工程力學(xué)-07-彎曲變形

1、第七章第七章 彎曲變形彎曲變形第第7 7章章 彎曲變形彎曲變形工程問題中的彎曲變形工程問題中的彎曲變形撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-1 7-1 概概 述述 在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。常工作。一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會(huì)影響零件搖臂鉆床的搖臂或

2、車床的主軸變形過大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 橋式起重機(jī)的橫梁變形過大橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會(huì)使小車行走困難，則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。第七章第七章 彎曲變形彎曲

3、變形)(xv二、彎曲變形的基本概念二、彎曲變形的基本概念FAB)(x描述截面上任一點(diǎn)的位移描述截面上任一點(diǎn)的位移:1 1、形心軸的線位移、形心軸的線位移 撓度撓度 v2 2、截面繞形心軸的角位移、截面繞形心軸的角位移 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形AB)(xv)(xF二、彎曲變形的基本概念二、彎曲變形的基本概念F 變彎的形心軸變彎的形心軸 撓曲線撓曲線F 撓度隨坐標(biāo)變化的方程撓度隨坐標(biāo)變化的方程 撓曲線方程撓曲線方程)(xfvF 忽略剪切變形忽略剪切變形 + + 梁的轉(zhuǎn)角一般很小梁的轉(zhuǎn)角一般很小 xf(xd)dtan 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-2 7-2 梁撓曲線的近似微分方

4、程梁撓曲線的近似微分方程中性層曲率表示的彎曲變形公式中性層曲率表示的彎曲變形公式由高等數(shù)學(xué)知識(shí)由高等數(shù)學(xué)知識(shí) 232)(1)()(1xvxvx 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 EIxMxvxv 232)(1)(EIxMx)()(1（推廣到非純彎推廣到非純彎）（純彎）（純彎）EIM1第七章第七章 彎曲變形彎曲變形正負(fù)號(hào)確定正負(fù)號(hào)確定確定坐標(biāo)系確定坐標(biāo)系:v 向上為正向上為正, , 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正. .方程簡化方程簡化小變形時(shí)：小變形時(shí)：12 v EIxMxvxv 232)(1)( EIxMxv22ddxx0, 0 vM0, 0 vM第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-3 7-3 用積分法求彎曲

5、變形用積分法求彎曲變形EIvM x ( )EIvM xxC ( ) dDCxxxxMEIvdd)(F C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形邊界條件：邊界條件：梁截面的已知位移條件梁截面的已知位移條件0v00v0v 連續(xù)條件：連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件連續(xù)連續(xù): :光滑光滑: :ACDMFB右左vv右左$ 撓曲線在撓曲線在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑點(diǎn)連續(xù)且光滑第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 可動(dòng)鉸可動(dòng)鉸: :自由端：自由端：無位移邊界條件無位移邊界條件固定端固定端: : 連

6、續(xù)條件：連續(xù)條件：邊界條件：邊界條件：ABCDFE 例例1：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件0, 0AAv0Cv右左右左CCCCww0, 0右左右左右左EEEEBBwwww,第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例2 2：已知梁的抗彎剛度為：已知梁的抗彎剛度為 EI。試求圖示簡支梁在均布載荷。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定 max 和和 vmax。ABq第七章第七章 彎曲變形彎曲變形ABq解：解：M xqlxqx( ) 222EIvqlxqx 222EIvqlxqxC 4623EIvql

7、xqxCxD122434由邊界條件：由邊界條件：000vlxvx時(shí)，時(shí)，得：得：CqlD 3240,第七章第七章 彎曲變形彎曲變形ABq梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：qEIlxxl2464233()vqxEIlxxl242233()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABqlEI324vvqlEIxlmax 245384第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例3：已知梁的抗彎剛度為：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力。試求圖示懸臂梁在集中力 P 作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定 max 和和

8、 vmax。ABP解：解：)()(xlPxM)(xlPvEI CplxxPvEI22DCxxPlxPEIv2326由邊界條件：由邊界條件：0, 00vvx時(shí)，得：得：CD 0第七章第七章 彎曲變形彎曲變形ABP梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：)2(2lxEIPx)3(62lxEIPxv最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIPlB22maxEIPlvvB33max第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例4：已知梁的抗彎剛度為：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在集中力。試求圖示簡支梁在集中力 P 作用作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定下的轉(zhuǎn)角方程

9、、撓曲線方程，并確定 max 和和 vmax。ABP2l2lC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形解：解：AC段段:ABP2l2lCxPxM2)(xPvEI2 CxPvEI24DCxxPEIv312由對稱條件：由對稱條件：由邊界條件：由邊界條件：00vx時(shí)，得：得：0D02vlx時(shí)，得：得：162PlC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形ABP2l2lCAC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：)4(1622lxEIP)34(4822lxEIPxv最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIPlBA162maxEIPlvvlx4832max第七章第七章 彎曲變形彎

10、曲變形畫撓曲線的大致形狀畫撓曲線的大致形狀a2qaADaaqBC43qa+_4qaQ42qa+322qaM432qa EIxMxv22ddF 根據(jù)彎矩圖定凹凸性，根據(jù)彎矩圖定凹凸性，F(xiàn) 彎矩圖過零點(diǎn)處為拐點(diǎn)，彎矩圖過零點(diǎn)處為拐點(diǎn)，F(xiàn) 支座限定支座處的位移。支座限定支座處的位移。凹凹凸凸凹凹直線直線大致形狀大致形狀第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-4 7-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形一、用疊加法計(jì)算梁的變形一、用疊加法計(jì)算梁的變形 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在是各自獨(dú)立的

11、，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。的變形，然后疊加。 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。所引起的變形成線性關(guān)系。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形ABqMPC2l2lvC、 A、 B 。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形PABC2l2lABqCABMCEIPlvCP483EIqlvCq38454EImlvCM162)16384548(243EImlEIqlEIPlvvvvCMCqCPC第七章第七章

12、彎曲變形彎曲變形PABC2l2lABqCABMCEIPlAP162EIqlAq243EImlAM3AMAqAPA第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例6：若圖示梁：若圖示梁B 端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角 B=0，則力偶矩，則力偶矩 M 等于多少？等于多少？PMABCMABCPABC解：解：0222EIaMEIPaBMBPB4PaM 第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例7: 7: 求圖示外伸梁求圖示外伸梁 C 點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。僅考慮僅考慮BC段變形段變形( (剛化剛化AB, ,可視可視BC為懸臂梁為懸臂梁) )lAaqBC靜定梁或剛架的任一橫靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各截面的總位移，

13、等于各梁段單獨(dú)變形梁段單獨(dú)變形 (其余梁段其余梁段剛化剛化)在該截面引起的位在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和移的代數(shù)和或矢量和lAaBCq)(6)(83141EIqlEIqlvCC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形lAaqBClAaBCq僅考慮僅考慮AB段變形段變形( (剛化剛化BC) )lAaBCqaqa2/2)(6)(83141EIqlEIqlvCC)(622EIlqaBC21CCCavvBCC1第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例8：已知：已知 E 為為常數(shù)，常數(shù)，I2=2I1，求求 WC， C。2I1IFABC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形2I1IFABC剛化剛化AB段：段：ABCF僅考慮

14、僅考慮 BC 段變形：段變形：)(3)(2131121EIFavEIFaCC剛化剛化BC段：段：BFFaM F僅考慮僅考慮 AB 段變形：段變形：)(232222222EIFaEIFaEIFaBMBFB)(6523232323EIFaEIFaEIFavvvBMBFB第七章第七章 彎曲變形彎曲變形2I1IFABCABCF)(3)(2131121EIFavEIFaCCBFFaM F)(232222222EIFaEIFaEIFaBMBFB)(6523232323EIFaEIFaEIFavvvBMBFB)(4512EIFaCBC)(2131EIFaavvBCC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形2I1IFA

15、BC1IEFABCEFABCEFABC對稱性在變形分析中的應(yīng)用對稱性在變形分析中的應(yīng)用CwF/22I1ICFB例例9：已知：已知 E 為為常數(shù)，常數(shù)，I2=2I1，求求 WC， B。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例10：利用對稱性求下面梁中點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角：利用對稱性求下面梁中點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角 反對稱反對稱, 撓度為撓度為0(彎矩為彎矩為0, 拐點(diǎn)拐點(diǎn))對稱對稱, 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為0qAaCBaBAaCaq/2AaCaq/2)(384)2)(2(541EIaqvC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形反對稱反對稱, 撓度為撓度為0(彎矩為彎矩為0, 拐點(diǎn)拐點(diǎn))AaCaq/2aCq/2 EIqaEIqaC4824

16、21332)(483)2()1(EIqaCCC)(4853)2()1(EIqavvvCCC第七章第七章 彎曲變形彎曲變形二、梁的剛度計(jì)算二、梁的剛度計(jì)算剛度條件：剛度條件：vvmaxmax v、 是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。常工作時(shí)的要求。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形CL9TU40例例11：圖示工字鋼梁，：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁的剛度試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷條件，確定梁的許可載荷 P，并校核強(qiáng)度。，并

17、校核強(qiáng)度。PABC2l2l第七章第七章 彎曲變形彎曲變形解：由剛度條件解：由剛度條件:vPlEIvlmax 348500kN11. 7500482lEIPkN11. 7PMPa604maxmaxzzWPlWM因此滿足強(qiáng)度要求因此滿足強(qiáng)度要求第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-5 7-5 用變形比較法解靜不定梁用變形比較法解靜不定梁( )q xM( )q xF靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 凡是多余維持平衡所必須的約束凡是多余維持平衡所必須的約束 與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩 支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)靜不定度多余約束數(shù)靜

18、不定度多余約束數(shù)5-3=2 5-3=2 度靜不定度靜不定6-36-3 = = 3 3 度靜不定度靜不定第七章第七章 彎曲變形彎曲變形相當(dāng)系統(tǒng)：相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不受力與原靜不定梁相同的靜定梁，定梁相同的靜定梁，相當(dāng)相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的。系統(tǒng)的選擇不是唯一的。相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)1 1相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)2 2相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)qABAFBqABABMA第七章第七章 彎曲變形彎曲變形總結(jié)：分析方法與分析步驟總結(jié)：分析方法與分析步驟1 1、 判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；2 2 、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；3 3 、列出多余約束處的變形

19、協(xié)調(diào)條件、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件( (位移邊界條件位移邊界條件) )； 4 4、 結(jié)合平衡方程，求多余支反力。結(jié)合平衡方程，求多余支反力。解除多余約束，代之以支反力；解除多余約束，代之以支反力；分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿足位移邊界條件分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿足位移邊界條件F 靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來最簡單的一種。靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來最簡單的一種。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形AB靜定基靜定基: :相當(dāng)系統(tǒng)：相當(dāng)系統(tǒng)：AB靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選取：靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選?。簈ABFBqABABMA第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例12：求圖示梁的支反力

20、。：求圖示梁的支反力。qABFBqAB解：解：1.解除多余約束，解除多余約束， 建立相當(dāng)系統(tǒng)。建立相當(dāng)系統(tǒng)。2. 建立變形協(xié)調(diào)條件建立變形協(xié)調(diào)條件0Bv3. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解08343EIqlEIlFvvvBBFBqBqlFB83第七章第七章 彎曲變形彎曲變形qAB解解2：1.解除多余約束，解除多余約束， 建立相當(dāng)系統(tǒng)。建立相當(dāng)系統(tǒng)。2. 建立變形協(xié)調(diào)條件建立變形協(xié)調(diào)條件0A3. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解02433EIqlEIlMAAMAqA281qlMAABMA第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例13：為了提高懸臂梁：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。加固。設(shè)二梁設(shè)二

21、梁EI相同，試求：相同，試求： (1) 二梁接觸處的壓力；二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值；梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后加固前后B點(diǎn)撓度的比值。點(diǎn)撓度的比值。第七章第七章 彎曲變形彎曲變形解：解：(1)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件PFD45)()(CDDABDvvEIaFEIaFEIPaDD3365333第七章第七章 彎曲變形彎曲變形解：解：(2) 加固前后加固前后AB梁的最大彎矩梁的最大彎矩PFD45MxPa2MxPaPa4322max2max1PaPaMM第七章第七章 彎曲變形彎曲變形解：解：(3) 加固前后加固前后B點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度PFD45EIPaEIa

22、PvB383)2(331EIPaEIaPaEIaFEIaFvvvDDBFBPB24393)2(233323222396421BBvv第七章第七章 彎曲變形彎曲變形,0BBw 00,BBw ABAB00存在裝配誤差的靜不定問題分析存在裝配誤差的靜不定問題分析第七章第七章 彎曲變形彎曲變形例例: : 直徑為直徑為d 的圓截面梁的圓截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 ， maxmax=?=?Mx26EIl 26EIl ABABBFBM解：解：BBv, 0EIlFEIlMvEIlFEIlMBBBBBB3202322236,12lEIMlEIFBB22maxmax326ldEIdlEIWMz第七章第七章 彎曲變形彎曲變形7-6 7-6 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施依據(jù)依據(jù) 對比強(qiáng)度問題對比強(qiáng)度問題 或或dxEIxMv)(IMyWM讓材料遠(yuǎn)離截面中性軸，例如例如工字形與盒形薄壁截面讓