地理空間的數(shù)學(xué)定義及定位型地圖符號的制約因素分析(1)的論文

1、地理空間的數(shù)學(xué)定義及定位型地圖符號的 制約因素分析(1)的論文【摘 要】在地心坐標(biāo)系中定義地球橢球面的基礎(chǔ)上，給出了地理 空間的數(shù)學(xué)定義。根據(jù)拓?fù)鋵W(xué)中的同胚映射，覆蓋空間等理論，推 導(dǎo)了制圖區(qū)域、地圖投影、制圖物體及其在橢球面和地圖平面上的 定位等概念，通過對地圖符號平面定位的單一性與其對應(yīng)的制圖物 體性質(zhì)多樣性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制圖目的的不 同而分別表示多種事物的性質(zhì)或量值的基本原理，闡釋了對同一制 圖區(qū)域進(jìn)行多專題制圖的客觀條件和物理基礎(chǔ)。【關(guān)鍵詞】 地心坐標(biāo)系 地球橢球 地理空間 制圖區(qū)域 制圖物體 地圖符號地理系統(tǒng)研究人類賴以生存與生活和影響所及的整個自然環(huán)境與社會經(jīng)濟(jì)

2、環(huán)境1。人類為了生存和發(fā)展的需要，必須以各種技術(shù) 手段，采集和獲取地理空間的相關(guān)信息。現(xiàn)代測繪學(xué)，是信息科學(xué) 的一個分支，是獲得物體的空間位置和屬性信息2。地圖作為空間 信息的一種載體，它通過人們創(chuàng)設(shè)的地圖符號集合，能把制圖區(qū)域 內(nèi)復(fù)雜的空間存在壓縮為二維的簡單關(guān)系，從而使廣域空間內(nèi)的自 然現(xiàn)象和社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的空間分布、地理特征和相互關(guān)系躍然紙±o二維地圖是人類認(rèn)識上的飛躍，是人類原始思維向抽象化發(fā)展 的結(jié)果3。地圖總涉及到地理空間、制圖區(qū)域和制圖物體等基本概 念。在現(xiàn)行的大中專教材及有關(guān)地圖學(xué)文獻(xiàn)中，尚未見這些基本概 念的數(shù)學(xué)定義，因而不能從理論的高度對其概括和闡釋。com本文 是

3、筆者對地理空間、制圖區(qū)域、制圖物體數(shù)學(xué)定義的研究及其關(guān)聯(lián) 的地圖符號的數(shù)學(xué)分析。1地理空間事物的橢球面定位1.1地心坐標(biāo)系以地球質(zhì)心為大地坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系，即地心坐標(biāo)系。這種坐 標(biāo)系統(tǒng)是闡明地球上各種地理和物理現(xiàn)象，特別是空間物體運(yùn)動的 本始參考系。但長期以來，由于人類不能精確確定地心的位置，因 而較少使用。目前利用空間技術(shù)等手段，已可在cm量級上確定它 的位置，因此采用地心坐標(biāo)系在當(dāng)今既有必要性也有了可能性?，F(xiàn) 在利用空間技術(shù)得到的定位和影像等成果，客觀上都是以地心坐標(biāo) 系為參照系4。使用地心坐標(biāo)系，在國際上已成為一種明顯的趨 勢。地球空間事物的定位，涉及地球的形狀和一定的坐標(biāo)系。全球內(nèi)，可

4、用地心大地坐標(biāo)系和地心笛卡爾坐標(biāo)系表示點(diǎn)的空間位 置。1.1.1地球橢球大地水準(zhǔn)面包圍的地球形體比較接近真實(shí)的地球形狀，但仍是 一個有100m起伏幅度的復(fù)雜曲面，不能用簡單的數(shù)學(xué)方程表示， 更難以在此面上進(jìn)行簡單而又精密的坐標(biāo)和幾何計算5。為此，測 繪科學(xué)中常以一個接近地球整體形狀的旋轉(zhuǎn)橢球代替真實(shí)的地球形 體，這個旋轉(zhuǎn)橢球稱為參考橢球。在現(xiàn)代大地測量中，規(guī)定參考橢球是等位橢球或水準(zhǔn)橢球，即參考橢球與正常橢球一致。一個等位旋轉(zhuǎn)橢球由四個常數(shù)定義，這四個常數(shù)常是赤道半徑a,地心引力常數(shù)gm,動力形狀因子j2,旋轉(zhuǎn)速度3?？紤]到便于利用gps與 國際兼容，我國建議采用參考橢球：a=6378137m

5、 ； f=l : 298.257222101； gm=3986004.418x ； 3 =7292115 x。根據(jù)這四個常 數(shù)，可以得出一系列導(dǎo)出常數(shù)6。根據(jù)地球的扁率f,可以求出橢 球短半徑b,從而可用數(shù)學(xué)方程表示一個已知長半徑a和短半徑b 的橢球。1.1.2地心大地坐標(biāo)系dl地心大地坐標(biāo)系是使地球質(zhì)心作橢球中心，以過所求點(diǎn)c的橢球面法線與赤道面的夾角為緯度，以過c點(diǎn)的子午面與初始子午 面的二面角入為經(jīng)度，以c點(diǎn)沿法線到橢球面的距離為大地高h(yuǎn), 用c點(diǎn)的三個分量4).入、h表示其空間位置。地心大地坐標(biāo)也即 三維地理坐標(biāo)系，記作dlo對于任何地球空間點(diǎn)c,總存在c=(4)、入、h) edl|&

6、lt;l)0o ±90° ,入 e0° ±180° , he. h+h。已知地球橢球的長半徑a和短半徑b,可定義橢球面。定義1地球橢球面對cw ( 4>、入、h) edl,存在cl=(0°，入，o) , c2 = (0°，入，o) , c3 = (90° , x , o), c4= (-90°，入，o) adi (cl, c2) /2=aad2 (c3, c4) /2=b,若 點(diǎn)集滿足：s=c|c= (、入、h) wdl, 4>w0° ±90° ,入 g0

7、6; 土180° , h=0(1)則稱s為以a為長半徑，b為短半徑的橢球面。若a, b分別為 地球參考橢球的長、短半徑，則稱s為地球橢球面。1.1.3地心笛卡爾坐標(biāo)系dk以地心o為坐標(biāo)原點(diǎn)，選擇一個以赤道平面上一組相互垂直的直線為x、而以地軸為z軸，這樣的坐標(biāo)系稱地心笛卡爾坐標(biāo)系，記作dk。若以地球參考橢球的長半徑a和短半徑b作常數(shù)，則 地球橢球面也可定義。定義2 地球橢球面存在地球橢球的長半徑a和短半徑b, 若點(diǎn)集滿足：s= c|c= (x, y, z) dka =1(2)則稱s為以a為長半徑，b為短半徑的地球橢球面，其中2b即地軸兼旋轉(zhuǎn)軸7。1.2地理空間地理科學(xué)研究的對象是地球

8、的表層，具體地講，上至同溫層底 部，下到巖石圈的上部，指陸地住下56公里，海洋往下4公里。設(shè)地球表層的上限為hl,下限為h2,從而得h的定義域(適用于“地球表層”概念)為he-h2, hlo根據(jù)h的取值，以h=0的橢 球面為界面，可定義地球內(nèi)空間和外空間。定義3 地球內(nèi)空間滿足條件intk= p|p= ( 4), x , h) wdl/h2whvo(3)的點(diǎn)集，稱為地球內(nèi)空間。地球內(nèi)空間即指巖石圈頂部至地球橢球面之間部分。由橢球面 與真實(shí)地球表面之間的差異，因此存在雖在地表之上卻因其處于橢 球面內(nèi)側(cè)而屬于地球內(nèi)空間的點(diǎn)集。定義4 地球外空間滿足條件extk= p|p= (4),入，h) edl

9、/ovhwhl(4)的點(diǎn)集，稱為地球外空間。地球外空間即是地球橢球面到同溫層底部的空間。由于橢球與自然面之間的差異，同樣存在雖在地表之下卻因處于橢球面外側(cè)而屬地球外空間的點(diǎn)集。定義5地理空間 地球內(nèi)空間entk>地球橢球面s和地球外空間entk的并集，稱為地理空間，即k=entk usu extk|entk.s, extkedl(5)由于地理空間的上下限hl和412的選擇與地球表層概念相適 應(yīng)，因此，地理空間的定義也就是地球表層的數(shù)學(xué)表述。2制圖區(qū)域和制圖物體2.1同胚定義6 同胚設(shè)x和y是兩個隨意的拓?fù)淇臻g，并設(shè)f： x->yo如果f是連續(xù)的雙一一函數(shù)，并且它的反函數(shù)f也是連續(xù)的

10、， 那么，f就叫做空間x到空間y上的同胚或拓?fù)溆成浠蛲負(fù)渥儞Q； 此時空間x與空間y叫做同胚的，記作xyo如果f是空間x到空間y上的一個同胚，ax,并且b=f (a), 則稱點(diǎn)集a與點(diǎn)集b是同胚的，記作ab；此時又稱點(diǎn)集b是點(diǎn)集 a在同胚f之下的同胚象或拓?fù)湎?。如果f是空間x到空間y上的一 個同胚，g是空間y到空間z上的一個同胚，則復(fù)合函數(shù)gf是x到 z上的一個同胚。空間的同胚關(guān)系是一個等價關(guān)系5。地貌等高 線圖形，也就是其上覆地貌的同胚象6。2.2覆蓋空間定義7 覆蓋空間 設(shè)e和b是連通且局部道路連通的拓?fù)淇?間，f： e->b是連續(xù)滿射，如果對于每個ceb,存在c的道路連 通開域u,使

11、得f把f j (u)的每個通路連通分支同胚地映射成 u,則稱(e, f )是b的覆蓋空間，這種u稱為容許鄰域，b稱為 底空間，f稱為覆蓋投影10, llo2.3制圖區(qū)域和制圖物體2.3.1橢球面上點(diǎn)c與過c點(diǎn)的橢球面法線he的雙一一函數(shù)關(guān) 系設(shè)c為橢球面s上的任意點(diǎn)，ces,過c點(diǎn)能且僅能作一條法線he指向地理空間k。由于大地高h(yuǎn)以橢球面為起算面，故地球 外空間 extk= h c|0v h cw h 1,地球內(nèi)空間 intk= hc|-h2wh c<0 o顯然，地球空間的橢球面法線he與橢球面上的投影點(diǎn)c是雙一一函數(shù)。現(xiàn)把覆蓋空間定義應(yīng)用于地球外空間extk與地球橢球面s：令覆蓋定義中的e=extk, b=s, f是連續(xù)滿射，cs, |f -1 (c) =hcextk,這里s是底空間，(f, extk)是s的覆蓋空間，f為覆蓋投影，c是he在f下的同胚象或拓?fù)湎?。同理可說明地球 內(nèi)空間與地球橢球面的關(guān)系。2.3.2制圖區(qū)域和制圖物體的橢球面定位定義8 制圖區(qū)域設(shè)a為s的子集，as,如果a是s中一個連通的開集，那末，a就叫做s中的一個區(qū)域。點(diǎn)ca, c的鄰域u的原象f -1 (u) ef -1 (a)被作為制圖對象時，則稱f -1 (u)為 制圖物體。f1 (a)在橢球面上的投影