(第五章平面向量)

1、數(shù)學(xué)驛站 5.1 向量教學(xué)目標(biāo)1.理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；2.理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間平行（共線）、相等的關(guān)系；4.通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思想和分析辨別能力.教學(xué)建議知識(shí)結(jié)構(gòu)： 重點(diǎn)難點(diǎn)分析：本節(jié)重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用很廣泛，提供了一種便于空間數(shù)形問題研究的方法對(duì)學(xué)生來說向量是一種新的量，其特征有兩個(gè):既有大小,又有方向.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到方向性的存在是認(rèn)識(shí)向量概念的關(guān)鍵，還要讓學(xué)生理解向量和數(shù)量的區(qū)

2、別聯(lián)系，建立一種新的量的思維體系相等向量只與方向、大小有關(guān)，與位置沒有關(guān)系，進(jìn)一步理了解學(xué)習(xí)的向量是自由向量，為以后運(yùn)用向量解決平面數(shù)形問題奠定基礎(chǔ)向量的幾種表示方法在運(yùn)算中必須用到，掌握這幾種表示法及幾何表示的意義.本節(jié)難點(diǎn)是向量概念的理解由于向量是一種新的量，與以前的數(shù)量是不同的體系，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，數(shù)量的運(yùn)算律、性質(zhì)等對(duì)于向量是不適合的，讓學(xué)生先直觀上認(rèn)識(shí)，再逐步抽象使學(xué)生建立向量的運(yùn)算、性質(zhì)體系，改變學(xué)生誤認(rèn)為：數(shù)量的運(yùn)算律對(duì)于向量也適合的引入向量概念之后,隨之帶來一系列相關(guān)概念是比較多的,如零向量,單位向量,相等向量,平行向量,共線向量.對(duì)于它們要抓住本質(zhì)特征,讓學(xué)生在比較

3、中找出相近概念的區(qū)別與聯(lián)系,而且由于向量同時(shí)具有幾何圖象的特征,在學(xué)習(xí)時(shí)還要在圖形中辯清它們相等、平行,且圖形還可以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜逐步分清向量所對(duì)應(yīng)的有向線段的身份、地位和作用教法建議：1采取實(shí)際問題的方式引入課題，例如：美國“小鷹”號(hào)航空母艦導(dǎo)彈發(fā)射處接到命令：向1200公里處發(fā)射兩枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈（精確10米左右，射程超過2000公里），試問導(dǎo)彈一定能擊中目標(biāo)嗎？或者象向量的概念從帆船航行的位移等其它實(shí)例，通過具體實(shí)例使學(xué)生了解生活中除了表示大小的數(shù)量外，有時(shí)還要標(biāo)出方向，從而引出向量的概念在講解實(shí)例時(shí)最好結(jié)合相應(yīng)幾何圖象配合，并充分發(fā)揮幾何圖形的直觀的特點(diǎn)，使學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立概念

4、，并理解向量概念的實(shí)質(zhì)再讓學(xué)生列舉實(shí)際生活中向量還有哪些，如速度、力、加速度等向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內(nèi)的一自由向量，因此教學(xué)時(shí)要注意把握概念的物理意義，理解有關(guān)概念的實(shí)際背景，有助于學(xué)生認(rèn)同新概念的合理性。2引入向量概念之后，隨之帶來一系列相關(guān)概念是比較多的，如零向量，單位向量，相等向量，平行向量，共線向量.對(duì)于它們要抓住本質(zhì)特征，讓學(xué)生分析比較這些概念的區(qū)別與聯(lián)系由于向量同時(shí)具有幾何圖象的特征，在學(xué)習(xí)時(shí)還要辯清它們?cè)趫D形中表現(xiàn)相等、平行的意義，且圖形還可以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜逐步分清向量所對(duì)應(yīng)的有向線段的身份，地位和作用. 對(duì)于單位向量與以前的單位長度的區(qū)別要給學(xué)生講解清

5、楚，單位向量不止一個(gè)，因?yàn)橐硎静煌姆较蛑v清基本概念后，可讓學(xué)生歸納數(shù)量和向量的區(qū)別和聯(lián)系3對(duì)向量的位置不確定性的認(rèn)識(shí)，即向量是自由向量，可以通過把向量放在簡(jiǎn)單幾何圖形中，體現(xiàn)共線與平行的關(guān)系，準(zhǔn)確理解相等向量的含義，在圖形中幫助學(xué)生體會(huì)向量的幾何特征和數(shù)量特征的統(tǒng)一相等向量的定義也可以通過師生共同討論得到，如數(shù)量相等，是指大小相等的兩個(gè)數(shù)量，那模相等的兩個(gè)向量是否相等？單位向量是否相等？讓學(xué)生思考總結(jié)得到定義教學(xué)設(shè)計(jì)示例 一教學(xué)目標(biāo)1理解向量、零向量、單位向量、相等向量的意義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示向量；2理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；3了解平行向量、共線向量、和相等向量的意義，并會(huì)判

6、斷向量的平行、相等、共線；4通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行唯物辯證思想.二教學(xué)具準(zhǔn)備直尺、投影儀三教學(xué)過程1設(shè)置情境師：（邊畫圖邊講解）美國“小鷹”號(hào)航空母艦導(dǎo)彈發(fā)射處接到命令：向1200公里處發(fā)射兩枚戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈（精度10米左右，射程超過2000公里），試問導(dǎo)彈是否能擊中伊拉克的軍事目標(biāo)？    生：不能，因?yàn)闆]有給定發(fā)射的方向師：現(xiàn)實(shí)生活中還有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？生：力、速度、加速度等有大小也有方向，溫度和長度只有大小沒有方向師：對(duì)！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我們把既

7、有大小又有方向的量叫做向量數(shù)學(xué)中用點(diǎn)表示位置，用射線表示方向常用一條有向線段表示向量在數(shù)學(xué)中，通常用點(diǎn)表示位置，用射線表示方向（1）意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等（2）向量的表示方法：幾何表示法：點(diǎn)和射線有向線段具有一定方向的線段有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度符號(hào)表示：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作 （注意起訖）字母表示法： 可表示為 （印刷時(shí)用黑體字）例   用1cm表示5n mail（海里）（3）模的概念：向量 的大小長度稱為向量的模。記作：| |，模是可以比較大小的注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)

8、運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。 從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。2探索研究（學(xué)生自學(xué)概念）（1）介紹向量的一些概念師：長度為零的向量叫什么向量？如何表示？長度為1的向量叫做什么向量？是不是只有一個(gè)？（學(xué)生看書回答）生：長度為零的向量叫做零向量，表示為：0；長度等于1的向量叫做單位向量，有許多個(gè)，每個(gè)方向都有一個(gè)師：滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？符號(hào)如何表示？單位向量是相等向量嗎？生：如果兩個(gè)向量大小相等且方向相同，那么這兩個(gè)向量叫做相等向量，a=b單位向量不一定是相等向量，單位向量的方向不一定相同師：有一組向量，它們的

9、方向相同或相反，那么這組向量有什么關(guān)系？生：平行師：對(duì)！我們把方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量，符號(hào)如何表示？如果我們把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到同一點(diǎn) ，這時(shí)它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？生：是平行向量，a/b，各向量的終點(diǎn)都在同一條直線上師：對(duì)！由此，我們把平行向量又叫做共線向量（2）例題分析【例1】判斷下列命題真假或給出問題的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）與零向量相等的向量是什么向量？（4）與任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（6）兩個(gè)非零向量相等的充要條件是什么？（

10、7）共線向量一定在同一直線上嗎？解：（1）根據(jù)定義：平行向量可以方向相反，故命題（1）為假；（2）平行向量沒有長、短要求，故命題（2）為假；（3）只有零向量；（4）零向量；（5）平行向量；（6）模相等且方向相同；（7）不一定，只要它能被平移成共線就行說明：零向量是向量，只不過它的起、終點(diǎn)重合依定義、其長度為零【例2】如圖，設(shè) 是正六邊形 的中心，分別寫出圖中與向量 、 ，相等的向量解： 練習(xí)：（投影）在上題中變式一，與向量 長度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）變式二，是否存在與向量 長度相等，方向相反的向量？（存在）變式三，與向量 共線的向量有哪些？（有 、 和 ）3演練反饋（投影）（1）下列各

11、量中是向量的是（      ）A動(dòng)能B重量C質(zhì)量D長度（2）等腰梯形 中，對(duì)角線 與 相交于點(diǎn) ，點(diǎn) 、 分別在兩腰 、 上， 過 且 ，則下列等式正確的是（      ）AB CD （3）物理學(xué)中的作用力和反作用力是模_且方向_的共線向量參考答案：（1）B；  （2）D；    （3）相等，相反4總結(jié)提煉（1）描述一個(gè)向量有兩個(gè)指標(biāo)：模、方向（2）平行概念不是平面幾何中平行線概念的簡(jiǎn)單移植，這兒的平行是指方向相同或相反的一對(duì)向量，它與長度無關(guān)，它與是否真

12、的不在一條直線上無關(guān)（3）向量的圖示，要標(biāo)上箭頭及起、終點(diǎn)，以體現(xiàn)它的直觀性四板書設(shè)計(jì)向    量1向量的定義2表示法                        6例題3零向量和單位向量            

13、60; 7演練反饋4平行向量（共線向量）          8總結(jié)提煉5相等向量典型例題例1判斷下列命題的真假： 直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)軸都是向量；兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件；向量 與 是共線向量，則 、 、 、 必在同一直線上；向量 與向量 平行，則 與 的方向相同或相反；四邊形 是平行四邊形的充要條件是 分析：判斷上述五個(gè)命題的真假性，需細(xì)心辨別才能識(shí)其真面目解：直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸，雖有方向之別，但無大小之分，故命題是錯(cuò)誤的由于兩個(gè)向量相等，必知這兩個(gè)向量的方向與長度均一致，故這

14、兩個(gè)向量一定平行，所以，此命題正確；不正確 與 共線，可以有 與 平行；不正確如果其中有一個(gè)是零向量，則其方向就不確定；正確此命題相當(dāng)于平面幾何中的命題：四邊形 是平行四邊形的充要條件是有一組對(duì)邊平行且相等小結(jié)：學(xué)習(xí)向量時(shí)，由于向量具有數(shù)形兩重性，所以不僅要知其本身的一些概念性質(zhì)，還應(yīng)與相關(guān)的平面幾何知識(shí)聯(lián)系起來，這對(duì)理解向量的一些性質(zhì)很有好處例2下列各量中是向量的有_.A   動(dòng)能   B 重量  C  質(zhì)量   D  長度  E  作用力與反作用力   F

15、60; 溫度分析：用向量的兩個(gè)基本要素作為判斷的依據(jù)注意對(duì)物理量實(shí)際意義的認(rèn)識(shí).解:A，C，D，F(xiàn)只有大小，沒有方向，而B和F既有大小又有方向，故為向量.小結(jié)：:此題意在加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，注重與其他學(xué)科的綜合，在應(yīng)用背景中認(rèn)識(shí)大小和方向的含義，強(qiáng)化對(duì)向量的認(rèn)識(shí)例3命題“若 ， ，則 ”（      ）A總成立B當(dāng) 時(shí)成立C當(dāng) 時(shí)成立D當(dāng) 時(shí)成立分析：這里要作出正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件零向量與其他任何非零向量都平行，當(dāng)兩非零向量 、 不平行而 時(shí)，有 ， ，但這時(shí)命題不成立，故不能選擇A，也不能選擇B與D，故只能選擇C答案：C小結(jié)：本例

16、說明向量平行的傳遞性要成立，就需“過渡”向量 不為零向量事實(shí)上，在 的情況下： 時(shí)， ， 與 同向或反向又 ， 與 同向或反向， 與 同向或反向， 若 與 中有一個(gè)為零，則另一個(gè)無論為零還是不為零，均有 由以上可以確定 是正確的 例4如圖， 、 、 分別是 的三邊 、 、 的中點(diǎn)，寫出與 共線的向量分析：要注意到線段 是 的中位線，與 共線的向量的主要特性是與 平行，結(jié)合中位線的性質(zhì)可以得出結(jié)論解：與 共線的向量有 、 、 、 、 、 、 小結(jié)：應(yīng)注意共線向量就是平行向量，所以在圖中凡是與 共線或平行的有向線段所表示的向量都是與 共線的向量 例5如圖， 、 是 上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以 、 及圓

17、 九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，模等于半徑的向量有多少？模等于半徑 倍的向量有多少個(gè)？分析：（1）由于 、 是 上的八個(gè)等分點(diǎn)，所以八邊形 是正八邊形，正八形的邊及對(duì)角線長均與 的半徑不相等所以模等于半徑的向量只可能是 與 （ 、28）兩類（2） 內(nèi)接正方形的邊長是半徑的 倍，所以我們應(yīng)考慮與圓心 形成 圓心角的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量個(gè)數(shù)解：（1）模等于半徑的向量只有兩類，一類是 （ 、28）共8個(gè)；另一類是 （ 、28）也有8個(gè)兩類合計(jì)16個(gè)（2）以 、 為頂點(diǎn)的 的內(nèi)接正方形有兩個(gè)，一個(gè)是正方形 ；另一個(gè)是正方形 在題中所述的向量中，只有這兩個(gè)正方形的邊（看成有向線段，每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量

18、）的長度為半徑的 倍所以模為半徑 倍的向量共有 個(gè)小結(jié)：（1）在模等于半徑的向量個(gè)數(shù)的計(jì)算中，要計(jì)算 與 （ 、28）兩類一般地我們易想到 （ 、28）這8個(gè)，而易遺漏 （ 、28）這8個(gè)（2）圓內(nèi)接正方形的一邊對(duì)應(yīng)了長為 的兩個(gè)向量，例如邊 對(duì)應(yīng)向量 與 ，因此與（1）一樣，在解題過程中主要要防止漏算認(rèn)為滿足條件的向量個(gè)數(shù)為8是錯(cuò)誤的例6在平面中下列各種情形中，將各向量的終點(diǎn)的集會(huì)分別構(gòu)成什么圖形？（1）把所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn) （2）把平行于直線 的所有單位向量的起點(diǎn)平移到直線 上的 點(diǎn)（3）把平行于直線 的所有向量的起點(diǎn)平移到直線 上的點(diǎn) 解：（1）以點(diǎn) 為圓心，1為半徑的圓（2

19、）直線 上與點(diǎn) 的距離為1個(gè)長度單位的兩個(gè)點(diǎn)（3）直線 小結(jié)：本小題考查向量的平移變換和單位向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查對(duì)向量與集合知識(shí)的綜合運(yùn)用能力擴(kuò)展資料向量的由來向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)

20、多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象這樣，就可以指導(dǎo)線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用而向量及其線性運(yùn)算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個(gè)具體的模型 從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系 向

21、量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)abi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué) 但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系19世紀(jì)中期，英國數(shù)學(xué)家漢密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)隨后

22、，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析 三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀(jì)8O年代各自獨(dú)立完成的他們提出，一個(gè)向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分從此，向量的方法被引進(jìn)到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具.擴(kuò)展資料平面向量概述一本章內(nèi)容 向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具

23、有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題。 向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法向量法和坐標(biāo)法。 本章共分兩大節(jié)。第一大節(jié)是“向量及其運(yùn)算”，內(nèi)容包括向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的

24、積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；線段的定比分點(diǎn)、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等。 第二大節(jié)是“解斜三角形”。這一大節(jié)可以看成是向量知識(shí)的應(yīng)用，內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應(yīng)用舉例和實(shí)習(xí)作業(yè)等。 正弦定理、余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，教科書通過向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來，推導(dǎo)出了這兩個(gè)定理，并運(yùn)用這兩個(gè)定理初步解決了測(cè)量、工業(yè)、幾何等方面的實(shí)際問題，特別在這一大節(jié)中，還安排了一個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)，從而使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決的能力。 為擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，本章中還安

25、排了兩個(gè)閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們?cè)缙谠鯓訙y(cè)量地球的半徑”。 本章重點(diǎn)是：（1）向量的概念、向量的幾何表示和坐標(biāo)表示；（2）向量的代數(shù)運(yùn)算法則，向量的數(shù)量積；（3）線段的定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)公式、平移公式；（4）解斜三角形本章難點(diǎn)是：（1）熟練運(yùn)用向量的概念、向量的幾何表示和坐標(biāo)表示；（2）理解和運(yùn)用向量的運(yùn)算法則；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形引入向量后，運(yùn)算對(duì)象擴(kuò)充了，要注意熟悉這套運(yùn)算法則，特別要區(qū)別向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的異同另外通過向量的應(yīng)用，學(xué)會(huì)把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，提高解決問題的能力向量知識(shí)處處充滿唯物辯證法，是中學(xué)階段不可多得的培養(yǎng)唯物辯證思想的內(nèi)容，有目的

26、、有計(jì)劃地指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用辯證唯物主義觀點(diǎn)去研究問題，是學(xué)生進(jìn)行德育教育，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義思想的極好途徑二本章教學(xué)要求 1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。 2.掌握向量的加法與減法。 3.掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。 4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。 5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。 6.掌握線段的定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用，掌握平移公式。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)

27、算器解決斜三角形的計(jì)算問題，通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。三課時(shí)安排本章教學(xué)時(shí)間約22課時(shí)，具體安排如下： 5.1向量 約1課時(shí) 5.2向量的加法與減法 約2課時(shí) 5.3實(shí)數(shù)與向量的積 約2課時(shí) 5.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 約2課時(shí) 5.5線段的定比分點(diǎn) 約l課時(shí) 5.6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 約2課時(shí) 5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 約1課時(shí) 5.8平移 約1課時(shí) 5.9正弦定理、余弦定理 約4課時(shí) 5.10解斜三角形應(yīng)用舉例 約2課時(shí) 5.11實(shí)習(xí)作業(yè) 約2課時(shí) 小結(jié)與復(fù)習(xí) 約2課時(shí)探究活動(dòng)右圖是中國象棋的半個(gè)棋盤，“馬走日”是象棋中馬的走法馬可從 跳到

28、 ，也可以跳到 ，用向量 、 表示馬走了“一步”試在圖中畫出馬在 、 處走了“一步”的所有情況 解：馬在 處只有3處可走，在 處有8處可走圖形中馬的走法如下：能否將將馬在表格的任意一點(diǎn)處走一步的一般規(guī)律總結(jié)出來？習(xí)題精選一、判斷題 1判斷下列命題真假平行向量一定方向相同共線向量一定相等起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等的向量不相等的向量，則一定不平行非零向量的單位向量是 2判斷下列各命題是否正確若 ，則 若 、 、 、 是不共線的四點(diǎn)，則 是四邊形 是平行四邊形的充要條件若 ， ，則 兩向量 、 相等的充要條件是 是向量 的必要不充分條件 的充要條件是 與 重合、 與 重合二、選擇題

29、3如圖，四邊形 ，其中 ，則相等的向量是（      ）A 與                  B 與 C 與                  D 與 4下列命題中，正確的是（    &

30、#160; ）A                 B C                   D 5下列各命題中假命題的個(gè)數(shù)為（      ）向量 的長度與向量 的長度相等向量 與向量 平行，則 與 的方向相同或相反兩個(gè)有共同起點(diǎn)

31、而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量向量 與向量 是共線向量，則點(diǎn) 、 、 、 必在同一條直線上有向線段就是向量，向量就是有向線段A2            B3           C4             D56在下列各結(jié)論中，正確的

32、結(jié)論為（      ）兩向量共線且模相等是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件；兩向量平行且模相等是這兩個(gè)向量相等的既不充分也不必要條件；兩向量方向相同且模相等是這兩個(gè)向量相等的充分條件；兩向量方向相反且模不相等是這兩個(gè)向量不相等的充分不必要條件A、       B、        C、         D、7下列命題，真命題的個(gè)數(shù)為（

33、0;     ）兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同若非零向量 與 是共線向量，則 、 、 、 四點(diǎn)共線若 且 ，則 四邊形 為平行四邊形的充要條件是 A0         B1          C2          D38在矩形 中， ， 、 分別為 和 的中點(diǎn)，則在以 、 、 、 、

34、、 為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對(duì)數(shù)為（      ）A9         B11         C18         D249下列各命題為真命題的有（      ）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量

35、方向?yàn)槟掀?的向量與北偏東 的向量是共線向量坐標(biāo)平面上的 軸和 軸都是向量A個(gè)         B2個(gè)          C3個(gè)        D4個(gè)三、填空題10如圖， 、 是線段 的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可以寫出_個(gè)互不相等的非零向量11如下圖，等腰三角形 中， 、 分別是腰 、 靠近頂點(diǎn) 的三等分點(diǎn)若 ，則 四、解答題12如右圖，

36、在以正方體 的頂點(diǎn)為起點(diǎn)、終點(diǎn)的向量中，（1）寫出所有與 相等的向量；（2）寫出所有與 相反的向量；（3）寫出與 相等及相反的向量；（4）寫出所有與 共線的向量13在直角坐標(biāo)系中，畫出下列向量：（1） ， 的方向與 軸正方向的夾角為 ，與 軸正方向的夾角為 ；（2） ， 的方向與 軸正方向的夾角為 ，與 軸正方向的夾角為 ；（3） ， 的方向與 軸正方向的夾角為 ，與 軸正方向的夾角為 參考答案：1（1）假命題  （2）假命題    （3）真命題   （4）假命題   （5）真命題2（1）不正確 （2）正確 （3）

37、正確  （4）不正確  （5）正確（6）不正確3D   4C  5C  6D  7B  8D  9B  真命題作用力與反作用力是一對(duì)大小相同方向相反的向量，因而它們是一對(duì)共線向量假命題因?yàn)榱闵虾土阆虏⒉淮矸较蛘婷}因?yàn)槟掀?的向量恰好為北偏東 的向量的反方向（如圖），所以它們共線假命題因?yàn)殡m然 軸和 軸有方向，但無長度（或者說無法測(cè)得它們的長度，也無法確定它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)），故它們不是向量綜上所述，在四個(gè)命題中，真命題有兩個(gè)，故應(yīng)選擇B106  112   12

38、（1） 、 、 是與 相等的向量；（2） 、 、 、 是與 相反的向量；（3） 與 相等， 、 與 相反；（4） 、 、 、 、 、 、 與 共線135.2向量的加法與減法教學(xué)目標(biāo)1掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；2掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算；3明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量；4在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；5通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以

39、滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)教學(xué)建議知識(shí)結(jié)構(gòu):重點(diǎn)難點(diǎn)分析：本節(jié)重點(diǎn)是向量的加法和向量的減法的定義、運(yùn)算、幾何表示我們學(xué)過的數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算且有相關(guān)的運(yùn)算律而向量也應(yīng)當(dāng)可以進(jìn)行加法減法運(yùn)算，也必須遵循相應(yīng)的運(yùn)算律，且能作出幾何解釋，才能讓向量發(fā)揮更大的作用所以向量的加減運(yùn)算法則必須重點(diǎn)體會(huì)理解而加法交換律，結(jié)合律等運(yùn)算律的出現(xiàn)使向量的運(yùn)算具備了線性性質(zhì)，更是我們所希望的，尤其是向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問題，這些自然應(yīng)在教學(xué)中

40、引起重視本節(jié)內(nèi)容也是本章的重要內(nèi)容之一本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)向量加減法定義的理解及向量加法，減法運(yùn)算時(shí)方向的確定向量的加法與數(shù)量的運(yùn)算有很大的區(qū)別，運(yùn)算中包含方向和長度兩方面，因此首先要學(xué)生從幾何表示上理解運(yùn)算的意義向量的減法實(shí)際上是轉(zhuǎn)化成加法來進(jìn)行的，轉(zhuǎn)化的前提是掌握相反向量的概念減法的三角形法則與加法的三角形法則是不同的，特別是減法的三角形法則應(yīng)讓學(xué)生記住:連接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù))記清法則是靈活運(yùn)用的前提教法建議：1向量的加法可以從實(shí)際問題引入，例如可以從物理上的位移入手，由于大陸和臺(tái)灣沒有直航，因此2003年春節(jié)探親，要先從臺(tái)北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和是

41、什么？位移也是向量的一種，那么向量和的定義也是一致的從而使學(xué)生有物理上的位移直觀理解向量和的定義，然后再從數(shù)學(xué)的角度定義向量的三角形法則給學(xué)生說明三角形法則對(duì)于一切向量都適合，但物理習(xí)慣用的平行四邊形法則對(duì)于共線向量不適合，要讓學(xué)生特別注意2向量的減法引入之前，要給學(xué)生講清相反向量的意義和表示方法讓學(xué)生理解向量的減法的幾何表示，可以按照下圖講解，理解差向量的起點(diǎn)終點(diǎn)的選擇3掌握向量的加法和減法法則時(shí)，一方面要用形來幫助理解，另一方面還可以從特殊位置到一般位置去認(rèn)識(shí)，如共線的，共起點(diǎn)的，共終點(diǎn)的等特殊想來能夠之間的運(yùn)算熟悉法則的使用讓學(xué)生結(jié)合圖形，歸納總結(jié)向量和的性質(zhì)，如向量的方向，模等與兩向量

42、間的關(guān)系4 對(duì)于加法的結(jié)合律讓學(xué)生通過圖形自己檢驗(yàn)，一方面可以熟悉向量的加法，還可以理解結(jié)合律由于向量的加法滿足結(jié)合律，和交換律，所以向量的加法中向量的個(gè)數(shù)可以推廣到n個(gè)即n個(gè)向量 相加可以寫成 ，并且按向量加法的三角形法則可以得到n個(gè)向量相加的法則是:以前一個(gè)向量的終點(diǎn)作為下一個(gè)向量的起點(diǎn)，相繼作出向量 ，再以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，這個(gè)向量就是所求的這n個(gè)向量的和教學(xué)設(shè)計(jì)示例（第一課時(shí)）一教學(xué)目標(biāo) （1）掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和會(huì)用向量加法的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；（2）掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算；（3

43、）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；（4）培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想二教學(xué)重點(diǎn)：向量的加法的定義，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個(gè)向量的和向量；教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量加法定義的理解三教具：多媒體、實(shí)物投影儀四教學(xué)過程1設(shè)置情境請(qǐng)同學(xué)看這樣一個(gè)問題：（投影）（1）由于大陸和臺(tái)灣沒有直航，因此2003年春節(jié)探親，要先從臺(tái)北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和時(shí)什么？（2）如圖（2），飛機(jī)從 到 ，再改變方向從 到 ，則兩次位移的和是 ，應(yīng)該是_（3）如圖（3），船的速度是 ，水流速度是 則兩個(gè)速度的和是 應(yīng)該是_生：（1）這人兩次的位移的和是從臺(tái)北到上

44、海；（2）飛機(jī)兩次位移的和是 ；（3）兩個(gè)速度的和是 師：很好！兩人向量的和仍是一個(gè)向量本節(jié)課就來研究兩個(gè)向量的和（板書課題：向量的加法）2探索研究（1）向量的加法的定義：已知向量 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作 ，則向量 叫做向量 的和。記作： 即 零向量與任意向量 ，有 （2）兩個(gè)向量的和向量的作法：三角形法則:兩個(gè)向量“首尾”相接注意：1°三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用；2°兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量例1已知向量 ，求作向量 作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 ，則 平行四邊形法則：由同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量 為鄰邊作平行四邊形BCD，則以A為起點(diǎn)的向量 就是向量 的和

45、。這種作兩個(gè)向量和的方法叫做平行四邊形法則注意：平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用3向量和與數(shù)量和的區(qū)別：當(dāng)向量 不共線時(shí)， 的方向與 不同向，且 當(dāng)向量 同向時(shí)， 的方向與 同向，且 當(dāng)向量 反向時(shí)，若 ，則 的方向與 同向，且 ；若 ，則 的方向與 反向，且 ；4向量的運(yùn)算律：交換律： 證明：當(dāng)向量 不共線時(shí),如上圖，作平行四邊形ABCD，使 ， 則 , 因?yàn)?， 所以 當(dāng)向量 共線時(shí)，若 與 同向，由向量加法的定義知： 與 同向，且 與 同向，且 ，所以 若 與 反向，不妨設(shè) ，同樣由向量加法的定義知： 與 同向，且 與 同向，且 ，所以 綜上， 結(jié)合律： 學(xué)生自己驗(yàn)證。由于向量的加

46、法滿足交換律和結(jié)合律，對(duì)于多個(gè)向量的加法運(yùn)算就可以按照任意的次序與任意的組合來進(jìn)行了例如： 例2如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以 的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)喝水的流速為 ，求船實(shí)際航行的速度的大小與方向。解：設(shè) 表示船垂直于對(duì)岸的速度， 表示水流的速度，以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則 就是船實(shí)際航行的速度在 中， ， 所以 因?yàn)?答：船實(shí)際航行的速度的大小為 ，方向與水流速間的夾角為 4演練反饋（投影）（1）在平行四邊形 中， ， 則用 、 表示向量 的是（     ）A       

47、;   B           C0          D （2）若 為 內(nèi)一點(diǎn)， ，則 是 的（     ）A內(nèi)心           B外心        C垂心  

48、        D重心（3）下列各等式或不等式中一定不能成立的個(gè)數(shù)（     ） A0          B1          C2            D35總結(jié)提煉（1） 是一個(gè)向量，在三角形

49、法則下：平移 向量，使 的起點(diǎn)與 的終點(diǎn)重合，則 就是以 的起點(diǎn)為起點(diǎn)， 的終點(diǎn)為終點(diǎn)的新向量（2）一組首尾相接的向量和： ，如圖（3）對(duì)任意兩個(gè)向量 、 ，任有 成立五板書設(shè)計(jì) 1引例揭示課題2例1   例2演練反饋總結(jié)提煉教學(xué)設(shè)計(jì)示例（第二課時(shí)） 一教學(xué)目標(biāo) 1明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量；2能利用向量減法的運(yùn)算法則解決有關(guān)問題；3啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；4過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解

50、事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)二教學(xué)重點(diǎn)：向量的減法的定義，作兩個(gè)向量的差向量；教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量減法定義的理解三教    具：多媒體、實(shí)物投影儀四教學(xué)過程1設(shè)置情境上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算：減法（板書課題：向量的減法）2探索研究（1）向量減法相反向量：與 長度相等，方向相反的向量叫做相反向量。記作 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量注意：1° 與 互為相反向量。即 2°

51、任意向量與它的相反向量的和是零向量。即 3°如果 、 是互為相反向量，那么 與 的差：向量 加上 的相反向量，叫做 與 的差即 向量的減法：求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法 的作法：已知向量 、 ，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 ，則 。即 可以表示為從向量 的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量 思考：為從向量 的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量是什么？（ ）師：還可以從加法的逆運(yùn)算來定義，如下圖所示，因?yàn)?，所以 就是 ，因而只要作出了 ，也就作出了 要作出 ，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，作 ， ，則 師：若兩向量平行，如何作它們的差向量？兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量嗎？它們的大小如何（ 的幾何意義）？方向怎

52、樣？生：兩個(gè)向量的差還是一個(gè)向量， 的大小是 ，是連接 、 的終點(diǎn)的線段，方向指向被減向量練習(xí)：（投影）判斷下列命題的真假（1） （     ）（2）相反向量就是方向相反的向量（      ）（3） （     ）（4） （     ）參考答案：、×、×、×（2）例題分析【例1】已知向量 、 、 、 ，求作向量 ， 師：已知的四個(gè)向量的起點(diǎn)不同，要作向量 與 ，首先要做什么？生：首先在平面內(nèi)任取一

53、點(diǎn) ，作 ， ， ， 作 、 ，則 ， 【例2】如圖所示， 中 ， ，用 、 表示向量 、 師：由平行四邊形法則得 由作向量差的方法得 練習(xí)：（投影）對(duì)例2進(jìn)行變式訓(xùn)練變式一，本例中，當(dāng) 、 滿足什么條件時(shí)， 與 互相垂直？變式二，本例中，當(dāng) 、 滿足什么條件時(shí)， ？變式三，本例中， 與 有可能相等嗎？為什么？參考答案：變式一：當(dāng) 為菱形時(shí)，即 時(shí)， 與 垂直變式二：當(dāng) 為長方形時(shí) ，即 變式三：不可能，因?yàn)?的對(duì)角線總是方向不同的3演練反饋（投影）（1） 中， ， ，則 等于（     ）A      

54、   B          C        D （2）下列等式中，正確的個(gè)數(shù)是（      ） ；  ；  ；  ；  A5        B4        C3   

55、0;     D2（3）已知 ， ，則 的取值范圍是_參考答案：（1）B；   （2）B；  （3）3，134總結(jié)提煉（1）相反向量是定義向量減法的基礎(chǔ)，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量：（2）向量減法有兩種定義：將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算： 將減法運(yùn)算定義為加法運(yùn)算的逆運(yùn)算：如果 ，則 從作圖上看這兩種定義沒有本質(zhì)區(qū)別，前一個(gè)定義就是教材采用的定義法，但作圖稍繁一點(diǎn)；后一種定義便于作圖和記憶，兩個(gè)有相同起點(diǎn)的向量相減，所得向量是連接兩向量終點(diǎn)，并且指向被減向量的終點(diǎn)五板書設(shè)計(jì)向量的減法相反向量  &

56、#160;           例1           例2向量的減法典型例題例1如圖1所示，已知向量 ，試求作和向量 分析：求作三個(gè)向量的和的問題，首先求作其中任兩個(gè)向量的和，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再求這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和即先作 ，再作 解：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，作向量 ，再作向量 ，則得向量 ，然后作向量 ，則向量 即為所求小結(jié)：此題的目的主要在于用幾何作圖熟

57、悉加法的三角形法則及對(duì)結(jié)合律的認(rèn)識(shí)例2化簡(jiǎn)下列各式(1) ；      (2) 分析：化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法是利用幾何方法通過作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；是利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量解： (1)原式= (2)原式= 小結(jié)：向量的加法，減法的運(yùn)算并不困難，但運(yùn)算的途徑很多，十分靈活，如平面任一向量都可以寫成兩個(gè)向量的和，同樣任一向量都可以分成兩個(gè)向量的差等通過這種調(diào)整來簡(jiǎn)化運(yùn)算例3用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形分析：要證明

58、四邊形是平行四邊形只要證明某一組對(duì)邊平行且相等由相等向量的意義可知，只需證明其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的向量是相等向量(需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號(hào)語言)已知：如圖3，ABCD是四邊形，對(duì)角線AC與BD交于O，且AO=OC，DO=OB求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明：由已知得 ， ，且A，D，B，C不在同一直線上，故四邊形ABCD是平行四邊形小結(jié)：這種類型的題目由于要求用向量的方法來證明，故應(yīng)把平面幾何的語言準(zhǔn)確無誤的轉(zhuǎn)換為平面向量的語言，如本題中 ，而不能寫 例4證明：對(duì)于任意兩個(gè)向量 都有 分析：由于不等式本身有明顯的幾何意義，故應(yīng)選用向量的幾何意義進(jìn)行證明可根據(jù)向量 共線與不共線兩種情況進(jìn)行討論證

59、明：若 中有一個(gè)為零向量，則不等式顯然成立若 都不是0時(shí)，記 ，則 (1)    當(dāng) 不共線時(shí)，如圖4甲所示，則有 即      (2)    當(dāng) 共線時(shí)，若 同向，如圖4乙所示， ，即 ；若 反向，如圖4丙所示 ，即 綜上可知 小結(jié)：兩個(gè)向量之間無大小可言而兩個(gè)向量的長度之間可以比大小此不等式一般稱為三角不等式，它的幾何意義就是三角形中的任意一邊的長小于其他兩邊長的和且大于其他兩邊長的差的絕對(duì)值在證明之后還可以讓學(xué)生一起討論不等式中兩個(gè)等號(hào)成立的條件例5設(shè)a表示“向東走10km”，b表示“向西走5km”

60、，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km“說明下列向量的意義(1)a+b    (2)b+d   (3)d+a+d分析：根據(jù)實(shí)際意義來確定向量的方向，再根據(jù)三角形法則進(jìn)行加法運(yùn)算解：(1) a+b表示向東走5km         (2) b+d表示向西南走 km(3) d+a+d表示向東南走 km小結(jié)：關(guān)于向量的加法實(shí)際就是向量的合成，而向量的合成在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，此題就是初步了解其應(yīng)用例6如圖5，一物體受到兩個(gè)大小均為60N的力的作用，兩力的夾角為6

61、0 且有一力方向水平，求合力的大小及方向 分析：首先應(yīng)根據(jù)題目已知條件作出向量圖，從圖中觀察合力與分力的關(guān)系解：設(shè) 分別表示兩力，以 為鄰邊作平行四邊形OACB，則 即為合力由已知可得OAC為等腰三角形，且 過A作 于 ，則在 中， 故 ，即合力的大小為 ，方向與水平方向成30°角小結(jié)：在這種向量的合成中注意和向量的模并不是兩向量的模的簡(jiǎn)單相加，只有在兩向量方向相同時(shí)才可以擴(kuò)展資料向量 -思維的全新視角、教學(xué)的最佳契機(jī)南京十三中 陶可向量是新教材增加的內(nèi)容，無論是對(duì)于教師還是學(xué)生都是新的，作為學(xué)生，接觸到新的內(nèi)容，不僅增大了知識(shí)的容量，而且由于立足于向量這一新的視角，進(jìn)一步拓寬了思維的渠道。作為教師不僅要學(xué)