第六節(jié)平面及其方程

1、v 平面的方程平面的方程v 兩平面的夾角兩平面的夾角第六節(jié)第六節(jié)平面及其方程平面及其方程v 點到平面的距離點到平面的距離點法式方程點法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程xyzo一、平面的方程一、平面的方程n上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1.平面的點法式方程平面的點法式方程如果非零向量如果非零向量n 垂直于平面垂直于平面,則稱向量則稱向量n 為平面為平面的的法向量法向量.垂直于平面的任一非零向量都可作為該平面的法向量垂直于平面的任一非零向量都可作為該平面的法向量.xyzo0mm0m mn n設(shè)平面過點設(shè)平面過點 ,na b c 為平面為平面的法向量的法向量,上頁上頁 下頁下頁

2、返回返回 結(jié)束結(jié)束 0000( ,),m x y z且以且以求平面求平面的方程的方程.設(shè)設(shè)( , )m x y z為平面上任意一點為平面上任意一點, 則則00m m n 得得000()()()0a xxb yyc zz稱為平面的稱為平面的點法式方程點法式方程.而而0000,m mxxyyzzkji例例1.1.求過三點求過三點1m又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx化簡得化簡得1m2m3m解解 取該平面的法向量取該平面的法向量),2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面的方程的平面的方程. 利用點法式得平面的方程利用點法式得平面的方程3

3、46231nn3121mmmm上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在平面上在平面上,即可通過三階行列式即可通過三階行列式來計算平面的來計算平面的方程方程: : 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般地一般地, 過三點過三點)3,2, 1(),(kzyxmkkkk的平面方程為的平面方程為: :解二解二,1mmmm1上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 稱為稱為平面的三點式方程平面的三點式方程.設(shè)設(shè)),(zyxm為平面上任一點為平面上任一點, 則三向量則三向量3121,mmmm共面共面,因此因此, 混合積混合積0)(3121mmmm

4、由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000czbyaxczbyaxd2、平面的一般方程、平面的一般方程化簡得化簡得這是一個三元一次方程這是一個三元一次方程.任給三元一次方程任給三元一次方程 0dzcybxa)0(222cba該方程唯一確定一張以該方程唯一確定一張以因此因此, ,三元一次方程表示平面三元一次方程表示平面, ,),(cban 為法向量的平面為法向量的平面, , 平面的一般方程平面的一般方程.稱三元一次方程為稱三元一次方程為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 幾種特殊情況：幾種特殊情況：, 0)1( d平面過坐標(biāo)原點；平面過坐標(biāo)原點；

5、0)2(a平面通過平面通過 x 軸；軸；平面平行于平面平行于x 軸；軸；, 0)3( ba平面平行于平面平行于xoy 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca類似地可討論類似地可討論 情形情形. .0,0 cb0dzcybxa平面一般方程平面一般方程: , 0d , 0d上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ), 0(cbn 垂直于垂直于x 軸軸),(cban 例例2. 求通過求通過 x 軸和點軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解因平面過因平面過 x 軸軸 ,0 da故可設(shè)平面方程為可設(shè)平面方程為0zcyb代入已知點代入已知點) 1,3,4(,

6、 ,得得bc3所求平面方程所求平面方程03 zy上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: :上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2350.xyz則所求平面方程為則所求平面方程為例例3. 求過點求過點( 1, 1, 2) 且與平面且與平面0:2310 xyz平行的平面的方程平行的平面的方程.01, 2,3,n 取取0nn 1x 2(1)y 3(2)z 0. 即即1, 2,3, 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 , 0czbyax因平面過原點因平面過原點, 可設(shè)平面為可設(shè)平面為0236 cba解解例例. . 設(shè)平面過原點及點設(shè)平面過原點及點)2, 3, 6( , ,且與平面且與平面

7、824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. .,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為隱隱當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為稱為平面的稱為平面的截距式方程截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax時時, ,)0,(cba平面方程為平面方程為 pozyxrq上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 a, b, c 分別稱為平面在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的分別稱為平面在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的截距截距.3. 平面的截距式方程平面的截距式方程例例4 求過點求過點(2, 3,3

8、) 且在且在 x 軸軸和和 y 軸上截距分別為軸上截距分別為133322c解解 設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為132czyx代入已知點代入已知點)3,3,2(, ,得得1 c所求平面方程為所求平面方程為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 -2, -3的平面方程的平面方程.1132zyx例例5 一平面通過兩點一平面通過兩點且垂直于平面且垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和和則則, n的法向量的法向量),),故可取故可取(1nn21mmn且且121nmmn111201kji,2k

9、ji所求平面為所求平面為, 0) 1() 1() 1(2zyx化簡得化簡得02zyx上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n令令21nnn 5,15,10, 0) 1() 1(3) 1(2zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解練習(xí)練習(xí) 求過點求過點)1 , 1 , 1(, ,且垂直于平面且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. .1223111kji已知平面的法向量已知平面的法向量上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 , 3 , 2/二、兩平面的夾角二、兩平面的夾角設(shè)平面設(shè)平面1的法向

10、量為的法向量為 平面平面2的法向量為的法向量為則兩平面夾角則兩平面夾角 的余弦為的余弦為 cos即即212121ccbbaa222222cba212121cba兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角( (取取銳角銳角) )稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角. .122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 221) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n上頁上頁 下頁下頁

11、返回返回 結(jié)束結(jié)束 兩平面位置特征：兩平面位置特征：例例6 6 研究以下各組平面的位置關(guān)系：研究以下各組平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601故兩平面相交，夾角故兩平面相交，夾角.601arccos 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,21214221)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合. .又又上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n

12、,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm所以所以, 兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合又又01224, 012)2( zyxzyx02224, 012) 3(zyxzyx上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、點到平面的距離三、點到平面的距離外一點外一點, ,點點0000(,)p xyz0a xb yc zd是平面是平面到平面的距離到平面的距離. .求求點點0000(,)p xyz0p1pnd平面法向量為平面法向量為，1111(,)p xy z在平面上任取一點在平面上任取一點則則p0 到平面的距離為到平面的距離為,na b c prjpr

13、j10ndp p 10p pnn 222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa01prjppdnnnpp010p1pnd點到平面的距離公式點到平面的距離公式上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例7. 確定確定k 的值的值, 使平面使平面29xkyz滿足滿足2433xyz(2) 與平面與平面垂直；垂直；37610 xyz(3) 與平面與平面平行；平行；230 xyz(4) 與平面與平面成成4角；角； (5) 與原點的距離為與原點的距離為 (6) 在在y軸上的截距為軸上的截距為3. 3;

14、解解: (1) 點點(5, 4, 6)滿足方程滿足方程, 即即54129,k得：得：2.k (1) 經(jīng)過點經(jīng)過點(5, 4, 6),并求此平面與并求此平面與xoy面的夾角；面的夾角；1,2, 2,n 0,0,1,k cos |n k | |nk 2,3 2arccos.3 1, , 2,nk 兩平面垂直兩平面垂直,上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12,4,3,n 1nn 10,n n 2460,k得：得：1.k 2433xyz與平面與平面垂直；垂直；(2) 平面平面29xkyz37610 xyz(3) 與平面與平面平行；平行；兩平面平行兩平面平行,12,376k 23, 7, 6,n

15、3,nn得：得：7.3k 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 cos4 1, , 2,nk 32, 3,1,n 3|n n 3| |nn 22 |232|k25k14得：得：35.2k 230 xyz與平面與平面成成4角；角；(4) 平面平面29xkyz (5) 與原點的距離為與原點的距離為 3,3 290,xkyz925k 得：得：2.k (6) 在在y 軸上的截距為軸上的截距為3, 改寫平面方程為改寫平面方程為則則得：得：3.k (a)改寫平面方程為截距式求改寫平面方程為截距式求k，(b)由平面過點由平面過點 , 求求k， (0, 3,0) 例例8. 求平行于平面求平行于平面相切的平面

16、的方程相切的平面的方程上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 100 xyz且與球面且與球面解：解：法法向向量量n 所求所求平面的方程為：平面的方程為：2224xyz由所求平面由所求平面與與平面平面100 xyz平行知，平行知，1,1,1,設(shè)求平面設(shè)求平面方程為：方程為：0 xyzd因平面因平面與球與球面面2224xyz相切，相切，則則球心球心(0,0,0)與平面的距離等于球半徑與平面的距離等于球半徑, 即即2 |d32 3d 2 30 xyz練習(xí)練習(xí) 求下列各平面方程求下列各平面方程（1）平行于）平行于x軸且經(jīng)過兩點軸且經(jīng)過兩點(4,0,-2),(5,1,7)；（2）通過點）通過點m(1,-

17、1,1)且垂直于兩平面且垂直于兩平面 （3）在）在x軸上的截距為軸上的截距為2，且過點，且過點(0,-1,0)和和(2,1,3)1:10 xyz 2:210 xyz 920yz230 xyz36260 xyz內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面基本方程平面基本方程一般式一般式點法式點法式截距式截距式0dczbyax)0(222cba1czbyax三點式三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzcyybxxa)0(abc上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0212121ccbbaa212121ccbbaa2. 平平面面與平面與平面之間的關(guān)系之間的

18、關(guān)系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夾角公式夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222dzcybxa),(2222cban , 0:11111dzcybxa上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ),(1111cban 3. 點到平面的距離點到平面的距離222000cbadzcybxad上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例（輔測（輔測 p255 例例3）試求參數(shù)試求參數(shù) k，使得平面，使得平面92 zkyx分別適合下列條件之一：分別適合下列條件之一：(1)經(jīng)過點經(jīng)過點)6, 4, 5(2) 與平面與平面3342zyx垂直垂直(3) 與平面與平面032zyx成成4的角的角(4) 與原點