第四章多元函數(shù)微積分

1、第二節(jié) 多元函數(shù)積分一、二重積分一、二重積分二、曲線積分二、曲線積分一、二重積分1. 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)1 1）二重積分的概念）二重積分的概念（1）曲頂柱體的體積）曲頂柱體的體積柱體體積柱體體積=底面積底面積*高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂.),(yxfz d柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂.求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限分割、求和、取極限”的方的方法，如下動畫演示法，如下動畫演示步驟如下：步驟如下：用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并先分割曲頂柱體的底

2、，并取典型小區(qū)域，取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積.),(lim10iiniifv xzyo),(iii（2）求平面薄片的質(zhì)量）求平面薄片的質(zhì)量 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量xyo),(iii2 2）二重積分的定義）二重積分的定

3、義如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零時， 這和式的極限存在， 則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域 d 上的二重積分， 記為 ddyxf ),(， 即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .),(,),(,),(,1積積分分和和叫叫做做，積積分分變變量量叫叫做做與與被被積積表表達(dá)達(dá)式式叫叫做做面面積積元元素素做做叫叫被被積積函函數(shù)數(shù)叫叫做做積積分分區(qū)區(qū)域域叫叫做做其其中中iiiniyxfyxdyxfdyxfd 對二重積分定義的說明對二重積分定義的說明：(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在閉

4、區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在的極限必存在，即二重積分必存在.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值3 3）二重積分的性質(zhì)）二重積分的性質(zhì)( , )( , )ddkf x y dkf x y d性質(zhì)性質(zhì)設(shè)設(shè)k為常數(shù)，為常數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)2 ( , )( , )( , )( , )dddf x yg x y df x y dg x y d ddddyxfdyxfdyxf12),()

5、,(),( 性質(zhì)性質(zhì)3 若積分區(qū)域若積分區(qū)域d由由d1,d2組成組成(其中其中d1與與d2除邊界外無公除邊界外無公共點(diǎn)共點(diǎn)),則則性質(zhì)性質(zhì)4( , )( , ), ( , )( , )dddf x yg x yf x y dg x y d設(shè)在閉區(qū)域 上有則 dmdyxfm ),(性質(zhì)性質(zhì)5 設(shè)設(shè)m,m是函數(shù)是函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域d上的最大值與最小上的最大值與最小值值, 是是d的面積的面積,則則 dfdyxf ),(),(:),(,),( 使使得得下下式式成成立立一一點(diǎn)點(diǎn)上上至至少少存存在在則則在在的的面面積積是是上上連連續(xù)續(xù)閉閉區(qū)區(qū)域域在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) dddyxf)(6 二二重重

6、積積分分的的中中值值定定理理性性質(zhì)質(zhì)2. 二重積分的計算二重積分的計算1 1）利用直角坐標(biāo)計算二重積分）利用直角坐標(biāo)計算二重積分如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x )(2x ,ba為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzddyxfd a0 xbzyx應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截面面積平行截面面積為已知的立體求體積為已知的立體求體積”的的方法方法)(2xy),(yxfz )(0 xa)(1

7、xy.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 得得如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy y y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf x x型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y y軸的直線與區(qū)域軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)邊界相交不多于兩個交點(diǎn). .y y型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x x軸的直線與區(qū)域邊軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)界相交不多于兩個交點(diǎn). .若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，則必須分

8、割則必須分割. .在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式.321 dddd3d1d2d2 2）極坐標(biāo)下二重積分的計算）極坐標(biāo)下二重積分的計算 設(shè)有極坐標(biāo)系下的積分區(qū)域設(shè)有極坐標(biāo)系下的積分區(qū)域d, 用一組以極點(diǎn)為圓心的同心圓用一組以極點(diǎn)為圓心的同心圓(r=常數(shù)常數(shù))及過極點(diǎn)的一組射線及過極點(diǎn)的一組射線( =常數(shù)常數(shù))將區(qū)域?qū)^(qū)域d分割成分割成n個小區(qū)域個小區(qū)域. rr.dd)sin,cos(dd),(* ddrrrrfyxyxf dddrr 平面上的點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)與該點(diǎn)的極坐標(biāo)與該點(diǎn)的極坐標(biāo)(r, )之之間的關(guān)系：間的關(guān)系： x=rc

9、os ,y=rsin ，)()(,),( *21 rrrrd )()(21d)sin,cos(ddd)sin,cos(rrdrrrrfrrrrf(1)若極點(diǎn)若極點(diǎn)o在區(qū)域在區(qū)域d*之外之外,且且d*由射線由射線 = , = 和兩和兩條連續(xù)曲線條連續(xù)曲線r=r1( )，r=r2( )圍成圍成 )(0 ,),( * rrrd )(0d)sin,cos(ddd)sin,cos(rdrrrrfrrrrf(2)若若r1( )=0,即極點(diǎn)即極點(diǎn)o在區(qū)域在區(qū)域d*的邊界上的邊界上,且且d*由射由射線線 = , = 和連續(xù)曲線和連續(xù)曲線r=r ( )圍成圍成 )(0 ,20),( * rrrd 20)(0d)

10、sin,cos(ddd)sin,cos(rdrrrrfrrrrf(3)若極點(diǎn)若極點(diǎn)o在區(qū)域在區(qū)域d*內(nèi)內(nèi),且且d*的邊界曲線為連續(xù)封的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線閉曲線r=r ( )(0 2 ) 3. 二重積分應(yīng)用舉例二重積分應(yīng)用舉例在區(qū)域在區(qū)域d上任期一微小區(qū)域上任期一微小區(qū)域 d，d),(dyxm ，設(shè)，設(shè)想這部分質(zhì)量集中在想這部分質(zhì)量集中在 點(diǎn)點(diǎn)),(yx處，于是得薄板對坐標(biāo)軸的處，于是得薄板對坐標(biāo)軸的靜力矩微元（見右圖）為靜力矩微元（見右圖）為 d),(dyxxmy d),(dyxymx , , o y x d y x 將上述微元在將上述微元在d上積分，得上積分，得 d ),(dyyxxm,

11、 ,dxyxymd),(, , 例例1于是，薄板重心坐標(biāo)為于是，薄板重心坐標(biāo)為 ddyxyxxxd),(d ),( , , ddyxyxyyd),(d ),(. . 若若薄薄板板是是均均勻勻的的，是是常常數(shù)數(shù)，則則重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 dxaxd1, ,dxayd1 其其中中a為為區(qū)區(qū)域域d的的面面積積. . 解解 建坐標(biāo)系建坐標(biāo)系( (見下圖見下圖).).先求轉(zhuǎn)動慣量微元先求轉(zhuǎn)動慣量微元 d)(d220yxi( ( 為密度為密度) )將微元在圓環(huán)域內(nèi)積分，將微元在圓環(huán)域內(nèi)積分，則得則得 dyxid)(220 用極坐標(biāo)計算用極坐標(biāo)計算, ,d表示為表示為 1rr2r, ,02, ,于是于是 )

12、.(21dd4142202021rrrrrirr d x y 1 r o 2 r 例例 3 3 求求內(nèi)內(nèi)半半徑徑為為 1r，外外半半徑徑為為 2r，密密度度均均勻勻的的圓圓環(huán)環(huán)形形薄薄板板關(guān)關(guān)于于圓圓心心的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量. . 例例2二、曲線積分1. 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分1 1）概念）概念令maxs1 s2 sn0 則整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量為 iiinism),(1 整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似為 設(shè)曲線形構(gòu)件所占的位置在xoy面內(nèi)的一段曲線弧l上 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x y)處的線密度為(x y)iiinism),(lim10 把曲線弧l分成n個小段 s1 s2 sn(si也表示弧

13、長) 任取(i i)si 得第i小段質(zhì)量的近似值(i i)si v曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 將l任意分成n個小弧段 s1 s2 sn(si也表示第i個小弧段的長度) 在每個小弧段si上任取一點(diǎn)(i i) 作和 定義定義 設(shè)l為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧 函數(shù)f(x y)在l上有界 iiinisf),(1 iiinilsfdsyxf),(lim),(10 如果當(dāng)maxs1 s2 sn0時 這和的極限總存在 則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧l上對弧長的曲線積分 記作dsyxfl),( 即 其中f(x y)叫做被積函數(shù) l叫做積分弧段 說明 當(dāng)函數(shù)f(x y)在光滑曲線弧l上連續(xù)時 函數(shù)f(x y)在曲

14、線弧l上對弧長的曲線積分是存在的 以后我們總假定f(x y)在l上是連續(xù)的 對弧長的曲線積分也稱為第一類曲線積分 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分 的值 dsyxl),(iiiinisfdszyxf),(lim),(10 類似地可以定義函數(shù)f(x y z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分 如果l(或)是分段光滑的 則規(guī)定函數(shù)在l(或)上的曲線積 分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和 例如 設(shè)l可分成兩段光滑曲線弧l1及l(fā)2 則規(guī)定dsyxfdsyxfdsyxfllll),(),(),(2121 函數(shù)f(x y)在閉曲線l上對弧長的曲線積分記作 dsyxfl),(2 2）性質(zhì)）性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)c1、c

15、2為常數(shù) 則 dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfclll),(),(),(),(2121 性質(zhì)2 若積分弧段l可分成兩段光滑曲線弧l1和l2 則 dsyxfdsyxfdsyxflll),(),(),(21 3 3）對弧長的曲線積分的計算法）對弧長的曲線積分的計算法dtttttfdsyxfl)()()(),(),(22() （1） 設(shè)曲線 l的參數(shù)方程為x(t) y(t) (t) 則b(1 1)之間的一段弧 曲線l的參數(shù)方程為xx yx2 (0 x1) 因此 解 10222)(1dxxxdsyl10241dxxx) 155 (12110241dxxx) 155 (121 10222)(1

16、dxxxdsyl 例1 計算dsyl 其中l(wèi) 是拋物線yx2上點(diǎn)o(0 0)與點(diǎn) 所以 dszyx)(2222022222)(dtkatka)43 (3222222kaka dszyx)(2222022222)(dtkatka xacost、yasint、zkt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2的一段弧 解 在曲線上有 并且 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2 dtkadtktatads22222)cos()sin( 例2 計算曲線積分dszyx)(222 其中 為螺旋線 2. 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分 質(zhì)點(diǎn)在變力f(x y)p(x y)iq(x y)j的作用下從點(diǎn)a

17、沿光滑曲線弧l移動到點(diǎn)b 求變力f(x y)所作的功提示把l分成n個小弧段 l1 l2 ln求功的過程 變力在l上所作的功的精確值為 其中是各小弧段長度的最大值 f在li上所作的功wif(i i)sip(i i)xiq(i i)yi ni 10lim1 1）概念）概念設(shè)函數(shù)p(x y)、q(x y)在有向光滑曲線弧l上有界 把l分成n個有向小弧段l1 l2 ln 其中l(wèi)i是從(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段 記xixixi1 yiyiyi1在小弧段li上任取一點(diǎn)(i )令為各小弧段長度的最大值 如果極限 總存在 則稱此極限為函數(shù)p(x y)在有向曲線弧l上對坐標(biāo)x的曲線積分 記作 i

18、iinixp),(lim10ldxyxp),(ldyyxq),(iiiniyq),(lim10如果極限 總存在 則稱此極限為函數(shù)q(x y)在有向曲線弧l上對坐標(biāo)y的曲線積分 記作 iiinilxpdxyxp),(lim),(10 iiinilyqdyyxq),(lim),(10 在積分中p(x y)、q(x y)叫做被積函數(shù) l叫做積分弧段 說明 對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分 iiiinilyqdyzyxq),(lim),(10 設(shè)為空間內(nèi)一條光滑有向曲線弧 函數(shù)p(x y z)、q(x y z)、r(x y z)在上有定義 我們定義iiiinilxpdxzyxp),(lim),(10 iiiinilzrdzzyxr),(lim),(10 在應(yīng)用上經(jīng)常出現(xiàn)的是 lldyyxqdxyxp),(),( 上式可記為 dyyxqdxyxpl),(),( 或ldyxrf),( 其中f(x y)p(x y)iq(x y)j drdxidyj 類似地 有 其中ap(x y z)iq(x y z)jr(x y z)k drdxi