第六章 參數(shù)估計(jì)

1、第六章 參數(shù)估計(jì)1、 證明在樣本的一切線性組合中，是總體期望值的無(wú)偏估計(jì)證：設(shè)是來(lái)自總體的樣本，為的線性組合設(shè)總體的期望值為，方差為，則所以是的無(wú)偏估計(jì)2、 設(shè)總體服從參數(shù)為的普阿松分布，求的矩估計(jì)量解：，則 設(shè)為取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為，方差為，由 有 ，即或 有 ，即所以的矩估計(jì)量為或3、 設(shè)總體的密度函數(shù)為： 試求的極大似然估計(jì)解：設(shè)是樣本的觀測(cè)值，取自總體，則參數(shù)的似然函數(shù)為：對(duì)數(shù)似然函數(shù)為似然方程為解得4、 設(shè),為的樣本，試驗(yàn)證：，都是的無(wú)偏估計(jì)量，并指出其中哪個(gè)是較好的估計(jì)量解：，則說(shuō)明，都是的無(wú)偏估計(jì)量說(shuō)明是較好的估計(jì)量5、 已知燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)，抽出25個(gè)燈泡檢驗(yàn)

2、得平均壽命小時(shí)，試以95%的可靠性對(duì)燈泡的平均壽命進(jìn)行區(qū)間估計(jì)解：設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布已知，查表可得，于是燈泡的平均壽命的95%的置信區(qū)間為，即6、 設(shè)為取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，證明階樣本原點(diǎn)矩是總體階原點(diǎn)矩的無(wú)偏估計(jì)量證：記總體的階原點(diǎn)矩對(duì)樣本來(lái)說(shuō)，樣本的階原點(diǎn)矩為與總體同分布，則 于是故階樣本原點(diǎn)矩是總體階原點(diǎn)矩的無(wú)偏估計(jì)量7、設(shè)總體服從正態(tài)分布，是從此總體中抽取的一個(gè)子樣，試驗(yàn)證下面三個(gè)估計(jì)量：(1) (2) (3) 都是的無(wú)偏估計(jì)量，問(wèn)哪個(gè)估計(jì)更有效？解：，則，說(shuō)明，都是的無(wú)偏估計(jì)量說(shuō)明估計(jì)更有效8、 從生產(chǎn)出的一大堆鋼球中隨機(jī)抽出9個(gè)，測(cè)量它們的直徑（單位：mm），并求得其樣本均值

3、，樣本方差試求總體均值的置信度為95%的置信區(qū)間（假設(shè)鋼球的直徑）解：鋼球的直徑，其中未知已知，查分布表可得，于是總體均值的95%的置信區(qū)間為，即9、 為了解燈泡使用時(shí)數(shù)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差，測(cè)量10個(gè)燈泡，得小時(shí)，小時(shí)，如果已知燈泡的使用時(shí)數(shù)服從正態(tài)分布，求和的95%的置信區(qū)間解：燈泡時(shí)數(shù)服從正態(tài)分布，未知已知，查分布表可得，于是的95%的置信區(qū)間為，即；的95%的置信區(qū)間由，查分布表，有 則的95%的置信區(qū)間即為10 設(shè)總體，如果已知，問(wèn)樣本容量取多大時(shí)，方能保證的95%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于？解：，查表可得，于是的95%的置信區(qū)間為，則區(qū)間的長(zhǎng)度為則 故 11、 設(shè)總體的分布列為從中抽得容量為的一個(gè)子樣，其中有個(gè)取