變量間的相關(guān)關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 變量間的相關(guān)關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析學(xué)生情況分析：學(xué)生已經(jīng)具備了對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析的能力，且掌握了一定的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)，主要是電子表格的使用。教材地位和作用：變量間的相關(guān)關(guān)系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3節(jié)的內(nèi)容, 本節(jié)課主要探討如何利用線性回歸思想對實(shí)際問題進(jìn)行分析與預(yù)測。為以后更好地研究選修2-3第三章3.2節(jié)回歸分析思想的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。 結(jié)合教材特點(diǎn)及學(xué)情 ，特制定三維教學(xué)目標(biāo)如下：二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：利用散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及2回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過程，利用電子表格求出回歸直線的方程并對實(shí)際問題進(jìn)行分析和預(yù)測，通過實(shí)例加強(qiáng)對回歸直線方程含義的

2、理解2 、過程與方法：通過自主探究體會數(shù)形結(jié)合、類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。 通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力，引出利用計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代化教學(xué)工具的必要性。3、情感、態(tài)度與價值觀：類比函數(shù)的表示方法，使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強(qiáng)應(yīng)用回歸直線方程對實(shí)際問題進(jìn)行分析和預(yù)測的意識。利用計(jì)算機(jī)讓學(xué)生動手操作，合作交流激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助電子表格求出回歸方程。 教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)：對最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解教學(xué)實(shí)施過程中的難點(diǎn)：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸

3、方程。四、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)本節(jié)課涉及大量數(shù)據(jù)計(jì)算及分析，用傳統(tǒng)方法很難突破，故我主要采用電子表格和 幾何畫板，通過學(xué)生動手操作、教師動畫演示、師生合作交流來突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)效果有明顯提高。五、教學(xué)設(shè)計(jì)（具體如下表）（一）、創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課 1、相關(guān)關(guān)系的理解 師：我們曾經(jīng)研究過兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系：一個自變量對應(yīng)著唯一的一個函數(shù)值，這兩者之間是一種確定關(guān)系。生活中的任何兩個變量之間是不是只有確定關(guān)系呢？ 讓學(xué)生舉例，教師總結(jié) 如： 生：不是。師：能否舉出反例？ 比如，年齡與身高。 生：身高與體重 生：教師水平與學(xué)生成績。生：網(wǎng)速與下載文件所需時間 師：不妨以教師水平與學(xué)生成績?yōu)槔?/p>

4、學(xué)生成績與教師水平有關(guān)嗎？生：有，一般來說，教師水平越高，學(xué)生成績越好師：即“名師出高徒”，名師一定出高徒嗎？ 生：不一定。師：即學(xué)生成績與教師水平之間存在著某種聯(lián)系，但又不是必然聯(lián)系，對于學(xué)生成績與教師水平之間的這種不確定關(guān)系，我們稱之為相關(guān)關(guān)系。這就是我們這節(jié)課要共同探討的內(nèi)容 變量間的相關(guān)關(guān)系。（板書） 生活中還有很多描述相關(guān)關(guān)系的成語，如：“虎父無犬子”，“瑞雪兆豐年” 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟悉的函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中兩個變量之間還存在的相關(guān)關(guān)系。讓學(xué)生體會研究變量之間相關(guān)關(guān)系的重要性。感受數(shù)學(xué)來源于生活。（二）、初步探索，直觀感知1、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)利用電子表格作出散點(diǎn)圖，直觀感知變

5、量之間的相關(guān)關(guān)系師：在研究相關(guān)關(guān)系前，同學(xué)們先回憶一下：函數(shù)的表示方法有哪些？ 生：列表，畫圖象，求解析式。 師：下面我們就用這些方法來研究相關(guān)關(guān)系。請同學(xué)們看這樣一組數(shù)據(jù)：探究: 在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù): 根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6生：隨著年齡增長，脂肪含量在增加 師：有沒有更直觀的方式？生：畫圖 師生：用x軸表示年齡，y軸表示脂肪。一組樣本數(shù)據(jù)就對應(yīng)

6、著一個點(diǎn)。由于數(shù)據(jù)比較多，我們借用電子表格來作圖，請大家注意觀察。教師演示作圖方法，學(xué)生觀察年齡脂肪239.52717.83921.24125.94527.54926.35028.25329.65430.25631.45730.85833.56035.26134.6散點(diǎn)圖師：這個圖跟我們所學(xué)過的函數(shù)圖象有區(qū)別，它叫作散點(diǎn)圖。2、判斷正、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān) 學(xué)生觀察，比較，討論， 010203040506070809010040506070809011000.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2 師：請同學(xué)們觀察這4幅圖，看有什么特點(diǎn)？ 生：圖1呈上升趨勢，圖2呈

7、下降趨勢。 師生：這就像函數(shù)中的增函數(shù)和減函數(shù)。即一個變量從小到大，另一個變量也從小到大，或從大到小。對于圖1中的兩個變量的相關(guān)關(guān)系，我們稱它為正相關(guān)。圖2中的兩個變量的相關(guān)關(guān)系，稱為負(fù)相關(guān)。師：我們還可以判斷出：年齡與身高是正相關(guān)，網(wǎng)速與下載文件所需時間是負(fù)相關(guān)。 生：后面兩個圖很亂，前面兩個圖中點(diǎn)的分布呈條狀。 師：從數(shù)學(xué)的角度來解釋：即圖1、2中的點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近。我們稱圖1、2中的兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系。這條直線叫做回歸直線。圖3、4中的兩個變量是非線性相關(guān)關(guān)系 師：這節(jié)課我們重點(diǎn)研究線性相關(guān)關(guān)系。（板書） 設(shè)計(jì)意圖 ：數(shù)形結(jié)合，掃清了學(xué)生的思維障礙，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡

8、約美。（三）、循序漸進(jìn)、延伸拓展1、找回歸直線師：下面我們再來看一下年齡與脂肪的散點(diǎn)圖，從整體上看，它們是線性相關(guān)的。如果可以求出回歸直線的方程，我們就可以清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性。這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表。同學(xué)們能否畫出這條直線？請完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1、畫出回歸直線。（學(xué)生在計(jì)算機(jī)上用電子表格畫回歸直線）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1： 畫出回歸直線 教師展示學(xué)生畫圖情況，學(xué)生說明理由學(xué)生方案一 學(xué)生方案二 生總結(jié)： 第二種方法好，因?yàn)樗械狞c(diǎn)離這條直線最近。 學(xué)生方案三 師：即，從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離和最小。2、 利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式。 師：我們現(xiàn)在來求距離和。怎

9、么求？ 生：利用點(diǎn)到直線的距離公式師生共同：只要求出使距離和最小的、b即可。但是，我們知道點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算復(fù)雜。怎么辦呢？以樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)A為例， 可以看出：在ABC中，（教師動畫演示）按照一對一的關(guān)系，直角邊AC越小，斜邊AB越小， 當(dāng)AC無限小時，AB跟AC可近似看作相等。求麻煩，不妨求生： 師：它表示自變量x取值一定時，縱坐標(biāo)的偏差。假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：。當(dāng)自變量?。?1，2，n）時，可以得到（=1，2，n），它與實(shí)際收集到的之間的偏差是（=1，2，n）這樣用n個偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的?？偟钠顬?，偏差有正有負(fù)，易抵消，所

10、以采用絕對值，由于帶絕對值計(jì)算不方便所以換成平方，現(xiàn)在的問題就歸結(jié)為：當(dāng)，b取什么值時Q最小。將上式展開、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時 （其中，） 推導(dǎo)過程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和”最小的方法叫 “最小二乘法”。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，最小二乘法的思想是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，先讓學(xué)生動手操作畫回歸直線，教師動畫演示，進(jìn)一步演繹推理來分解難點(diǎn)、突破難點(diǎn)3、利用電子表格的計(jì)算功能求出回歸直線方程，并分析它的意義師：利用最小二乘法就可以求出回歸系數(shù)，進(jìn)一步求出回歸方程。下面我們具體操作一下。 我們先明確幾個符號的含義：表示年齡，是23，是27，直到是6

11、1。從1到14 ， 表示脂肪，是9.5，是17.8 。表示年齡與脂肪的成績， 表示 年齡的平方年齡脂肪239.5218.55292717.8480.67293921.2826.815214125.91061.916814527.51237.520254926.31288.724015028.2141025005329.61568.828095430.21630.829165631.41758.431365730.81755.632495833.5194333646035.2211236006134.62110.6372148.07127.26428619403.234181表示自變量年齡的平均

12、數(shù)，表示因變量脂肪的平均數(shù)，表示自變量的平方和，表示自變量與因變量乘積的和。要求出 a，b，必須先求出這些量。由于計(jì)算量大，我們用EXCEL來計(jì)算。 請大家注意觀察 教師利用電子表格完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2、學(xué)生觀察數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：求出下列各式的值（n=14）= = = = = 師： 通過計(jì)算，求出了 （板書） 求出回歸直線方程有什么用呢？生：知道x的值可以求的值，師：請同學(xué)們從表格中選取年齡x的一個值代入上述回歸直線的方程，看看得出的數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)值之間的關(guān)系。學(xué)生代入檢驗(yàn) 生；估計(jì)值是，與實(shí)際值有偏差， 師；為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果？生：回歸直線是估計(jì)出的，把帶入肯定有誤差。師：試預(yù)測某人37歲時，他體內(nèi)的

13、脂肪含量。并說明結(jié)果的含義。學(xué)生代入計(jì)算 師：我們能不能說他的體內(nèi)脂肪含量的百分比一定是20.882%,？ 生：不能。只能說他體內(nèi)的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比較大 設(shè)計(jì)意圖：回歸方程的求法是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，利用電子表格計(jì)算繁雜數(shù)據(jù)，激發(fā)學(xué)生的興趣，通過教師演示，學(xué)生動手操作突出重點(diǎn)，引出利用現(xiàn)代技術(shù)工具解決問題的必要性。（四）、線性回歸分析思想在實(shí)際中的應(yīng)用總結(jié)：我們利用回歸直線對年齡與脂肪的關(guān)系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。利用這種分析方法可以對生活中的很多問題進(jìn)行分析與預(yù)測。下面請同學(xué)們自己動手解決這樣一個問題例2有一個同學(xué)家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對銷售

14、熱飲的影響,經(jīng)過統(tǒng)計(jì),攝氏溫度/-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表,（1）畫出散點(diǎn)圖（2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律（3）求回歸方程（4）如果某天的氣溫是2，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)采用分組合作方式，學(xué)生分機(jī)操作，（一個學(xué)生操作，一個記錄）展示學(xué)生操作情況數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：求出下列各式的值（n=11）= = = = = 設(shè)計(jì)意圖：發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一。在教學(xué)中以具體問題為載體,加深學(xué)生對回歸方程的理解，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用（五

15、）利用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)程度師：利用最小二乘法求出回歸直線的方程后，可以對上面兩個變量的關(guān)系進(jìn)行分析與預(yù)測。是不是所有的相關(guān)關(guān)系都可以求出回歸直線的方程？請大家觀察這4幅圖010203040506070809010040506070809011000.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2生；前兩個是線性相關(guān)，可以求回歸方程，后兩個是非線性相關(guān)，直線不能很好地反映圖中兩個變量之間的關(guān)系。顯然求回歸直線的方程是沒有意義的。有些變量線性相關(guān)，有些非線性相關(guān)，怎樣衡量變量的線性相關(guān)程度呢？這時我們引入一個量：相關(guān)系數(shù)注意它的符號：當(dāng)時，x，y正相關(guān)，當(dāng)時，x，y負(fù)相

16、關(guān)，統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為：對于r，若，那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng)，若，那么正相關(guān)很強(qiáng)， 若，那么相關(guān)性一般， 若，那么相關(guān)性較弱，師：不同的相關(guān)性可以從散點(diǎn)圖上直觀地反應(yīng)出來。請同學(xué)們再觀察這幾幅散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩個變量的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。生：圖1、2正線性相關(guān)，圖1中的點(diǎn)密集，相關(guān)性比圖2好師：利用相關(guān)系數(shù)也可以看出相關(guān)性，圖1中r=0.97接近1。圖2中r=-0.85所以可以總結(jié)出相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)關(guān)系就越強(qiáng)。設(shè)計(jì)意圖：通過觀察比較：使學(xué)生體會：相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，用線性回歸模型擬合樣本數(shù)據(jù)的效果就越好 （五）、歸納總結(jié)，內(nèi)化知識師生：1、回歸直線方程的求法先判斷變量是否線性相關(guān)若線性相關(guān)，利用公

17、式計(jì)算出、b利用回歸方程對生活實(shí)際問題進(jìn)行分析與預(yù)測2、思想方法：數(shù)形結(jié)合、歸納、類比、最小二乘法（六）作業(yè)布置與板書設(shè)計(jì)：1、創(chuàng)新應(yīng)用：預(yù)測人口師：我國是一個人口大國，估計(jì)人口數(shù)量及發(fā)展趨勢是我們制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展計(jì)劃等一系列相關(guān)政策的基礎(chǔ)，人口數(shù)量預(yù)測是一個復(fù)雜的問題，不僅是人口與時間兩個變量之間 的關(guān)系，還與國家經(jīng)濟(jì)狀況，科技發(fā)展，自然災(zāi)害和戰(zhàn)爭等其他因素有關(guān)。我們看下面的統(tǒng)計(jì)表1949至1994年人口數(shù)據(jù)資料如下年份19491954195919641969人口/百萬541.67602.66672.09704.99806.71年份19741979198419891994人口/百萬908.59975.421034.7