3.33.3穩(wěn)定問題的分析方法穩(wěn)定問題的分析方法能量法能量法 能量法確定體系臨界荷載的基本原理 用能量法求臨界荷載，仍是以結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時平衡的二重性為依據(jù)，應(yīng)用以能量形式表示的平衡條件，尋求結(jié)構(gòu)在新的形式下能維持平衡的荷載，其中最小者即為臨界荷載。 用能量形式表示的平衡條件就是勢能駐值原理： 對于彈性結(jié)構(gòu)，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件的一切虛位移中，同時又滿足平衡條件的位移(因而就是真實的位移)使結(jié)構(gòu)的勢能為駐值，也就是結(jié)構(gòu)勢能的一階變分等于零，即 0 這里，結(jié)構(gòu)的勢能等于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U與外力

11、勢能Up之和： pUU 仍以圖3-4所示單自由度體系為例說明。體系的勢能為彈簧應(yīng)變能U與荷載P的勢能Up之和。彈簧應(yīng)變能為 221kU 第13頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算能量法確定體系臨界荷載的基本原理（續(xù)能量法確定體系臨界荷載的基本原理（續(xù)1 1） 荷載勢能為 這里為B點(diǎn)的豎向位移(見圖3-4(b) PUp 體系的勢能為 (3-7) 2cos12ll 因此 22lPUp221PlkUUp 應(yīng)用勢能駐值條件 ，得 (3-8) 0dd0Plk 上式與靜力法中的式(3-2)是等價的。由此可見，能量法與靜力法都導(dǎo)出同樣的方程。換句話說，勢能駐值條件等價于用位移表示的平衡方程。 能量法余下的計算

12、步驟即與靜力法完全相同，即根據(jù)位移有非零解的條件導(dǎo)出特征方0 Plk(3-9) 從而求出臨界荷載 lkPcr第14頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算能量法確定體系臨界荷載的基本原理（續(xù)能量法確定體系臨界荷載的基本原理（續(xù)2 2） 歸結(jié)起來，在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的能量特征是： 勢能為駐值，且位移有非零解。能量法就是根據(jù)上述能量特征求臨界荷載。 下面對勢能作進(jìn)一步的討論。由式(3-7)看出，勢能是位移的二次式，其關(guān)系曲線是拋物線。 如果Pk/l ，則關(guān)系曲線如圖3-10(c)所示。當(dāng)位移為任意非零值時，勢能恒為負(fù)值。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)時，勢能為極大，因而原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

13、如果Pk/l ，則關(guān)系曲線如圖3-10(b)所示。當(dāng)位移為任意值時，勢能恒為零，體系處于中性平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài)，這時的荷載稱作臨界荷載。這個結(jié)果與靜力法所得的相同。 第15頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算能量法確定體系臨界荷載的基本原理（續(xù)能量法確定體系臨界荷載的基本原理（續(xù)3 3） 因此，臨界狀態(tài)的能量特征還可表述為： 在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢能由正定過渡到非正定。對于單自由度體系，則由正定過渡到負(fù)定。 圖310 勢能與位移的關(guān)系曲線(a)PPcr 第16頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算例3-4 用能量法重做例3-1，即圖3-5所示兩個變形自由度的體系。 現(xiàn)在討論臨界荷載的能量特征。 在圖3-5(b)中，D點(diǎn)的水平位移為 解： 彈性支座的應(yīng)變能為 荷載勢能為2221212221221121yyyylyyyyl22212yykU222121yyyylPPUp 體系的勢能為 應(yīng)用勢能駐值條件： 2221212221212221222212yPklyPyyPkllyyyylPyykUUP 01y02y第17頁/共19頁3 結(jié)構(gòu)彈性的穩(wěn)定計算例例3-4(3-4(續(xù)續(xù)1)1) 得 (a) 上式就是例3-1用靜力法導(dǎo)出的式(a)。也就是說，勢能駐值條件等價于用位移表示的平衡方程。 能量法以后的計算步驟與靜力法完全相同。勢能駐值條件(a)的解包括全零解和非零解。求非