初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題及答案

1、經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，o 是半圓的圓心，c、e 是圓上的兩點(diǎn)，cd ab ， ef ab ，eg co 求證： cd gf（初二）cegabdof2、已知：如圖，p 是正方形abcd 內(nèi)點(diǎn)， pad pda 150求證： pbc 是正三角形 （初二）ad pbc3、如圖，已知四邊形abcd 、a 1b 1c1d1 都是正方形，a2、b 2、c2、 d2 分別是 aa 1、bb 1、cc1、dd 1 的中點(diǎn)求證：四邊形a2b 2c2 d2 是正方形（初二）a da 2d2a 1d1b 1c1b2c2b c4、已知：如圖，在四邊形abcd 中， ad bc ， m 、n 分別是 ab 、c

2、d 的中點(diǎn)， ad 、bc的延長(zhǎng)線交mn 于 e、f求證： den ffenc經(jīng)典難題（二）dab第 1 頁(yè) 共 17 頁(yè)m1、已知： abc 中， h 為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）， o 為外心，且om bc 于 m （ 1）求證： ah 2om ；a（ 2）如 bac 600，求證： ah ao （初二）o· hebmdc2、設(shè) mn 是圓 o 外始終線，過(guò)o 作 oa mn 于 a ，自 a 引圓的兩條直線，交圓于b 、c及 d、e，直線 eb 及 cd 分別交 mn 于 p、qg求證： ap aq （初二）eco·bd3、假如上題把直線mn 由圓外平移至圓內(nèi)，就由此可得

3、以下命題：mn設(shè) mn 是圓 o 的弦，過(guò)mn 的中點(diǎn) a 任作兩弦bc 、de ，設(shè) p、eb aq于 p、q求證： ap aq （初二）cd分別交 mnecaqmp·n·ob4、如圖，分別以abc的 ac 和 bc 為一邊，在 abc的外側(cè)作正方形cbfg ，點(diǎn) p 是 ef 的中點(diǎn)dacde和正方形求證：點(diǎn)p 到邊 ab 的距離等于ab 的一半（初二）dgce經(jīng)典難題（三）pfaqb1、如圖，四邊形abcd為正方形， de ac ，ae ac ， ae 與 cd 相交于 f求證： ce cf（初二）a dfeb c第 2 頁(yè) 共 17 頁(yè)2、如圖，四邊形abcd為正方

4、形， de ac ，且 ce ca ，直線 ec 交 da 延長(zhǎng)線于f 求證： ae af （初二）fadbc3、設(shè) p 是正方形 abcd一邊 bc 上的任一點(diǎn)， pfap ，cf 平分 dce e求證： pa pf（初二）adfbpce4、如圖， pc 切圓 o 于 c， ac 為圓的直徑， pef 為圓的割線， ae 、af 與直線 po 相交于b 、d求證： ab dc ，bc ad （初三）ap經(jīng)典難題（四）bodefc1、已知： abc 是正三角形，p 是三角形內(nèi)一點(diǎn)，pa3， pb 4，pc 5求： apb 的度數(shù)（初二）ap2、設(shè) p 是平行四邊形abcd 內(nèi)部的一點(diǎn)，且pba

5、 pda 求證： pab pcb （初二）bacdp3、設(shè) abcd 為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ab · cd ad · bc ac · bd （初三）bac dbc第 3 頁(yè) 共 17 頁(yè)4、平行四邊形abcd 中，設(shè) e、f 分別是 bc、ab 上的一點(diǎn)， ae 與 cf 相交于 p，且 ae cf求證： dpa dpc （初二）adf經(jīng)典難題（五）p：b1 、 設(shè)p是 邊 長(zhǎng) 為1的 正 abc內(nèi) 任 一 點(diǎn) ， l pa pb pc， 求e證 c l 2ap2、已知： p 是邊長(zhǎng)為1 的正方形abcd 內(nèi)的一點(diǎn)，求pa pb pc 的最小值bca dpb c

6、3、p 為正方形abcd 內(nèi)的一點(diǎn)，并且pa a， pb 2a， pc 3a，求正方形的邊長(zhǎng)a dp第 4 頁(yè) 共 17 頁(yè)b c4、如圖， abc 中， abc acb 800，d 、e 分別是 ab 、ac 上的點(diǎn)， dca 300， eba 200，求 bed 的度數(shù)aedbc經(jīng)典難題（一）答案1.如下圖做gh ab, 連接 eo；由于 gofe 四點(diǎn)共圓，所以gfh oeg,即 ghf oge, 可得 eo = gogfghco=,又 co=eo ，所以 cd=gf 得證；cd2. 如下圖做 dgc 使與 adp 全等，可得 pdg 為等邊，從而可得 dgc apd cgp,得出 pc

7、=ad=dc, 和 dcg= pcg 150所以 dcp=30 0 ，從而得出 pbc 是正三角形第 5 頁(yè) 共 17 頁(yè)3. 如下圖 連接 bc1 和 ab1 分別找其中點(diǎn) f,e. 連接 c2f 與 a2e 并延長(zhǎng)相交于 q點(diǎn)，連接 eb2 并延長(zhǎng)交 c2q于 h點(diǎn)，連接 fb2 并延長(zhǎng)交 a2q于 g點(diǎn)，2由 a2e= 1a1 b1= 1b1c1= fb2 ，eb2= 1ab= 1bc=f c1 ，又 gfq+ q=900 和222 geb2+q=90 0,所以 geb2= gfq 又 b2fc2= a2 eb2 ，可得 b2fc2 a 2eb 2 ，所以 a 2b2=b2c2 ， 又

8、gfq+ hb 2f=900 和 gfq= eb 2a 2 ,從而可得 a 2b2 c2=90 0 ， 同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形a 2b 2c2d2 是正方形；4. 如下圖 連接 ac并取其中點(diǎn) q，連接 qn和 qm，所以可得 qmf= f， qnm= den 和 qmn= qnm ，從而得出den f；第 6 頁(yè) 共 17 頁(yè)經(jīng)典難題（二）1.1延長(zhǎng) ad到 f 連 bf，做 og af,又 f= acb= bhd ，可得 bh=bf, 從而可得hd=df ，又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2gh+hd=2om2 連接 ob，oc,既得 boc=120 0，從

9、而可得 bom=60 0,所以可得ob=2om=ah=ao,得證；3. 作 of cd，ogbe ，連接 op， oa ， of， af ， og，ag ， oq ；adaccd2fdfd由于=，abaebe2bgbg第 7 頁(yè) 共 17 頁(yè)由此可得 adf abg ，從而可得afc= age ；又由于 pfoa 與 qgoa 四點(diǎn)共圓，可得afc= aop 和 age= aoq ， aop= aoq ，從而可得ap=aq ；4. 過(guò) e,c,f 點(diǎn)分別作 ab所在直線的高 eg，ci，fh；可得eg + fhpq=；2由 ega aic ，可得 eg=ai ，由 bfh cbi ，可得 fh

10、=bi ；從而可得pq=ai + bi=2ab，從而得證；2經(jīng)典難題（三）1. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ade ，到 abg ，連接 cg.由于 abg= ade=90 0+45 0=135 0從而可得b ，g，d 在一條直線上，可得agb cgb ；推出 ae=ag=ac=gc，可得 agc 為等邊三角形；第 8 頁(yè) 共 17 頁(yè) agb=30 0，既得 eac=30 0，從而可得a ec=75 0；又 efc= dfa=45 0+30 0=75 0.可證： ce=cf ；2. 連接 bd作 ch de ，可得四邊形cgdh 是正方形；由 ac=ce=2gc=2ch ，可得 ceh=30 0，所以 ca

11、e= cea= aed=15 0，又 fae=90 0+45 0+15 0=150 0，從而可知道f=15 0，從而得出ae=af ；3. 作 fg cd，febe ，可以得出gfec 為正方形；令 ab=y， bp=x ,ce=z , 可得 pc=y-x；xztan bap=tan epf=，可得 yz=xy-x 2 +xz ，yy -x + z即 zy-x=xy-x，既得 x=z，得出 abp pef ，得到 pa pf ，得證；第 9 頁(yè) 共 17 頁(yè)經(jīng)典難題（四）1. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) abp600 ，連接 pq ，就 pbq 是正三角形；可得 pqc 是直角三角形；所以 apb=150 0

12、 ；第 10 頁(yè) 共 17 頁(yè)2. 作過(guò) p點(diǎn)平行于 ad的直線，并選一點(diǎn)e，使 ae dc，bepc.可以得出 abp= adp= aep，可得：aebp 共圓（一邊所對(duì)兩角相等）；可得 bap= bep= bcp，得證；3. 在 bd取一點(diǎn) e，使 bce= acd ，既得 bec adc ，可得：bead=bcac，即 ad .bc=be .ac，又 acb= dce ，可得 abc dec ，既得abde=acdc，即 ab .cd=de .ac ，由 +可得 : ab .cd+ad .bc=acbe+de= ac· bd，得證；第 11 頁(yè) 共 17 頁(yè)4. 過(guò) d作 aq

13、 ae ， ag cf ，由svadesy abcd=2= sv dfc，可得：aegpq=2aegpq ，由 ae=fc ；2可得 dq=dg ，可得 dpa dpc（角平分線逆定理） ；經(jīng)典難題（五）1. （1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn) bpc 600 ，可得 pbe 為等邊三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef要使最小只要ap ， pe， ef 在一條直線上，第 12 頁(yè) 共 17 頁(yè)即如下圖：可得最小l=；（ 2）過(guò) p 點(diǎn)作 bc的平行線交 ab,ac與點(diǎn) d，f；由于 apd> atp= adp ，推出 ad>ap又 bp+dp>bp和 pf+fc>pc又 df

14、=af由可得：最大l< 2；第 13 頁(yè) 共 17 頁(yè)由（ 1）和（ 2）既得：l 2 ；2. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) bpc 60 0 ，可得 pbe 為等邊三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef要使最小只要ap， pe， ef 在一條直線上，即如下圖：可得最小pa+pb+pc=af ；第 14 頁(yè) 共 17 頁(yè)既 得 af= 1 + 3 + 12=2 +3 =4 + 2342223 + 1=22 3 + 126 +2=；23. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) abp900 ，可得如下圖：第 15 頁(yè) 共 17 頁(yè)既得正方形邊長(zhǎng)l =2 +2 2 + 2 2 ga=5 +2 2 ga；224. 在 ab上找一點(diǎn) f，使 bcf=60 0