二次函數(shù)論文

1、目 錄1 引言12 文獻(xiàn)綜述12.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價22.3 提出問題23 數(shù)形結(jié)合的概述24 數(shù)形結(jié)合在高中二次函數(shù)中的運(yùn)用34.1運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究二次函數(shù)的性質(zhì)34.2 數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)與相關(guān)知識中的綜合運(yùn)用44.2.1利用二次函數(shù)圖象討論一元二次不等式的解44.2.2利用二次函數(shù)圖象討論二次方程根的分布問題44.2.3利用二次函數(shù)圖象討論特殊三角函數(shù)式64.2.4巧用二次函數(shù)圖象討論含絕對值的二次函數(shù)問題84.2.5巧用二次函數(shù)圖象討論等差數(shù)列求和問題94.2.6巧用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合問題114.2.7巧用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與一次函數(shù)

2、的交匯問題134.3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解問題誤區(qū)的探討145結(jié)論165.1主要發(fā)現(xiàn)165.2啟示和意義165.3局限性165.4努力方向176參考文獻(xiàn)18 1引言 數(shù)學(xué)是一種古老而又年輕的文化，人類從蠻荒時代的結(jié)繩計數(shù)，到如今用電子計算機(jī)指揮宇宙航行，無時無刻不受到數(shù)形結(jié)合思想的恩惠和影響.進(jìn)入21世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)課程中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理念發(fā)生了深刻地變化，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的和任務(wù)早已不是簡單的知識和方法的傳授，而是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在傳授知識與方法的同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，加強(qiáng)數(shù)與形的結(jié)合,能化繁為簡，對于幫助學(xué)生開闊思路,突破思維定勢有積極的作用，能加深學(xué)生對知識的理解.二次函

3、數(shù)是初高中教材中一個重要的內(nèi)容，同時二次函數(shù)也是高考命題的重點(diǎn)，如何讓學(xué)生對二次函數(shù)了解更加的深刻透徹.本論文運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對高中二次函數(shù)做了更深一步的研究，主要有運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究二次函數(shù)的性質(zhì)、利用二次函數(shù)圖象討論一元二不等式的解、利用二次函數(shù)圖象討論二次方程根的分布問題、利用二次函數(shù)圖象討論特殊三角函數(shù)式、巧用二次函數(shù)圖象討論含絕對值的二次函數(shù)問題、巧用二次函數(shù)圖象討論等差數(shù)列求和問題、巧用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合問題、巧用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與一次函數(shù)的交匯問題和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解問題誤區(qū)的探討這幾個方面論述.2文獻(xiàn)綜述2.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀查閱相關(guān)文獻(xiàn)，眾多數(shù)學(xué)教育者

4、從不同角度和側(cè)面探討了數(shù)形結(jié)合在教學(xué)、解題及函數(shù)中的應(yīng)用.王豐霞在文獻(xiàn)1中淺談了構(gòu)造數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)創(chuàng)新思維.張冰、楊光在文獻(xiàn)2-3中淺談了數(shù)形結(jié)合的概念及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的興趣.孫雪梅、王雨來、樸林玉等在文獻(xiàn)4-6中淺談了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用.周建濤，姚愛梅在文獻(xiàn)7-8中講了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的有效應(yīng)用.李德軍在文獻(xiàn)9中講了二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.曹學(xué)才、楊渭清、李一淳等人分別在文獻(xiàn)10-18中談?wù)摿藬?shù)形結(jié)合思想可以在許多知識中都有應(yīng)用.張武在文獻(xiàn)19中對“數(shù)形結(jié)合”解題誤區(qū)的認(rèn)識與思考給出了自己獨(dú)特的見解.2.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價在所查閱到的國內(nèi)外參考文獻(xiàn)1-19中，教育者們對數(shù)

5、形結(jié)合在二次函數(shù)中只針對二次函數(shù)中的某一問題作了相應(yīng)的介紹，并未給出較為深入系統(tǒng)的研究.數(shù)形結(jié)合思想在高中二次函數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，對數(shù)形結(jié)合在高中二次函數(shù)中的綜合應(yīng)用進(jìn)行深入研究，使之形成完整的體系，對今后利用數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)教學(xué)、解題及其在高考中的應(yīng)用具有重要的意義.2.3提出問題數(shù)學(xué)結(jié)合不僅是一種重要的解題方法，而且是一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想.同時二次函數(shù)也是高中比較重要的一個內(nèi)容，為了促進(jìn)學(xué)生對這種思想方法在高中二次函數(shù)中的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該怎樣在二次函數(shù)教學(xué)及二次函數(shù)與其他知識綜合中滲透這種思想方法呢？本論文在參考相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對這個問題進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述. 3數(shù)形結(jié)合的

6、概述數(shù)學(xué)研究的對象可以分為兩個方面，一個方面是數(shù)，一個方面是形，但是數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合，他們是數(shù)學(xué)的兩大基石.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性,我們認(rèn)為:數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.【2】【3】 在數(shù)學(xué)思想中，數(shù)形結(jié)合的思想從滲透到形成和應(yīng)用，經(jīng)歷了三個主要階段：(1)

7、數(shù)-形對應(yīng)：它是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ).主要通過初中、高一、高二、高三階段的學(xué)習(xí)逐步領(lǐng)悟和掌握的.(2)數(shù)-形轉(zhuǎn)化：它體現(xiàn)了數(shù)與形的關(guān)系在解決問題的過程中，如何作為一種方法而得到運(yùn)用的.在新授課時這類例子已相當(dāng)普遍（例如解法、圖解法等）. (3)數(shù)-形分工：這里指的是把應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想作為解決問題過程中的一種策略，是數(shù)學(xué)規(guī)律性與靈活性的融合.從內(nèi)容上看，數(shù)形結(jié)合的渠道主要有：(1)平面幾何中的一些算法（主要是與解三角形有關(guān)的計算）；(2)解析幾何中點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程、區(qū)域（區(qū)間）與不等式的對應(yīng)；在數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的具體方法有：解析法、三角法、圖解法等；(3)函數(shù)與它的圖象以及有相關(guān)的幾何變換：(4)

8、三角函數(shù)的概念：負(fù)數(shù)的幾何意義.4 數(shù)形結(jié)合在高中二次函數(shù)中的運(yùn)用4.1運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究二次函數(shù)的性質(zhì) 數(shù)形結(jié)合是一種重要的教學(xué)思想方法，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷的得以解決.而函數(shù)在初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占了很主要部分，學(xué)好二次函數(shù)對于學(xué)好數(shù)學(xué)也就至關(guān)重要了.下面主要從三個方面進(jìn)行闡述.(1)利用二次函數(shù)理加深解函數(shù)概念.初中講述了函數(shù)的定義、一次函數(shù)、正比列函數(shù)、反比例函數(shù)，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡述函數(shù)，這時

9、就可以用學(xué)生已經(jīng)了解地函數(shù)，特別是二次函數(shù)來加以更深刻的認(rèn)識函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個集合B（定義域）到集合C（值域）上的映射:使得集合C中的元素(a0）與集合B的元素x對應(yīng)，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識.(2)利用二次函數(shù)的圖象研究與二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì).在高中學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須要對二次函數(shù)（a0）在區(qū)間(-，及k,+)上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)格理論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用函數(shù)圖象的直觀性，使學(xué)生逐步自覺的利用二次函數(shù)的圖象研究其他函數(shù)的最值.(3)利用二次函數(shù)三個二次關(guān)系的知識訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維.作為二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的冪函數(shù)，可以以

10、它做代表來研究函數(shù)，二次函數(shù)可以與三角函數(shù)、等差數(shù)列求和、不等式等建立起聯(lián)系，可以編出各種各樣的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識.【9】4.2 數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)與相關(guān)知識中的綜合運(yùn)用4.2.1利用二次函數(shù)的圖象討論一元二次不等式的解 二次函數(shù)（a>0）與的相互位置關(guān)系有三種情況.利用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系.(1)當(dāng)時，二次函數(shù)與軸有兩個交點(diǎn)，不等式解集是| < 或 > ，不等式的解集是| .(2)當(dāng)時，二次函數(shù)與軸有1個交點(diǎn)，不等式的解集是| - ，不等式的解集是空集.(3)當(dāng)時, 二次函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，不等式的解集是，不等式的解集.對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)

11、（ 即0 )，可以把二次項系數(shù)化成正數(shù)，然后在按照上面的形式三種形式比較.例1任意實數(shù), 不等式(2m - 1)x2+(m +1)x+m -4>0 都成立，求 m 的范圍. 分析：右圖說明為任意實數(shù)時 都成立,解這個問題時，常感到無從下手.其原因是單純從代數(shù)角度及不等式本身考慮時很抽象,很難找到解決問題的切入點(diǎn).如果結(jié)合圖象考慮,可以發(fā)現(xiàn)：(1)圖象與x軸沒有交點(diǎn)；(2)拋物線的開口上. 圖1 解：由題意得不等式組： 解得 m >5 時，x 為任意實數(shù)，原不等式都成立 評析：通過圖象可以知道開口向上，并且它與x軸沒有交點(diǎn)，由此可以根據(jù)二次函數(shù)的判別式解決此題.4.2.2利用二次函數(shù)

12、圖象討論二次方程根的分布問題一元二次方程ax2+bx+c（a0）的根與判別式=b2-4ac有關(guān)系，它的解按照,分為三種情況，二次函數(shù)y= ax2+bx+c（a0）與x軸的交點(diǎn)也有三種情況，下面討論一下二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系.（1）時,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)(x1 ,0),(x2 ,0),相應(yīng)的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根, 。（2）時，二次函數(shù)的圖象與x軸有唯一的交點(diǎn)(x1 ,0) ,相應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.(3)時，二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，相應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根. 根據(jù)二次函數(shù)(a0)與 軸的交點(diǎn)情況就可以確定方程的實根的情況,即通過 與的相互轉(zhuǎn)

13、化,利用函數(shù) = 0的圖象可以直觀解決問題例2 a為何值時,方程 2 a 2 + 2a+1-a2=0的兩根在( - 1,1)之內(nèi)？ 圖2 分析：顯然 a20,我們可從已知方程聯(lián)想到相應(yīng)的二次函數(shù)的草圖,從圖象上我們可以看出,要使拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)在(-1,1)之間必須滿足條件： 即從而可解得a的取值范圍為a 或 a-且 a ±1.例3 已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個實數(shù)根滿足0<x1<1<x2<2，試求k的范圍. 圖3 分析:如果我們試圖對這個題目用判別式和韋達(dá)定理求解，無疑是鉆進(jìn)了死胡同！如把它與二次函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，問題就明朗

14、多了. 解:設(shè)二次函數(shù)=7x2-(k+13)x+k2-k-2因a=7>0,如圖3所示，要使0<x1<1<x2<2必須有 解得-2<k<-1或 3<k<4. 在解一元二次方程問題時，我們有些時候感到無從下手. 這時候我們可以利用二次函數(shù)的草圖，把一元二次方程和二次函數(shù)結(jié)合起來，一元二次方程問題就很容易解決.4.2.3利用二次函數(shù)的圖象討論特殊三角函數(shù)式三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù).它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射.通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義為整個實數(shù)域.高中重點(diǎn)研究過三角函數(shù)

15、的單調(diào)性，且有同一角的正弦值平方加余弦值平方和為1.所以特殊三角函數(shù)式經(jīng)常與二次函數(shù)的單調(diào)性,有界性等相結(jié)合.即利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4求函數(shù)y=sinm-cosm+sinmcosm的最值. 分析：本題可設(shè)sinm-cosm=n,再借助關(guān)系（sinm-cosm）2 =1-2sinmcosm將sinmcosm也用n表示，從而可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)問題. 解設(shè)sinm-cosm=n（n(）,則sinmcosm=.于是原函數(shù)可化為y=,n(.n=-時，;當(dāng)n=1時,=1 例5已知函數(shù)，= 2n·sint 2cos2t + -4n+3,n(-,2的最小值為n2+1,求函數(shù)的

16、最大值及取得最大值時的t值. 分析：首先要統(tǒng)一變元，由于有正弦一次項，故cos2t要化為1-sin2t,若再設(shè)m=sint,則y=2m2+2mn+-4n+1,m-1,1.問題轉(zhuǎn)化為求閉區(qū)間-1,1上的一個二次函數(shù)的最值問題.這類問題首先要討論對稱軸與閉區(qū)間的相對位置. 解：設(shè)m=sint,則y=2m2+2mn+-4n+1，m-1,1.對稱軸方程為m=-n<2,-1(1)0<n<2時，-1,0.t當(dāng)0<n<2時，-1,0.t這時，ymin=-4n+1n=0ymax=3取得最大值時，t=2k±，kZ. 圖 4當(dāng)-2<n<0時，-（0,1(2) -

17、2<n<0時，-（0,1.這時，ymin=-4n+1n=0 圖 5tymax=3取得最大值時，t=2k±，kZ.(3)n<-2時，-（1,+）當(dāng)n<-2時，-（1,+） 這時，函數(shù)在-1,1上遞減，ymin= = -2n+3 圖 6tn2+4n-4=0解之，n=-2-2且ymax= -6n+3 = =21+16.取最大值時，t=2k-，kZ.綜上所述，得n的取值（-，-2）-2,2y的最大值21+163t的值2k-，kZ.2k±，kZ4.2.4巧用二次函數(shù)圖象討論含絕對值的二次函數(shù)問題 圖7絕對值是初高中的知識點(diǎn)，單獨(dú)的絕對值和二次函數(shù)是很簡單的，如

18、果把絕對值與二次函數(shù)組合起來，是比較復(fù)雜的復(fù)合的函數(shù)，對于這一去絕對值的分段函數(shù)，我們要把它按照直線x=a相對于兩個拋物線的對稱軸的位置分類討論，借助于圖象可有效的幫助解題. 例6求函數(shù)y=x2+|x-a|+1的值域. 解：y= 圖8 = (1) 當(dāng)a-時，如圖7知 y-a(2) 當(dāng)-<a<時，如圖8知=a2+1 圖9(3) 當(dāng)a>時，如圖9知-+a綜合所述：當(dāng)a-時，值域為-a,+)當(dāng)-<a<時,值域為a2+1, +) 當(dāng)a>時,值域+a, +)單純的絕對值問題很簡單，但是在二次函數(shù)中含有絕對值，問題就變得復(fù)雜，我們在解決這類問題是利用二次函數(shù)的圖象分類討

19、論的方法解決問題.4.2.5巧用二次函數(shù)圖象討論等差數(shù)列求和問題 數(shù)列和函數(shù)的結(jié)合是當(dāng)今高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，同時數(shù)列也是一類定義在正整數(shù)集或它的有限子集上的特殊函數(shù)，任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義.在解決數(shù)列問題時應(yīng)該充分利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，關(guān)注他們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效的解決數(shù)列問題.對此類問題的分析，不但可以使學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)性質(zhì)，而且可以讓學(xué)生提高解決數(shù)列問題的視野.等差數(shù)列前n項和公式，經(jīng)過化簡得Sn=,此公式可以看做n的二次函數(shù)，并且常數(shù)項為0，所以此式可以寫成y=,在做數(shù)列問題，特別是等差數(shù)列前n項和公式問題時，有時候很難入手，這時我們可以

20、嘗試聯(lián)系二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，可以使數(shù)列問題很輕松的得到解決.例7 設(shè)等差數(shù)列的前n項和Sn,已知a3=12,>0 , . (1)求公差d的取值范圍.(2) 指出，· ··中哪一個值最大，并說明理由. 圖10 解：（1） 依題意 = 12 = +2d 且 聯(lián)立解得 (2)>0,<0=的圖象如圖10所示，拋物線（0，0）點(diǎn)，不妨設(shè)另一交點(diǎn)為（n,0）且12<n<13.6<<6.5而此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=且n N . 最大.例8 在等差數(shù)列an中，S是其前n項和，公差為d0,mn.(1)若am=n ,an=m, am+n

21、=_;(2)若Sm=Sn，Sm+n=_. 解：（1）由an = a1+(n-1)d=nd+( a1 -d)可知：an是關(guān)于n的一次式，則三點(diǎn)（m, am）,（n, an）、（m+n, am+n）共線，根據(jù)任意兩點(diǎn)斜率相等得am+n=0. 圖11 （2）由=可知：Sn是關(guān)于n 的二次式，且無常數(shù)項,令= ,則=0,而 ， ,則x=為此二次函數(shù)圖象的對稱軸，此,即Sm+n=0. 注：此題可以用其它很多方法來解決，但是我們從中不難看出發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)利用函數(shù)圖象更直觀簡便.例9 知Sm是等差數(shù)列am的前m項和，若S3=S5 ，S8的值. 解：因=，故當(dāng)d 0時，不妨設(shè)d>0,(m, Sm)是分布在拋物

22、線= 上的一些離散點(diǎn)，如圖12所示.由S3=S5，可知拋物線關(guān)于直線m=4對稱，故S8=0，綜合上述，可知S8=0. 圖12 等差數(shù)列前n項和公式（其中），此公式可以看做是n的二次函數(shù)，且常數(shù)為0.我們在解決等差數(shù)列求和問題是可以嘗試著和二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象聯(lián)系，可以使問題很輕松的得到解決.4.2.6巧用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合問題 對于一般的對數(shù)函數(shù)中有關(guān)定義域、值域以及單調(diào)性問題我們能夠比較熟練的解決 , 但是我們在遇到的一些問題中往往對數(shù)函數(shù)不是單獨(dú)出現(xiàn)的，它總是和其他函數(shù)同時出現(xiàn)，特別是二次函數(shù)，那么如何來解決這類比較復(fù)雜的問題呢？這就是這一小節(jié)所要講的內(nèi)容，首先強(qiáng)調(diào)一

23、點(diǎn)，做任何題，不管是簡單的還是復(fù)雜的 , 關(guān)鍵的是抓住其基本性質(zhì)，盡量把問題轉(zhuǎn)化到為熟悉的情況下進(jìn)行解決.對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合起來是最常見的復(fù)合函數(shù).我們在考慮這類復(fù)合函數(shù)問題的時候，要仔細(xì)分析各函數(shù)的定義域和值域以及復(fù)合后的定義域和值域的變化.對數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合主要三大點(diǎn)問題.(1)對數(shù)和二次函數(shù)交匯成復(fù)合函數(shù)問題的單調(diào)性.例10（天津卷）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱,記若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（） A B C D 解析：已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，則，記=當(dāng)m>1時，若在區(qū)間上是增函數(shù)，為增函數(shù)，令，v, ，要求對稱軸，矛盾；當(dāng)0&

24、lt;m<1時，若在區(qū)間上是增函數(shù)，為減函數(shù)，令，v,，要求對稱軸，解得,所以實數(shù)m的取值范圍是,選D.(2)對數(shù)與二次函數(shù)交匯成復(fù)合函數(shù)問題的條件最值. 例11設(shè)不等式2(logm)2+9(logm)+90的解集為t，求當(dāng)mt時函數(shù)f(m)=(log2)(log2)的最大、最小值 解 2(m)2+9(m)+90(2m+3)( m+3)0 3m 即 ()3m()()m()3,2m8即=m|m2,8又=(log2m1)(log2m3)=log22m4log2m+3=(log2m2)21 2m8,log2m3當(dāng)log2m=2,即m=4時ymin=1;當(dāng)log2m=3,即m=8時，ymax=0

25、(3)對數(shù)和二次函數(shù)交匯成復(fù)合函數(shù)問題的定義域、值域. 例12已知函數(shù)（1）若定義域為，求的取值范圍.（2）若值域為，求的取值范圍.解：（1）由題意知，對任意實數(shù)x恒成立所以解得 (2）設(shè)，則因為函數(shù)的值域是所以解得 評注：這是一個由對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的“對數(shù)型函數(shù)”的問題,由對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)不難得到.前者是當(dāng)x取任意實數(shù)時，二次函數(shù)v的值恒為正數(shù),故應(yīng)有；而后者是要求在復(fù)合函數(shù)的定義域內(nèi)，二次函數(shù)的值域是,故應(yīng)有0. 二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合問題很復(fù)雜,在解決這類問題時，我們要抓住基本性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的形式.4.2.7巧用二次函數(shù)圖象討論二次函數(shù)與一次函數(shù)的交匯問題 一

26、次函數(shù)和二次函數(shù)作為一種簡單而基本的初等函數(shù),不論在初中還是高中都非常重要,也是初高中具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中聯(lián)系最密切的內(nèi)容. 在現(xiàn)實生活中，一次函數(shù)和二次函數(shù)是一類重要的函數(shù)，初中就學(xué)習(xí)了這兩個函數(shù)，但主要是在“看”的層面進(jìn)行研究與認(rèn)識.在高中階段，一次函數(shù)與解析幾何中直線方程有密切聯(lián)系，二次函數(shù)是理解映射角度下的函數(shù)概念、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等概念的重要函數(shù)模型.在高考中一次函數(shù)與二次函數(shù)不會單獨(dú)的出現(xiàn)，它們往往是相互交合起來.例13設(shè)函數(shù) 若互不相等的實數(shù),滿足 ，求的取值范圍.圖13xy0圖13 解：如圖13，在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出,和的圖象，從圖可以看出，關(guān)于直線=2對稱，所以.函數(shù)頂點(diǎn)坐

27、標(biāo)為2，此時對應(yīng)的，所以，故= 二次函數(shù)與一次函數(shù)的交匯問題是一個重要的問題，他們的結(jié)合也是高考的命題之一.4.3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解問題誤區(qū)的探討 數(shù)形結(jié)合不僅是一種重要的數(shù)學(xué)方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它貫穿數(shù)學(xué)發(fā)展的每一個階段.數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合教學(xué)對提高學(xué)生的思維能力，解題技巧以及解題速度有重大作用.但是許多的學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解覺與二次函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，許多學(xué)生往往由于思維定式、畫圖不準(zhǔn)確、不全面，邏輯性偏面轉(zhuǎn)化不等價等原因，導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤.本節(jié)對運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時，容易出現(xiàn)的一些常見的誤區(qū)的分析. 誤區(qū)一.畫出的圖象不精確性 .在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題

28、時，由于思維定式，畫圖不準(zhǔn)確，造成了視覺的誤差.誤區(qū)二.注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化不等價.利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題時，要注意轉(zhuǎn)化的等價性，由“形”觀察“數(shù)”，由“數(shù)”構(gòu)成“形”，在這轉(zhuǎn)化過程中要注意它，不然會造成轉(zhuǎn)化不等價問題.例14 已知方程a·sin2x+cosx+-a=0,有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍.誤解：原方程化為a cos2x-cosx-=0,設(shè)=am2-m-,(這里cosx=m,m-1,1.原方程在區(qū)間0,2內(nèi)有兩個相異實根，等價于=0在(-1，1)內(nèi)有且只有一解，即二次函數(shù)在(-1，1)內(nèi)和x軸有且只有一個交點(diǎn)，如圖14，即a(a-1)<0,所以0<a<1

29、.圖14 評析：此題誤認(rèn)為 =0在(-1，1)內(nèi)有且只有一個解等價于，事實上僅是方程=0在(-1，1)內(nèi)有唯一解的充分條件，由于審題不周沒有考慮圖形的特殊情況而造成的不等價轉(zhuǎn)化.正解：方程=0，在(-1，1)有且只有一解等價于 或 或<0,解得0<a<1誤區(qū)三.在解題時要注意數(shù)形結(jié)合的簡潔性、雙向性.數(shù)與形是相互聯(lián)系的，在利用數(shù)形結(jié)合解題時注意數(shù)與形之間存在著雙面性，圖形不是萬能利器，能否利用圖形，取決于圖形的簡潔、優(yōu)美.誤區(qū)四.畫圖不全面.由于某些數(shù)學(xué)問題所對應(yīng)的圖形可能不止一種，這時要根據(jù)不同情況對給出的問題分別進(jìn)行討論求解.誤區(qū)五.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問題時要注意時

30、效性，有的問題在特定條件下能使用此方法.而條件發(fā)生了變化時就不能使用.因此在解決問題時是要注意問題的實效性.【19】 5結(jié)論5.1 主要發(fā)現(xiàn)本論文在文獻(xiàn)1-19研究的基礎(chǔ)上，研究了數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)中與（函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、三角形）等問題方面的應(yīng)用，通過實例說明數(shù)形結(jié)合能啟發(fā)學(xué)生的思維；通過對二次函數(shù)與其他知識（一元二次不等式、一元二次方程、三角函數(shù)、等差數(shù)列前n項和等）的綜合應(yīng)用的論述，我利用了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，解決了上述的綜合問題.通過數(shù)形結(jié)合，把代數(shù)關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）與幾何圖形的直觀有機(jī)地結(jié)合起來，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，引導(dǎo)訓(xùn)練學(xué)生掌握解題方法，能促進(jìn)學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開拓學(xué)生的解題思路，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力、空間想象能力.5.2 啟示和意義二次函數(shù)是高中重要的知識點(diǎn)，它貫穿高中知識的始終，同時二次函數(shù)與其他知識的綜合也是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是解決很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的一把利刃.在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過數(shù)與形的結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣.數(shù)形并茂，以數(shù)論形，能精確判斷，深刻表述；以形助數(shù)，使抽象的代數(shù)