集合中常見的幾類問題

1、精品資料集合中常見的幾類問題題型 1：元素的互異性常見出錯(cuò)點(diǎn)：求出參數(shù)范圍忘記帶回檢驗(yàn)，導(dǎo)致增根1、已知 a=a+2 ， （ a+1 ）2，a 2+3a+3 且 1 a，求實(shí)數(shù)a 的值；2、已知 m=2 ，a，b，n=2a ，2，b2且 m=n ，求 a，b 的值 . 集合元素的“三性”及其應(yīng)用3、 設(shè)x2（ 2） 1，r ，求中所有元素之和已知集合a a, a b, a 2b ，b a, ac,ac 2 ，若 a b ，求c 的值4、已知集合a 2 ，3, a 2 +4 a +2 ，b0,7, 求a 值題型 2、有限集之間的關(guān)系用韋恩圖a 2 +4 a -2,2- a ，且 a b=3,7,

2、 1、全集 u=x|x10 ，x n ，a u，b u，且（ c u b） a=1,9 ，a b=3 ，（cu a) (c u b)=4,6,7 ，求 a、b。題型 3：證明、判斷兩集合的關(guān)系1、 設(shè)集合a a | a 3n 2, n z，集合b b | b 3k 1,k z，試判斷集合a 、b 的關(guān)系。精品資料題型 4、無限集之間的關(guān)系用數(shù)軸2、集合 a=x|x-3| a，a0，b=x|x 2-3x+2 0 ，且 b a，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是. 搞不清楚是否能取得邊界值：例題 3、a=x|x10 ，b=x|x1 m 且 b a，求 m 的范圍 . 題型 5、集合之間的關(guān)系（在方程、不等式中

3、的考查）常見出錯(cuò)點(diǎn)：1、集合的關(guān)系判斷中遺忘空集的情況2、集合所表示的是點(diǎn)集還是數(shù)集（點(diǎn)集多從圖形的角度去考慮）3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次數(shù)如果是字母要討論0 的情況1、設(shè)集合a x x 23x 2 0 ， b x x 22(a 1) x (a 2 5) 0 （1）若 a b2 ，求實(shí)數(shù)a 的值；（2）若 a ba，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍若 a b 2 。2、集合a x | ax 1 0 , b x | x23x 2 0 ,且a b b ,求實(shí)數(shù)a 的值 . 3、 a x, y | x2y2 42 ，b x, y | x 3 y 4 2 r 2，其中 r 0 , 精品資料若a b 求

4、 r 的取值范圍。4、已知集合a x | 2 x 5 ，b x | m 1 x 2m1 ，滿足 b a ，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍為. 5、已知集合ax|x26x80， bx |（ xa） （x3a ） 0. （1）若 a b，求 a 的取值范圍；（2）若 ab，求 a 的取值范圍；（3）若 abx|3 x 4，求 a 的值或取值范圍. 6. 已知集合ax|mx22x 30，mr. （1）若 a 是空集，求m 的取值范圍；（2）若 a 中只有一個(gè)元素，求m 的值；（3）若 a 中含有兩個(gè)元素，求m 的取值范圍 . 題型六：補(bǔ)集思想的應(yīng)用例 1 已知集合a=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1

5、)0,b=y|y2-6y+8 0，若 ab，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。例 2、若下列三個(gè)方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。二、集合中的創(chuàng)新題考查精品資料1、新運(yùn)算問題例 1 定義集合a 與 b 的運(yùn)算： ab x|x a，或 x b，且 x a b，已知集合a1，2，3，4， b3，4，5，6， 7，則 (ab)b 為( ) (a) 1 ，2，3，4，5，6，7 (b) 1，2，3，4 (c) 1 ， 2 (d) 3 ，4，5，6，7 例 2 m，p 是兩非空集合，定義m 與 p 的差集為mp

6、x|x m 且 x p，則 m (mp)= （ ）(a) p (b) m p (c) mp(d) m 2、元素或集合的個(gè)數(shù)問題例 3 設(shè) p3，4，5 ，q4， 5， 6，7，定義 pq(a，b)|a p，b q，則 p q 中元素的個(gè)數(shù)為( ) (a) 3 (b) 4 (c) 7 (d) 12 例 4 設(shè) m ， p 是兩個(gè)非空集合，定義m 與 p 的差集為mpx|x m 且 x p 已知 a1，3，5，7， b2，3，5 ，則集合ab 的子集個(gè)數(shù)為( ) (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 3、理想配集問題例 5 設(shè) i1，2， 3，4，a 與 b 是 i 的子集，若a b1，

7、3，則稱（ a、b）為一個(gè)“理想配集 ”那么符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是（規(guī)定（ a、b）與（ b、a）是兩個(gè)不同的“理想配集”）( ) a4 b8 c9 d16 4、元素的和問題例 6 定義集合a，b 的一種運(yùn)算：a*b x|x x1x2，其中x1 a，x2 b ，若 a1 ，2，3，b1 ，2，則 a*b 中的所有元素之和為( ) (a) 9 (b) 14 (c) 18 (d) 21 精品資料5、集合的分拆問題例 7 若集合 a1 、a2 滿足 a1 a2 =a，則稱（ a1 ，a2 ）為集合 a 的一個(gè)分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)a1 =a2 時(shí)，（a1 ，a2）與（ a 2，a1）為集合

8、a 的同一種分拆，則集合 a=a1,a2,a3 a.27 b.26 c.9 d.8 6、集合長度問題例 8 設(shè)數(shù)集 mx |m x m3 ，nx|n 4 1 x n，且 m、n 都是集合 x|0 3 x 1的子集，如果把b a 叫做集合 x|a x b的“長度，”那么集合 m n 的“長度”的最小值是 ( ) (a) 1 (b) 2 (c) 1 (d) 53 3 12 12 7、集合組成的數(shù)集例 9 設(shè) s 為復(fù)數(shù)集c 的非空子集 .若對(duì)任意x, y s ，都有x y,x y,xy s ，則稱 s 為封閉集。下列命題：集合 sabi| a,b 為整數(shù)，i 為虛數(shù)單位為封閉集；若 s 為封閉集，

9、則一定有0 s；封閉集一定是無限集；若 s 為封閉集，則滿足s t c 的任意集合t 也是封閉集 . 其中真命題是（寫出所有真命題的序號(hào)）1. 設(shè)a 是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k a ，如果k 1稱k 是a 的一個(gè)“孤立元”a ，且k 1 a ，那么給定s1 ，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，由s 的3 個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元 ”的集合共有個(gè)6 2. 對(duì)于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組i1,i 2, , in（n 是不小于2 的正整數(shù)）， 如果在p q時(shí)有i p iq ，則稱“ip 與iq ”是該數(shù)組的一個(gè)“順序，”一個(gè)數(shù)組中所有“順序”的個(gè)數(shù)稱為此數(shù)組的“順精品資料* 序數(shù)”

10、 例如，數(shù)組2,4,3,1 中有順序“2, 4 ”， “2, 3 ”， 其“順序數(shù)”等于2 若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組“順序數(shù)”是6a1,a2, a3, a4, a5的“順序數(shù)”是4 ，則a5a ,4, a3, a2a ,1的3. 對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，定義運(yùn)算（用表示運(yùn)算符號(hào)）：當(dāng)m ，n 都 是 正 偶 數(shù) 或 都 是 正 奇 數(shù) 時(shí) ，m n m n ， 例 如4 6 4 6 , 137 3 7 ；當(dāng)m ，n 中 一 個(gè) 為 正 偶 數(shù) ， 另 一 個(gè) 為 正 奇 數(shù) 時(shí) ，m n m n ， 例 如3 4 3 4 12 在上述定義中，集合m a ，b | a b 12，a ，b n*的元素

11、有個(gè)15 4. 設(shè)集合s a 0 , a1, a 2 , a 3 , a4 , a5，在 s 上定義運(yùn)算“”為：aiaj ak ，其中k 為i j 被4 除的余數(shù)，i , j 0,1,2,3,4,5 則滿足關(guān)系式( x x) a2a0 的x ( x s) 的個(gè)數(shù)有個(gè) 3 5. 實(shí)數(shù)集r 中定義一種運(yùn)算“ *，”具有性質(zhì)： 對(duì)任意a, br, a* b b * a ； 對(duì)任意a r, a*0 a ； 對(duì)任意a, b,c r,( a* b) * c c *( ab) (a * c) (b * c) 2c ；則0*2 2 6. 給定集合an1,2,3,., n ，n n 若f 是anan 的映射，且

12、滿足： 任取i , j an, 若i j ，則f (i ) f ( j ) ； 任取m an , 若m 2 ，則有m f (1), f (2),., f (m) 則稱映射f 為an an 的一個(gè) “優(yōu)映射 ”例如：用表1 表示的映射f ：a3表 1 i 1 2 3 a3 是一個(gè)“優(yōu)映射”表 2 i 1 2 3 4 f (i ) 2 3 1 f ( i ) 3 已 知f ：a4a4 是一個(gè) “優(yōu)映射 ”，請(qǐng)把表2 補(bǔ)充完整（只需填出一個(gè)滿足條件的映射）i 1 2 3 4 或i 1 2 3 4 f (i ) 2 3 1 4 f (i ) 2 3 4 1 精品資料7. 定義映射fa b ，其中a m

13、，n | m ，n r ，b r 已知對(duì)所有的有序正整數(shù)對(duì)m ，n 滿足下述條件：f m ，1 1 ； 若m n ，f m，n 0 ；f m 則 f 3, 2 1, n n f m, n f m, n 1 的值是；6 8. 已知f (1,1) 1 ，f ( m, n) n * （m 、n n*) ，且對(duì)任意m 、n n * 都有： f (m, n 1) f (m, n) 2 ；f (m 1,1) 2 f (m,1) 給出以下三個(gè)結(jié)論：（1）f (1,5) 9 ； （2）f (5,1) 16 ； （ 3）f (5, 6) 26 其中正確的個(gè)數(shù)為（a ）（a）3 （b）2 （c）1 （d）09.

14、下圖展示了一個(gè)由區(qū)間0 ，1 到實(shí)數(shù)集r 的映射過程： 區(qū)間0 ，1 中的實(shí)數(shù)m 對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)m ，如圖 1； 將線段ab 圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)a、b 恰好重合，如圖2； 再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y 軸上，點(diǎn)a 的坐標(biāo)為0 ，1，如圖 3圖 3 中直線am 與x 軸交于點(diǎn)n n ，0 ，則m 的象就是n ，記作f m n a m by a a(b) m0 m 1 mn o x圖 1 圖 2 圖 3 方程f x0 的解是x ；12 下列說法中正確命題的序號(hào)是 （填出所有正確命題的序號(hào)）f 1 1；f x 是奇函數(shù)；f x 在定義域上單調(diào)遞增；4 f x 的圖象關(guān)于點(diǎn)1 ,02

15、 對(duì)稱10. 若集合a 具有以下性質(zhì)：0 a ， 1 a ； 若x, y a ，則x y a ，且 x 0 時(shí)，1a x 則稱集合a 是“好集”分別判斷集合并說明理由b = - 1,0,1 ，有理數(shù)集q 是否是“好集， ”11. 若集合a a1, a2 ,l , ak ( k 2) ，其中aiz (i 1, 2, l, k ) ，由 a 中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：s (a, b) a a, b a, a b a ， t ( a, b) a a, b a, a b a 其中( a, b) 性質(zhì) p 是有序數(shù)對(duì)若對(duì)于任意的a a ，總有a a ，則稱集合a具有檢驗(yàn)集合0，1， 2， 3 與1 ，

16、 2， 3 是否具有性質(zhì)p 并對(duì)其中具有性質(zhì)p 的集合，寫出相應(yīng)的集合s 和 t 12. 已知數(shù)集a a1, a2 , , an （1 a1 a2a jan ， n 2 ）具有性質(zhì)p ：對(duì)任意的 i 、 j (1 i j n) ，ai a j 與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于aai分別判斷數(shù)集1,3,4 與 1,2,3,6 是否具有性質(zhì)p ，并說明理由 課后練習(xí)1、定義集合運(yùn)算：a b z | z xy, x a, y b 設(shè) a 1,2 , b 0,2 ，則集合 a b 的所有元素之和為（）a0；b 2；c3；d6 2.定義集合運(yùn)算: a bz x 2 y xy 2 , x a, y b ,設(shè)集合 a

17、1,0 , b 2,3 ,則集合 a b 的所有元素之和為3.設(shè)集合sx | x 2 3 ,t x | a x a 8 , s t r ，則a 的取值范圍是（）a3 a 1；b3 a 1 ca3 或 a 1 ；d a3 或 a 1 4.已知全集 u r ，集合 m x 2 x 1 2 和 n x x 2k 1, k 1,2, 的關(guān)精品資料精品資料系的韋恩（venn ）圖如圖1 所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( ) a. 3 個(gè)b. 2 個(gè)c. 1 個(gè)d. 無窮多個(gè)7.已知集體a=x|x 1,b=x| a,且 a b=r ，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是9. 滿足 m a1, a2 , a3 ,

18、a4,且 m a1, a2 , a3a1, a2的集合 m 的個(gè)數(shù)是. 10. 設(shè)全集 u= r,集合 m=x|x 1或 x3,集合 p= x| k x k 1, k r ，且um p ，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是. 11. 集合 a=x|x-3| a，a0， b=x|x 2-3x+2 0 ，且 b a，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是. 12. 已知集合a=x|mx 2 -2x+3=0 ，m r. （1）若 a 是空集，求m 2）若 a 中只有一個(gè)元素，求m 的值；（3）若 a 中至多只有一個(gè)元素，求m 的取值范圍 . 1 設(shè)s,t, 是 r 的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從s 到 t 的函數(shù)y f ( x) 滿足: (i )t f ( x) | x s;( ii ) 對(duì)任意x1, x2s, 當(dāng) x1x2 時(shí),恒有f ( x1 ) f ( x2 ) ,那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu) ”.以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu) ”的是 ( ) a.a n* , b n 精品資料b. a x | 1 x 3, b x| x 8或0 x 10 c.a x | 0 x 1, b r d. a z , b q 2 設(shè)常數(shù) a r ,集合a x | (x 1)( x a) 0, b x | x a 1 ,若 a b r ,則a的取值范圍為( ) (a) ( ,2