初一數(shù)學競賽教程含例題練習及答案⑼2

1、初一數(shù)學競賽講座第 9 講應(yīng)用問題選講我們知道， 數(shù)學是一門基礎(chǔ)學科；我們在學校中學習數(shù)學的目的，一方面是為學習其它學科和學習更深的數(shù)學學問打下一個基礎(chǔ)，更重要的是為了現(xiàn)在和將來運用所學的數(shù)學學問去解決一些日常生活、科學試驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟活動中所遇到的實際問題；運用數(shù)學學問解決實際問題的基本思路是：先將這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題（我們稱之為建立數(shù)學模型），然后解答這個數(shù)學問題，從而解決這個實 際問題；即：這里，建立數(shù)學模型是關(guān)鍵的一步；也就是說，要通過審題，將實際問題與 自己學過的數(shù)學學問、 數(shù)學方法聯(lián)系起來， 將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學問題，然后解答這個數(shù)學問題；下面介紹一些典型的數(shù)

2、學模型；一、兩個量變化時，和肯定的問題兩個變化著的量， 假如在變化的過程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？觀看下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量， 假如在變化的過程中，和始終保持不變， 那么它們的差越小，積就越大；如它們能夠相等，就當它們相等時，積最大；這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的；例 1 農(nóng)夫叔叔阿根想用20 塊長 2 米、寬 1.2 米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩；為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2 米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應(yīng)是多少？解：如上圖，設(shè)長方形的長和寬分別為x 米和 y 米，就有x2y 1.2 

3、5;2024 ；長方形的面積為由于 x 和 2y 的和等于 24 是一個定值， 故它們的乘積當它們相等時最大，此時長方形面積s 也最大；于是有x=12， y 6；例 2 假如將進貨單價為40 元的商品按50 元售出，那么每個的利潤是10 元，但只能賣出500 個；當這種商品每個漲價1 元時，其銷售量就削減10 個；為了賺得最多的利潤，售價應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個商品售價為（50+x）元，就銷量為（500-10x）個；總共可以獲利:（50x-40 ）×（ 500-10x ）=10×（ 10+x）×（ 50-x）（元）；因（10+x）+（50x）=60 為肯定值，故當1

4、0+x=50 x 即 x=20時，它們的積最大；此時，每個的銷售價為5020=70（元）；例 3 如一個長方體的表面積為54 厘米 2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應(yīng)為多少厘米？解：設(shè)長、寬、高分別為x， y， z 厘米，體積為v 厘米 3；2（xy yz+zx）=54，xy yz+zx=27；由于 v2=（ xyz ）2=（xy ）（ yz ）（ zx），故當 xy=yz=zx即 x=y=z=3 時， v2 有最大值，從而v 也有最大值；例 4 有一塊長 24 厘米的正方形厚紙片， 在它的四個角各剪去一個小正方形， 就可以做成一個無蓋的紙盒， 現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大， 剪

5、去的小正方形的邊長應(yīng)為幾厘米？解：如上圖，設(shè)剪去的小正方形的邊長為x 厘米，就紙盒的容積為v=x（24-2x ）（ 24-2x ）=2 ×2x（12-x ）（ 12-x ） ；因 為 2x+（12-x ）+（12-x ）=24 是一個定值，故當2x=12-x 12-x ，即 x=4 時，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大；二、兩個量變化時，積肯定的問題兩個變化著的量， 假如在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀看下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量， 假如在變化的過程中，乘積始終保持不變， 那么它們的差越小，和就越?。蝗缢鼈兡軌蛳嗟?，就

6、當它們相等時，和最?。焕? 長方形的面積為144 cm2，當它的長和寬分別為多少時， 它的周長最短？解：設(shè)長方形的長和寬分別為xcm 和 ycm，就有xy 144；故當 x=y=12 時， x+y 有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值； 例 6 用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm3，長方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，就有 xyz 216；鐵絲長度的和為4 （x y z ），故當 x y=z6 時，所用鐵絲最短；例 7 農(nóng)場方案挖一個面積為432 m2 的長方形養(yǎng)魚池，魚池四周兩側(cè)分別有3

7、m和 4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應(yīng)為多少？解：如下列圖，設(shè)水池的長和寬分別為xm和 ym，就有 xy 432；占地總面積為s=（x6）（ y8）cm2；于是 s=xy+6y+8x486y+8x+480；我們知道6y × 8x=48× 432 為肯定值，故當6y=8x 時， s 最小，此時有6y=8x=144，故 y=24，x=18；例 8 某游泳館出售冬季同學游泳卡，每張240 元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次；某班有48 名同學，老師準備組織同學集體去游泳，除需購買如干張游泳卡外，每次游泳仍需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學，

8、每次的包車費均為40 元；如要使每個同學游8 次，每人最少交多少錢？解：設(shè)一共買了x 張卡，一共去游泳y 次，就共有xy=48× 8=384（ 人 次 ）， 總用費為（ 240x40y）元；由于 240x×40y=240× 40×384 是肯定值，故當240x=40y ，即 y=6x 時，和最小；易求得x=8，y=48；此時總用費為240×840×48=3840（元），平均每人最少交3840 ÷ 48=80（元）；三、利用不等關(guān)系來解答的應(yīng)用題例 9 某公司在 a，b 兩地分別庫存有某機器16 臺和 12 臺，現(xiàn)要運往甲、乙

9、兩家客戶的所在地， 其中甲方15 臺，乙方 13 臺；已知從 a 地運一臺到甲方的運費為 500 元，到乙方的運費為400 元，從 b 地運一臺到甲方的運費為300 元，到乙方的運費為600 元；已知運費由公司承擔，公司應(yīng)設(shè)計怎樣的調(diào)運方案，才能使這些機器的總運費最?。拷猓涸O(shè)由 a 地運往甲方x 臺，就 a 地運往乙方（ 16-x ）臺，b 地運往甲方（15-x ）臺， b 地運往乙方（ x 3）臺；于是總運價為：s=500x+400（16-x ） 300（15-x ）+600（x-3 ）400x+9100；明顯， x 要滿意不等式3x15，于是當 x=3 時，總運價最省，為400 ×

10、; 3 9100=10300（元）；調(diào)運方案為：由a 地運往甲方3 臺， a 地運往乙方13 臺， b 地運往甲方12臺， b 地運往乙方0 臺；例 10 某校打算出版“作文集”，費用是30 冊以內(nèi)為80 元，超過 30 冊的每冊增加 1.20 元；當印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50 元以內(nèi)？解：明顯印刷的冊數(shù)應(yīng)當大于30；設(shè)印刷了（ 30x）冊，于是總用費為（ 80+1.2x ）元；故有80+1.2x 1.5×（ 30+x），以內(nèi)；例 11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳40；其次種含錳10，含 鎳 90；第三種含銅20，含錳 50，含鎳 30；現(xiàn)各取適當數(shù)量的這三種合金，

11、組成一塊含鎳45的新合金，重量為1 千克；（1）求新合金中其次種合金的重量的范疇；（2）求新合金中含錳的重量的范疇；解：設(shè)第一種合金用量為x 千克， 其次種合金用量為y 千克， 第三種合金用量為 z 千克，依題意有（1）假如不取第一種合金，即x=0，那么新合金中其次種合金重量最??；解 得 y=0.25 ；假如不取第三種合金，即z=0，那么新合金中其次種合金重量最大；解得y 0.5 ；新合金中其次種合金的重量范疇是0.25 克 到 0.5 克 ；（2）由可得z1.5-3y ，x=2y0.5 ；故新合金中含錳的重量為s40 x+10y+50z=40（ 2y-0.5 ） 10 y 50（ 1.5-3

12、y ）0.55-0.6y；由于 0.25 y 0.5 ，所以 0.25 s0.4 ，即新合金中含錳的重量范疇是0.25克 到 0.4 克 ；例 12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100 個，每個由三根長為2.3米、1.7 米、1.3 米的鋁合金材料組裝而成；市場上可購得該鋁合金材料的原料長為 6.3 米；問：至少要買回多少根原材料，才能滿意要求（不計損耗）？解：每根原材料的切割有下表的七種情形：明顯，三種方案損耗較小；方案依次切割原材料42 根、14根、29 根、1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各100 根，共用原材料42 14291=86（根）；練 習 91銷售某

13、種西服， 當每件售價為100 元時可售出1000 件；假如定價每下降1，那么銷售量將提高0.5 ，又知道這批西服是每件80 元成本購進的；問：應(yīng)如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為4m2 的窗戶，當ab 的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最省？3有一個長為80cm、寬為 40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應(yīng)當如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為 64000m3；在建造時，槽底的造價是四壁的 2 倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時， 造價最?。?a 城有化肥 200 噸，b 城有化肥 300 噸，現(xiàn)要將化肥

14、運往 c，d 兩村；已知從 a 城運往 c，d兩村的運價分別是每噸 20 元和 25 元，從 b 城運往 c，d 兩村的運價分別是每噸 15 元和 22 元；某個體戶承包了這項運輸任務(wù)， 請你幫他算一算，如何調(diào)運才能使運費最?。?有兩個同學參與4 次數(shù)學測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)；他們又參與了第5 次測驗，這樣5 次的平均分數(shù)都提高到了90 分，求第 5 次測驗二人的得分（滿分為100 分）；7某機械廠要把一批長7300 毫米的鋼筋截成長290 毫米、 210 毫米和 150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子；現(xiàn)在做 100 套鋼筋架子， 至少要用去長為7300 毫米的鋼筋

15、多少根？8下表所示為x，y，z 三種食品原料的維生素含量（單位：單位/ 千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100 千克的混合物，要求混合物至少需含44000 單位的維生素a 及 48000 單位的維生素b0 假如所用的食物中x，y，z 的重量依次為 x 千克、 y 千克、 z 千克，那么請定出x，y， z 的值，使得成本為最少；練習 9 答案：1.91 元；解：設(shè)定價為每件（100-x）元，就銷售量為1000（ 1+0.5x）件；利潤為（100-x-80）× 1000（ 1+0.5x）=500×（ 20-x）（ 2+x）；由于（ 20-x） +（ 2+x）=22 為肯定值

16、，故當20-x=2+x 即 x=9 時利潤最高；此時每件定價為100-9=91（元）；2.23；解：窗戶的框架長為3a+2b，而ab=4 是一個定值，從而3a×2b=6ab=24也 是一個定值，故當3a=2b 即 ab=2 3 時窗戶框架所用材料最省；3.32000cm3解：設(shè)木盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，就它的容積為v=xyzcm 3 ；由于xy+2xz+2yz=40×80=3200為肯定值，故它們的積xy×2xz× 2yz=4（ xyz） 2=4v2，在 xy=2xz=2yz 時最大，從而v 也最大，此時有x=y=2z；經(jīng)運算得x=4

17、0，y=40，z=20；詳細制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作為木盒的底面， 再將剩下的一半分成20 cm×40 cm 大小的四等份，每份作為木盒的一個側(cè)面就可以了；4.11；解：設(shè)四壁的造價是a 元/m2，就底面造價為2a 元/m 2；又設(shè)其底面邊長為xm，高為 ym，就有x2y=64000；總造價為a× 4xy+2a × x 2=2a（2xy+x 2）=2a（xy+xy+x 2）；由于 xy×xy ×x2=（x2y）2=640002 為肯定值，故當xy=xy=x 2 即 xy=1 1 時，總造價最??；5.解：設(shè)

18、 a 城化肥運往c 村 x 噸，就運往d 村（ 200-x）噸； b 城化肥運往c 村（ 220-x）噸，運往d 村（ 80+x）噸，總運費y 元，就y=20x+25（ 200-x）+15（220-x） +22（80+x）=2x+10060；又易知 0x200，故當 x=0 時，運費最省，為10060 元；運輸方案如下： a 城化肥運往c 村 0 噸，運往 d 村 200 噸；b 城化肥運往c村 220 噸，運往 d 村 80 噸；6.98， 94；解：設(shè)某一同學前4 次的平均分為x 分，第 5 次的得分為y 分，就其 5 次總分為4x+y=5×90=450；于是 y=450-4x；明顯 90y100，故90 450-4x 100，解得 87.5 x90；于是兩個同學前4 次的平均分分別為88 分和 89 分；第5 次得分分別為450-4×88=98（分）和 450-4×89=94（分）；7.90 根；解：每一根7300 毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法： 290×2+150×1=7300，210×2+150×2=7200，210×2+290×2=7100；設(shè)按方案截得的鋼筋有x 根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z 根，就長為290，2