復(fù)變函數(shù)柯西積分公式

1、第三節(jié)第三節(jié) 柯西積分公式柯西積分公式 一、問題的提出一、問題的提出二、柯西積分公式二、柯西積分公式三、典型例題三、典型例題第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 2一、問題的提出一、問題的提出 . , 0中一點為為一單連通域設(shè)DzD ,d)( 0 Czzzzf一般不為零一般不為零所以所以 .)( , )( 00不解析在那末內(nèi)解析在如果zzzzfDzf根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 該積分值不隨閉曲線該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變的變化而改變, 求這個值求這個值. .0的閉曲線內(nèi)圍繞為zDC3, , 00 zzzC的正向圓周的正向圓周半徑為很小的半徑為很小的為中心為中心取作以

2、取作以積分曲線積分曲線 , )( 的連續(xù)性的連續(xù)性由由zf , )( 0處的值處的值接近于它在圓心接近于它在圓心的縮小而逐漸的縮小而逐漸的值將隨著的值將隨著上函數(shù)上函數(shù)在在zzfC )(.d)( d)(000縮小縮小將接近于將接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 4二、柯西積分公式二、柯西積分公式定理定理3.7CzzzzfizfzCDDDCzf.d)(21)( , D , )( 000那末則有內(nèi)任意一點為上連續(xù)，在內(nèi)處處解析域圍成的區(qū)在簡單閉曲線如果函數(shù)D 0zC證證 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在因為因為zzf, 0 則則, 0)( 5D

3、 0zCK , 0時時當(dāng)當(dāng) zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的內(nèi)部的內(nèi)部全在全在的正向圓周的正向圓周半徑為半徑為為中心為中心設(shè)以設(shè)以CRzzKRRz Czzzzfd)( 0則則 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000閉路變形原理閉路變形原理6 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR證畢證畢 Czzzzfizfd)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式柯西介紹柯西介紹 Kzzzzfzfd)()(00Czifdzzzzf)(2)(00.27關(guān)于柯西積分公式的說明關(guān)于柯西積分公式的說明: :(1

4、) 把函數(shù)在把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個積分而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式表達式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具) dzfizfC )(21)()(2)(zifdzfC 或者或者8(3) 一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是圓周是圓周如果如果.d)(2

5、1)(2000 ieRzfzf9三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 （1） 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求下列積分求下列積分 , sin)( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因為因為zzf , 4 0內(nèi)內(nèi)位于位于 zz 4dsin21zzzzi; 0 由柯西積分公式由柯西積分公式0sin221 zzii10 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 11例例2 2 2.d1 zzzze計算積分計算積分解解 , )( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因為因為zezf , 2 1內(nèi)內(nèi)位于位于 zz由柯西積分公式由柯西積分公式12

6、2d1 zzzzeizze.2ie 12例例3 3.d)1(1 212 izzzz計算積分計算積分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在因為因為 izzf,0iz 由柯西積分公式由柯西積分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 13例例4 4;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計算積分計算積分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 14例例5 5;211 (2): ,d14sin

7、2 zCzzzC其中其中計算積分計算積分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解15 22d14sin)3(zzzz由閉路復(fù)合定理由閉路復(fù)合定理, 得得例例6 6. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計算積分計算積分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 16從以上幾個例子我們可知：從以上幾個例子我們可知：在求上述類型的復(fù)積分時，我們需要注意：在求上述類型的復(fù)積分時，我們需要注意： 分析被積函數(shù)，誰是分析被積函數(shù)，誰是 誰是誰是 .)(

8、zf0z17柯西積分公式的重要性柯西積分公式的重要性 柯西積分公式是復(fù)積分計算中的重要公式柯西積分公式是復(fù)積分計算中的重要公式, 它的證明基于柯西它的證明基于柯西古薩基本定理古薩基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示邊界上的值通過積分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函數(shù)的重要工具數(shù)的重要工具. Czzzzfizf.d)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式:18同樣的，我們也可以把它推廣到多連通區(qū)域上。同樣的，我們也可以把它推廣到多連通區(qū)域上。dzzzzfidzzzzfizfCC210

9、00)(21)(21)(為為D D的的一一點點，則則有有z z的的內(nèi)內(nèi)部部, ,在在且且連連續(xù)續(xù)到到邊邊界界，且且曲曲線線二二連連通通區(qū)區(qū)域域D D內(nèi)內(nèi)解解析析并并所所圍圍成成的的在在由由簡簡單單閉閉曲曲線線推推論論2 2設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0 01221,)(CCCCzf19四、解析函數(shù)的最大模原理四、解析函數(shù)的最大模原理沒沒有有最最大大值值. .常常數(shù)數(shù)，則則在在D D內(nèi)內(nèi)不不是是在在區(qū)區(qū)域域D D內(nèi)內(nèi)解解析析，又又定定理理3 3. .8 8設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()()(zfzfzf結(jié)論成立.結(jié)論成立.則定理的則定理的如果如果證明：記證明：記,)(max MMzfDz含于D內(nèi)就成立著含于D內(nèi)就成立著只要

10、圓盤只要圓盤式),式),則有推論1(平均值公則有推論1(平均值公使得使得一個點z一個點z用反證法.如果D內(nèi)有用反證法.如果D內(nèi)有設(shè)設(shè)0 0RzzMzf 00,)(,M20 drezfzfi 2000)(21)()0(Rr 于是于是MdrezfzfMi 2000)(21)(由此推出由此推出Mdrezfi 200)(21.)(MzfR 內(nèi)內(nèi)z z- -z z可以證明在可以證明在于是,于是,0 0故故內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,在在由由于于使使故故存存在在使使就就有有一一點點因因為為，若若不不然然, ,RzzzfMzfMzfRrerzzi 00)(,)(0,)()0( 21上連續(xù),上連續(xù),在圓周在圓周0rzz

11、 時，有時，有使當(dāng)使當(dāng)于是存在于是存在 0，2)()(00 iierzferzf從而有從而有2)(0 Merzfi于是有下面的估計式于是有下面的估計式 derzfzfi 2000)(21)(22 derzfi)(210 derzfi ,2,00)(21MMM )()2(內(nèi)成立.內(nèi)成立.在在相矛盾，所以相矛盾，所以這與這與RzzMzfMzf 000)()(23 iMezfMRzzzfzf )(,)()(0記記為為一一常常數(shù)數(shù)，其其模模為為內(nèi)內(nèi)為為在在可可知知在在D D內(nèi)內(nèi)為為解解析析, ,再再由由.)(為為常常數(shù)數(shù)個個D D內(nèi)內(nèi)利利用用這這個個結(jié)結(jié)果果證證明明在在整整zf使使得得依依次次插插入入

12、分分點點到到在在l l上上從從和和折折線線l l連連接接在在D D內(nèi)內(nèi)有有一一條條的的連連通通性性, ,是是D D內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點，由由D D設(shè)設(shè)z z* *，*210*0*0,zzzzzzzzzn dzzkk 124含含點點一一定定含含于于D D內(nèi)內(nèi)，并并且且包包則則每每個個圓圓盤盤dzzk 而而內(nèi)內(nèi)由由上上面面結(jié)結(jié)果果可可知知在在,)(,01 ikMezfdzzz 的的再由z再由z依次證明,依次證明,有有在此圓盤內(nèi),在此圓盤內(nèi),z z* *1 1， iMezf )(1但這與原來給定但這與原來給定任意性，知在D內(nèi)有任意性，知在D內(nèi)有,)( iMezf 沒沒有有最最大大值值. .內(nèi)內(nèi)不不為

13、為常常數(shù)數(shù)矛矛盾盾，故故在在的的)()(zfDzf25推論推論1：在區(qū)域內(nèi)：在區(qū)域內(nèi)D解析的函數(shù)，若其模在區(qū)域解析的函數(shù)，若其模在區(qū)域D內(nèi)點達到最大值，則此函數(shù)必為常數(shù)。內(nèi)點達到最大值，則此函數(shù)必為常數(shù)。大模.大模.必在D的邊界上達到最必在D的邊界上達到最續(xù)，則續(xù)，則上連上連并且在并且在在有界區(qū)域D內(nèi)解析，在有界區(qū)域D內(nèi)解析，推論2：若推論2：若)()(zfDzf關(guān)于定理的幾個等價命題關(guān)于定理的幾個等價命題26 在流體力學(xué)上最大模原理反映了平面穩(wěn)定在流體力學(xué)上最大模原理反映了平面穩(wěn)定流動在無源無旋的區(qū)域內(nèi)流速的最大值不能在流動在無源無旋的區(qū)域內(nèi)流速的最大值不能在區(qū)域內(nèi)達到，而只能在邊界上達到，除非它是區(qū)域內(nèi)達到，而只能在邊界上達到，除非它是等速流動。等速流動。最大模原理的應(yīng)用最大模原理的應(yīng)用27任任意意的的在在全全平平面面上上解解析析，又又對對設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(zf上上解解析析, ,在在證證明明：因因為為對對于于任任