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1、1 大題精做 12 函數(shù)與導(dǎo)數(shù):存在、恒成立與最值問題已知函數(shù)elnxfxxaxx (1)若ea,求 fx 的單調(diào)區(qū)間;(2)當0a時,記fx 的最小值為m,求證1m【答案】(1)函數(shù)fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1 ,單調(diào)遞增區(qū)間為1,; (2)見解析【解析】(1)當ea時,ee lnxfxxxx , fx 的定義域是0,,111 ee1eexxxfxxxxx,當 01x時,0fx;當1x時,0fx所以函數(shù)fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1 ,單調(diào)遞增區(qū)間為1,(2)證明:由( 1)得 fx 的定義域是0,,1exxfxxax,令exg xxa ,則1 e0 xgxx, g x 在0,上單調(diào)遞增,因為
2、0a,所以00ga,e0agaaaaa,故存在00,xa ,使得000e0 xg xxa當00,xx時,0g x,1e0 xxfxxax, fx 單調(diào)遞減;當0,xx時,0g x,1e0 xxfxxax, fx 單調(diào)遞增;故0 xx時, fx 取得最小值,即00000elnxmfxxaxx,由00e0 xxa,得0000enlnelxxmxaxaaa ,令0 xa,lnh xxxx ,則11lnlnhxxx ,當0,1x時,ln0hxx,lnh xxxx 單調(diào)遞增,當1,x時,ln0hxx,lnh xxxx 單調(diào)遞減,故1x,即1a時,lnh xxxx 取最大值1,1m1已知函數(shù)e1xfxax
3、2 (1)討論函數(shù)fx 的單調(diào)性;(2)當 fx 有最小值,且最小值不小于221aa時,求a的取值范圍2設(shè)函數(shù)1exfxxm, mr (1) 當1m時,求fx 的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:當0,x時,1len2xxx3 3已知函數(shù)lnxfxbx,函數(shù)22g xxfxx (1)求函 數(shù) fx 的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)1x,212xxx是函數(shù) g x 的兩個極值點,若13 33b,求12g xg x的最小值1 【答案】(1)見解析;(2) 0,1 【解析】(1)exfxa,4 當0a時,e0 xfxa,所以函數(shù)fx 在r上單調(diào)遞增;當0a時,令0fx,解得lnxa ,當,lnxa 時,0fx,故函數(shù)fx
4、在,ln a 上單調(diào)遞減;當ln,xa時,0fx,故函數(shù)fx 在 ln,a上單調(diào)遞增(2)由( 1)知,當0a時,函數(shù)fx 在r上單調(diào)遞增,沒有最小值,故0a2minlnln121fxfaaaaaa,整理得2ln220aaaa,即 ln220aa令ln22(0)g aaaa,易知 g a 在0,上單調(diào)遞增,且10g;所以 ln220aa的解集為0,1 ,所以0,1a2 【答案】(1)見解析;(2)見解析【解析】(1)當1m時,1exfxx,1exfx,令1e0 xfx,則0 x當0 x時,0fx;當0 x時,0fx,函數(shù)fx 的單調(diào)遞增區(qū)間是,0 ;單調(diào)遞減區(qū)間是0,(2)由( 1)知,當1m
5、時,max00fxf,當0,x時,1e0 xx,即 e1xx,當0,x時,要證1len2xxx,只需證2ee1xxx,令2ee1e1exxxxfxxx,22eln1e12eeeeee2xxxxxxxxxfxx,由 e1xx,可得2e12xx,則0,x時,0fx恒成立,即f x 在 0,上單調(diào)遞增,00fxf即2ee1xxx,1len2xxx3 【答案】(1)函數(shù) fx 的增區(qū)間為0,e ; fx 的減區(qū)間為e,; (2)143ln1224【解析】(1)由題意知,fx 的定義域為0,21lnxfxx,當0fx時,解得ex;當0fx時, 0ex5 所以函數(shù)fx 的增區(qū)間為0,e ; fx 的減區(qū)間
6、為e,(2)因為222ln2g xxfxxxxbx ,從而21414xbxgxxbxx,令0gx,得2410 xbx,由于2169161603 b,設(shè)方程兩根分別為1x,2x,由韋達定理可知,124bxx,1214x x,2212111222ln2ln2g xg xxxbxxxbx22112122ln2xxxb xxx2211212122ln24xxxxxxxx2211211221222111lnln22xxxxxxxx xxxx,設(shè)12xtx,則1211ln2g xg xh tttt,因為120 xx,所以120,1xtx,又13 33b,所以1213 3412bxx,所以221212121116924448xxxxtx xt,整理得212145120tt,解得
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