高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題提分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：存在恒成立與最值問題理

1、1 大題精做 12 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：存在、恒成立與最值問題已知函數(shù)elnxfxxaxx （1）若ea，求 fx 的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)0a時，記fx 的最小值為m，求證1m【答案】（1）函數(shù)fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1 ，單調(diào)遞增區(qū)間為1,； （2）見解析【解析】（1）當(dāng)ea時，ee lnxfxxxx ， fx 的定義域是0,，111 ee1eexxxfxxxxx，當(dāng) 01x時，0fx；當(dāng)1x時，0fx所以函數(shù)fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1 ，單調(diào)遞增區(qū)間為1,（2）證明：由（ 1）得 fx 的定義域是0,，1exxfxxax，令exg xxa ，則1 e0 xgxx， g x 在0,上單調(diào)遞增，因為

2、0a，所以00ga，e0agaaaaa，故存在00,xa ，使得000e0 xg xxa當(dāng)00,xx時，0g x，1e0 xxfxxax， fx 單調(diào)遞減；當(dāng)0,xx時，0g x，1e0 xxfxxax， fx 單調(diào)遞增；故0 xx時， fx 取得最小值，即00000elnxmfxxaxx，由00e0 xxa，得0000enlnelxxmxaxaaa ，令0 xa，lnh xxxx ，則11lnlnhxxx ，當(dāng)0,1x時，ln0hxx，lnh xxxx 單調(diào)遞增，當(dāng)1,x時，ln0hxx，lnh xxxx 單調(diào)遞減，故1x，即1a時，lnh xxxx 取最大值1，1m1已知函數(shù)e1xfxax

3、2 （1）討論函數(shù)fx 的單調(diào)性；（2）當(dāng) fx 有最小值，且最小值不小于221aa時，求a的取值范圍2設(shè)函數(shù)1exfxxm， mr （1） 當(dāng)1m時，求fx 的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當(dāng)0,x時，1len2xxx3 3已知函數(shù)lnxfxbx，函數(shù)22g xxfxx （1）求函 數(shù) fx 的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)1x，212xxx是函數(shù) g x 的兩個極值點，若13 33b，求12g xg x的最小值1 【答案】（1）見解析；（2） 0,1 【解析】（1）exfxa，4 當(dāng)0a時，e0 xfxa，所以函數(shù)fx 在r上單調(diào)遞增；當(dāng)0a時，令0fx，解得lnxa ，當(dāng),lnxa 時，0fx，故函數(shù)fx

4、在,ln a 上單調(diào)遞減；當(dāng)ln,xa時，0fx，故函數(shù)fx 在 ln,a上單調(diào)遞增（2）由（ 1）知，當(dāng)0a時，函數(shù)fx 在r上單調(diào)遞增，沒有最小值，故0a2minlnln121fxfaaaaaa，整理得2ln220aaaa，即 ln220aa令ln22(0)g aaaa，易知 g a 在0,上單調(diào)遞增，且10g；所以 ln220aa的解集為0,1 ，所以0,1a2 【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）當(dāng)1m時，1exfxx，1exfx，令1e0 xfx，則0 x當(dāng)0 x時，0fx；當(dāng)0 x時，0fx，函數(shù)fx 的單調(diào)遞增區(qū)間是,0 ；單調(diào)遞減區(qū)間是0,（2）由（ 1）知，當(dāng)1m

5、時，max00fxf，當(dāng)0,x時，1e0 xx，即 e1xx，當(dāng)0,x時，要證1len2xxx，只需證2ee1xxx，令2ee1e1exxxxfxxx，22eln1e12eeeeee2xxxxxxxxxfxx，由 e1xx，可得2e12xx，則0,x時，0fx恒成立，即f x 在 0,上單調(diào)遞增，00fxf即2ee1xxx，1len2xxx3 【答案】（1）函數(shù) fx 的增區(qū)間為0,e ； fx 的減區(qū)間為e,； （2）143ln1224【解析】（1）由題意知，fx 的定義域為0,21lnxfxx，當(dāng)0fx時，解得ex；當(dāng)0fx時， 0ex5 所以函數(shù)fx 的增區(qū)間為0,e ； fx 的減區(qū)間

6、為e,（2）因為222ln2g xxfxxxxbx ，從而21414xbxgxxbxx，令0gx，得2410 xbx，由于2169161603 b，設(shè)方程兩根分別為1x，2x，由韋達(dá)定理可知，124bxx，1214x x，2212111222ln2ln2g xg xxxbxxxbx22112122ln2xxxb xxx2211212122ln24xxxxxxxx2211211221222111lnln22xxxxxxxx xxxx，設(shè)12xtx，則1211ln2g xg xh tttt，因為120 xx，所以120,1xtx，又13 33b，所以1213 3412bxx，所以221212121116924448xxxxtx xt，整理得212145120tt，解得