理論力學復習指導

1、理論力學復習指導郭志勇 編西北工業(yè)大學出版社2002年11月第一篇 靜力學一.中心內容：力系的簡化（合成）與平衡條件2 .基本概念1 .力、剛體、平衡、約束、靜力學公理、常見約束類型及其反力（繩索、光滑支承面、固定較支座、滾動支座、固定端、軸承）；二力桿2 .匯交力系合成的幾何法、力多邊形、力的投影、分解、兩者關系，合成的解析法3 .力矩、平面力偶的性質，三要素4 .力線的平移、平面一般力系的簡化結果；合力矩定理，平衡方程的各種形式及條件；桁架內力的計算方法，物系平衡問題解法5 .靜滑動摩擦定律，摩擦角PiZi6 .力對軸之矩，力對點之矩矢，兩者關系，空間力偶矩矢，空間力系簡化結果，空間力Zc

2、PiXiPi yi系平衡方程xcycp p7 .重心、形心3 .解題要點1 .適當?shù)剡x取研究對象，正確地畫出其受力圖（受力圖是關鍵）。所選的研究對象上至少要有一個已知力和一個未知力，且受力的個數(shù)越少越好。 .研究對象一定要從周圍的物體中隔離出來，不要連同約束一起畫。 .一定要根據(jù)約束的性質畫約束反力，不要主觀臆斷。一見典型的約束符號，則其反力確定無疑。 .研究整體時，所有中間錢處的內力不要畫出來。 .對于物系問題，是先拆開還是先整體研究，通常：對于構架，若其整體的外約束反力不超 過4個，應先研究整體；否則，應先拆開受力最少的哪一部分。對于連續(xù)梁，應先拆開受力 最少的哪一部分，不應先整體研究。拆

3、開物系前，應先判斷系統(tǒng)中有無二力桿，若有，則先去掉之，代之以對應的反力。在任 何情況下，二力桿不作為研究對象，它的重要作用在于提供了力的方向。 .拆開物系后，應正確的表示作用力和反作用力之間的關系、字母的標注、方程的寫法。 .對于跨過兩個物體的分布載荷，不要先簡化后拆開，力偶不要搬家。 .定滑輪一般不要單獨研究，而應連同支撐的桿件一起考慮。2 .根據(jù)受力圖，建立適當?shù)淖鴺溯S，應使坐標軸與盡可能多的力的作用線平行或垂直，以免投影復雜；坐標軸最好畫在圖外，以免圖內線條過多3 .判斷力系的類型，列出對應的平衡方程： 獷六力幾何法：力多邊形自行封閉乂勺XX0解析法1Y0平鼠系m0Y0YYYO(F&qu

4、ot;/y)面平仃力系I mA 0X X 0r Y 0般力系(注意應用二矩式或三矩式)I mu0取矩時，矩心應選在盡可能多的未知力的交點上，以避免方程中出現(xiàn)過多的未知量。匯交力系空（Fi / z）平行力X 0Y 0Z 0Z 0mx 0xmy 0, mx 力偶系，mymzX般力系mxmz000000000空間力系取矩時，矩軸不一定是坐標軸，可以對任何直線取矩，使盡可能多的力的平行或相 交的直線作為矩軸，以減少方程中的未知數(shù)。4.考慮摩擦時，需分析運動的可能趨勢（若運動趨勢不明顯，則可假設，并分別考慮 各種可能），從而正確地判斷出摩擦力的方向；未到臨界時，摩擦力的大小只能由平衡方程 求出，只有在臨

5、界狀態(tài)下，才能補充定滑動摩擦定律：F m=Nf,它與平衡方程無關。待 求的量其結果往往有一個范圍。第二篇 運動學一.中心內容單純用幾何的方法描述物體在空間的位置隨時間變化的運動學性質（運動方程、軌跡、速度、加速度等)二.各章要點點的運動：研究點在一個固定坐標系下的運動。按點運動的軌跡分為：點的直線運動 X x(t) ,v x,a v x士的也比寧為1已知曲線：常用自然坐標點的曲線運動L未知曲線：用直角坐標1 .直角坐標法建立直角坐標系，將所研究的點置于該系下一般位置，寫出該點的位置坐標(x,y),純粹x x(t), y y(t)用幾何圖形找出該坐標與已知條件的關系，表成時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即

6、為運動方程：消去時間即為軌跡：y f(x)速度：Vx x , Vy y , v v x2 y2加速度：ax ay y a , x2 y22 .自然法沿已知軌跡建立自然坐標，將所研究的點置于該系下一般位置，寫出該點的弧長坐標s,純粹用幾何圖形找出該弧長與已知條件的關系，表成時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即為運動方程：s s(t)速度： V Sr2s加速度：a an a T n sr全加速度大?。篴 a2 a2全加速度的方向：恒指向曲線內凹的一側。當a,為常量時，有：v = v o+ a Tts = s0+ v ot+ a Tt 2/22- v 02=2ats3.兩方法間的關系:.a2.剛體的基本運動1

7、.平動： 直線平動曲線平動定義特性：平動時，剛體上各點的軌跡、速度、加速度完全相同，只需研究其上任一點即可。2.轉動（定軸轉動）運動方程:(t)角速度: 角加速度:轉動剛體上一點的速度:加速度:an2 a當8為常量時，有:小=小 0+ ot+ £ t 2/2CD - CD 0 = 2 £.點的合成運動研究一個點在兩個不同坐標系下的運動及其關系1.基本概念I靜系牽連點：動系上瞬時與動點重合的點 牽連點相對于靜系的速度、加速度分別稱之為牽連速度和牽連加速度速度合成定理：v av evr加速度合成定理：牽連運動為平動a aa ea r牽連運動為轉動a a a e a r a k其

8、中 a k 2 3 v r稱為科氏加速度大?。?a k=2 vrsin a方向：右手系或將vr沿旋轉9002.解題要點 .正確地選取并明確地指出動點和動系:a.動點和動系不能在同一剛體上；b.在某一物體上，動點相對該物體的位置應是不變的點；c.動點的相對運動軌跡要清晰可辨；d.常取兩物體的接觸點、滑塊、套筒、小環(huán)、小球等為動點。 .對動點進行速度分析并圖示，列出速度合成定理，常用幾何法求速度。 .正確判斷牽連運動類型，從而對動點進行加速度分析并圖示（已知的量不能畫錯，未知的量可以假設），列出對應的加速度合成公式，常用 投影法求加速度。投影軸取在不需要求 的未知量的垂線方向，以避免該未知量在方程

9、中出現(xiàn)。.剛體的平面運動1 .基本概念定義，利用定義正確地判斷出作平面運動的構件分解 : 平面運動可分解為隨任選基點的平動和繞該基點的轉動兩部分。平動與基點的選 擇有關，而轉動與基點的選擇無關，即剛體的小、e不隨基點的變化而變化。2求速度的三種方法 .基點法：Vb= V a+ V ba其中 Vba=AB BA BA 方向與AB垂直適用于任何情況, 常取速度為已知的點作基點 .速度投影法：V aCOS a = VbCOS B適用于已知某點速度的大小和方向及另一點速度的方向 , 求其大小的情況; 它不能求剛體的角速度。 .瞬心法：找出瞬心C,則此時剛體可以看作是繞瞬心 C的瞬時轉動，剛體上任一點的

10、速度為：b =BC。BC bc適用于瞬心好找、且瞬心到所求點的距離好算的情形。瞬心的位置：過兩點作速度的垂線，交點即為瞬心；只滾不滑的輪子與地面的接觸點，3瞬時平動的概念瞬時平動時：剛體上各點的速度相等，加速度不相等。剛體的角速度=0,角加速度e W04 .求加速度的基點法（唯一的方法）：取加速度為已知的點A作基點，則剛體上任一點B的aBnaA aBA aBA加速度為其中2ba=AB,°ba=AB £5 .解題思路將系統(tǒng)置于待求瞬時的位置，而不要放在一般位置；分析各構件的運動類型及整個機構 運動的傳遞過程，從運動為已知的構件開始，分析關鍵連接點的速度、加速度，并標注在圖 上

11、；重點研究作平面運動的構件，逐步從已知過渡到未知。同時應注意合成運動與平面運動 的綜合應用。三.結語對于整個運動學部分，關鍵要分析清楚系統(tǒng)中各部分的運動類型， 從而界定題目的類屬, 進而采用對應的方法。若系統(tǒng)中有套筒、滑塊滑槽、兩物體的接觸點有相對運動、聯(lián)系兩物體的小環(huán)、管中的 小球等則屬于合成運動之題目；若系統(tǒng)中有作平面運動的構件，則屬于平面運動之題目；若 兩者都有，則屬于綜合題。第三篇動力學.中心內容:研究作用于物體上的力與物體機械運動間的關系二.各章要點.質點運動微分方程dv m一dtmx投影式mymanmaFnF解決兩類問題1 .已知運動求力，正問題，求導即可;1).F2 .已知力求運

12、動，逆問題，積分：2).F3).FCF (t)直接積分；F(v)4).F F(x)變形mdv dx F(x) mvdv F(x)dx dx dt解題步驟:（略）.動量定理1 .質系的動量:K=WC ,K= 2mvidK-edKx2 .質系的動量定理：F投影式 -dtdte若 F 0 ,則系統(tǒng)動量守恒:K=K 0Fxe右Fx0 ,則系統(tǒng)動量在x方向守恒：Kx=Kx03 .質心運動定理： Mac=2 F投影式mxCXmycYnmacFnmacF若外力在某軸上投影為0,且系統(tǒng)初始靜止，則質心在該軸上保持守恒一、一 、.miXmiyi4 .質心坐標xC, yCmimi5 .用途：主要用來求1）系統(tǒng)約束

13、反力2） 質心守恒時各質點移動的位置.動量矩定理1 .質系的動量矩（對固定點O）H0=2 ho=2 門 x miiVI轉動剛體的動量矩（對固定軸z） HZ= Jzw2 .質系的動量矩定理投影式d H odtdHzdtM omz上式對固定點Q質心C、瞬心P （PC的數(shù)）均成立，其形式不變若外力對某軸之矩為，則在該軸上動量矩守恒。定軸轉動剛體微分方程平面運動剛體微分方程轉動慣量平移軸公式均質圓輪均質桿mxCXmycYJ cM c2JzmJJz M 2 p為回轉半徑2Jz Jc Md 2JcJc1 2Mr21 一 Ml126 .用途：用于轉動或平面運動系統(tǒng)求外力或加速度7 .注意事項:1) .若動力

14、學方程個數(shù)少于未知量個數(shù)，則需補充運動學條件，物體間連接處的速度、角速度、加速度、角加速度之間存在一定關系，有時要補充一些運動學公式。2 ).輪子作純滾動時，注意補充：vc rac r ,F Nf.動能定理1.功重力的功W Ph122、彈力的功W 2k( 12)轉動剛體上力偶矩的功WM理想的約束反力不做功 只滾不滑的摩擦力不做功2 .動能質點動能T質系動能T平動剛體T轉動剛體T平面運動剛體T3 .質系的動能定理T2Ti1 2 一mv 212一miVi2-MvC 22Jz-MvC 2C為質心Z為轉軸2JC-J 22 JpP為瞬心4 .用途：求解具有理想約束的系統(tǒng)中某物體的v、a、e等，它不能求得

15、約束反力5 .解題要點選整體為研究對象，不要拆開；分析各物體的運動形式，寫出系統(tǒng)初始和末了的動能 Ti和T2；計算所有力的功；代入動能定理，解之。若求a / ,則將動能定理兩端對時間t求導。、.普遍定理綜合應用1 .正確掌握各定理特征： .動量定理與動量矩定理只涉及系統(tǒng)的外力，而與內力無關； .動量定理揭示質系質心的運動，反映系統(tǒng)移動時的動力學性質； .動量矩定理反映系統(tǒng)繞某定點或某定軸轉動的動力學性質； .動能定理涉及系統(tǒng)的始末位置，不涉及約束反力2 .根據(jù)題目的要求，聯(lián)系各定理的特征，決定所采用的方法： .如果給出了系統(tǒng)的始末位置，求v、a、一而不涉及約束反力時，用動能定理；（若涉及反力，

16、也可先由動能定理求出v、&-后用其他方法求反力） .求反力或繩子內力用質心運動定理； .對于轉動剛體可用動量矩定理或定軸轉動微分方程； .對平面運動剛體可用平面運動微分方程； .注意綜合應用。（6） .動靜法（達朗伯原理）1 .慣性力的施加及其計算質點G=-ma加在該質點上,平動剛體G=-mac加在質心C,轉動剛體主矢G=-mac加在轉軸乙2主矢大小主矩平面運動剛體GnmrcGmrcM=J z £主矢 G=-mac加在質心C王矩 M=J c £2 .解題步驟（基本與靜力學解題步驟同） .取研究對象（對于物系要拆開），作受力圖； .根據(jù)運動類形，施加對應的慣性力（加慣

17、性力時直接與a、e畫反向，計算時不再代負 號）。 .根據(jù)力系的類屬，列出對應的靜力學平衡方程; .注意補充運動學條件； .聯(lián)立求解。3 .說明：原則上，動靜法可以解決任何動力學問題，不論是涉及速度、加速度還是涉及反力 可可。只是難易程度不同而已。因此，它多用于已知運動（v、a、8）求反力之情 形。（7） .虛位移原理1 .概念：虛位移、自由度、廣義坐標2 .原理：F ? r 03 .用途：解決受理想約束質點系的靜平衡問題4 .用法： .以整體為研究對象，若不求反力則不必拆開； .畫出所有主動力；若需求某一約束反力，則解除該約束代之以對應的反力并視其為主動力； .給系統(tǒng)一虛位移，找出各力作用點處虛位移間的關系。若各處虛變形不易觀察，則建立該點坐標，對坐標變分一次即為其虛位移（坐標原點應選在無虛位移的固定點）； .計算各主動力在對應的虛位移上所作的虛功； .代入虛位移原理，消去獨立的虛位移，求未知量。（8） .單自由度系統(tǒng)的振動本章的難點是運動微分方程的建立，建立方程常用的方法有：質點運動微分方程、剛體定 軸轉動微分方程、剛體平面運動微分方程。1 .無阻尼自由振動2萬程mx kx 0或mx x 0解（響應）x Asin( t )固有頻率靜伸長法能量法振幅初相位串聯(lián)