2019年全國III卷文科數(shù)學(xué)高考真題

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項:1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 .已知集合A 1,0,1,2,B x x21,則AIA.1,0,1B.0,1C.1,1D.0,1,22 .若 z(1 i) 2i則z=A. 1 iB.1+iC.D.

2、1+i3.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是1B. 一41C. 一3D.4.西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有 90位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85 .函數(shù)f(x) 2sinx sin2x在0, 2nt的零點(diǎn)個數(shù)為A. 2B. 3C. 4D. 56 .已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的

3、前4項和為15,且a5=3a3+4a1，則a3=A. 16B. 8C, 4D, 2x7 .已知曲線y ae xln x在點(diǎn)(1, ae)處的切線萬程為 y=2x+b,則A. a=e, b= TB, a=e, b=1C, a=e 1, b=1D, a=e 1, b 18 .如圖，點(diǎn) N為正方形ABCD的中心， ECD為正三角形，平面 ECD，平面ABCD , M是線段ED的中 點(diǎn)，則B . BM車N ,且直線 BM , EN是相交直線C. BM=EN,且直線 BM, EN是異面直線D . BM在N ,且直線BM, EN是異面直線9 .執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為0.01 ,則輸出S的值等于&

4、#163;1x77C. 2A. 2124B. 2125126D. 21272210 .已知F是雙曲線C： 451的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP = OF則 AOPF的面積為A.B.7C. 一2D.11 .記不等式組 x y 6,表示的平面區(qū)域為d.命題p：(x, y) D,2x y 2x y 0q: (x, y) D,2 x y 12 .下面給出了四個命題q這四個命題中，所有真命題的編號是A.B.C.D.12 .設(shè)f X是定義域為R的偶函數(shù)，且在0,單調(diào)遞減，則32A. f (Iog31) > f (2 2) > f (23)423B . f dog3-) >

5、f (23)>f (22)432C. f ( 2 2) > f ( 2 3) > f (logsl) 423D. f (2 3) > f ( 2 2) > f (log3工)4二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。a, b13 .已知向量 a (2,2), b ( 8,6),則 cos14 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a3 5,a7 13,則S102215. 設(shè)Fi, F2為橢圓C: +L 1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若AMFiF2為等腰三角形， 36 20則M的坐標(biāo)為.16. 學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用 3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該

6、模型為長方體ABCD ABCiDi挖去四棱車B O-EFGH后所得的幾何體，其中 O為長方體的中心，E, F, G, H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB = BC = 6 cm , AA1 = 4 cm , 3D打印所用原料密度為 0.9 g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g.三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (12 分)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A, B兩組，每組100只，其

7、中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液. 每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾 濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別 得到如下直方圖：記C為事件：乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”，根據(jù)直方圖得到P (C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a, b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).18. (12 分)A CABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知asin bsin A.2(1)求 B;(2)若 ABC為銳角三角形，且 c=1,求 ABC面積的取

8、值范圍.19. (12 分)圖1是由矩形ADEB, RtzABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中 AB=1 , BE=BF=2,/FBC=60°.將其沿AB, BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG ,如圖2.(1)證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面 ABC,平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形 ACGD的面積.FG圖1圖N20. (12 分)已知函數(shù)f(x) 2x3 ax2 2 .(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0<a<3時，記f(x)在區(qū)間0, 1的最大值為M,最小值為m,求M m的取值范圍.21. (12 分)x21已知曲線C： y= ,

9、D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B. 22(1)證明：直線AB過定點(diǎn)：(2)若以E(0, 5)為圓心的圓與直線 AB相切，且切點(diǎn)為線段 AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.2(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22 .選彳4W：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)如圖，在極坐標(biāo)系 Ox 中，A(2,0) , B(J2,/, C(V2,) , D(2,)，弧 AB , BC，CD 所在圓的圓心分別是(1,0) , (1g) , (1,),曲線M1是弧AB ,曲線M2是??？C，曲線M3是弧CD .(1)分別寫出Mi, M2, M3的

10、極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由Mi , M2 , M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP | J3,求P的極坐標(biāo).23 .選彳45 不等式選講(10分)設(shè) x, y, z R,且 x y z 1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；2221(2)若(x2)(y1)(za) 成立，證明：a 3或a 1 .2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)參考答案、選擇題9. C 10. B 11. A 12, C1 . A 2. D 3. D 4. C 5. B6. C 7. D 8. B二、填空題13.1014, 10015. (3,J15)16. 118.882三、解答題17 .解：(1)由已

11、知得 0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1 -0.05 -0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2X0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3X0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00.A C18 .解：(1)由題設(shè)及正弦定理得 sinAsin- sinBsinA.因為sinAsinB.A C0,所以sin2A C由 A B C 180 ,可得 sinAC 2BBcos,故 cos 22B 2sin2B cos.

12、一. B一 B1因為 cos 0,故 sin- -,因此 B=60°.22 2(2)由題設(shè)及(1)知 ABC的面積SAabc-3a .4由正弦定理得acsin AsinCsin 120 CsinC1由于4ABC為銳角三角形，故0 VA<90 , 0 <C<90 .由(1)知A+C=120 ,所以30 <C<90 ,故 a 2 ,2從而SA ABC因此， ABC面積的取值范圍是19 .解：(1)由已知得ADPBE, CGPBE,所以ADPCG,故AD, CG確定一個平面，從而 A, C, G, D四點(diǎn)共面.由已知得AB BE, AB BC,故AB 平面BC

13、GE .又因為AB 平面ABC,所以平面ABC 平面BCGE .(2)取CG的中點(diǎn)M,連結(jié)EM, DM.因為AB/DE, AB 平面BCGE,所以DE 平面BCGE ,故DE CG.由已知，四邊形 BCGE是菱形，且/ EBC=60°得EM CG ,故CG 平面DEM .因止匕DM CG .在 RtZXDEM 中，DE=1 , £“=73,故口“=2.所以四邊形ACGD的面積為4.注:220.解：(1) f (x) 6x 2ax 2x(3x a).令 f (x) 0,得 x=0 或 x a . 30 ;當(dāng) x0,9時，f (x) 0 .故 f(x)在30 ;當(dāng) x a,0

14、時，f (x) 0 .故 f(x)在 3若 a>0 ,則當(dāng) x (,0) U a, 時，f (x)3(,0), a,單調(diào)遞增，在 0,a單調(diào)遞減；33若a=0, f(x)在(，)單調(diào)遞增；a若 a<0 ,則當(dāng) x ， U(0,)時，f (x) 3,a ,(0,)單調(diào)遞增，在 -,0單調(diào)遞減.33a,1單調(diào)遞增，所以 f(x)在0,1 3(2)當(dāng)0 a 3時，由(1)知，f(x)在0,-單調(diào)遞減，在33的最小值為f a 2,最大值為f (0)=2或f (1)=4 a.于是32723a _m 2 , M274 a,0 a 2,2,2 a 3.所以M m3一 a 一 一2 a ,0 a

15、2,2727,2a 3.a3當(dāng)0 a 2時，可知2 a 單調(diào)遞減，所以 M m的取值范圍是27m的取值范圍是-8,1).273當(dāng)2 a 3時，a-單調(diào)遞增，所以M27綜上，M m的取值范圍是-殳，2).271221 .解：(1)設(shè) D t, - , A。y1，則 X 2y1.21 y1 由于y' x ,所以切線DA的斜率為x1,故2 x1. x1 t整理得 2 tx1 2 y+1=0.設(shè) B x2, y2 ,同理可得 2tx2 2 y2+1=0 .故直線AB的方程為2tx 2y 1 0.，1所以直線AB過定點(diǎn)(0,-).1(2)由(1)得直線AB的萬程為y tx -.21 1y tx

16、2 2由 2 2 ,可得 x2 2tx 1 0 .x是 Kx22t, Viy2 一 2,t x1x21 2t 1.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M t,t2 12uuuu 由于EMuuu uuuuAB ,而 EMuuut,t2 2, AB與向量（1, t）平行，所以t t2t 0 .解得t=0或t 1 .當(dāng)t=0時,uuur| EM |=2,所求圓的方程為x225/y -4 ;2一2uuuu51時，|EM | J2,所求圓的方程為x2 y 52.222 .解：（1）由題設(shè)可得，弧 Ab, Bc,Cd所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2 cos2sin2cos所以M i的極坐標(biāo)方程為2cos 0M2的極坐標(biāo)方程為2sinM3的極坐標(biāo)方程為2 cosP（,）,由題設(shè)及（1）-,則 2cos兀若一4型：3花 右一443冗 則4冗，則解得綜上,p的極坐標(biāo)為23 .解：（1)由于(x(x2sin2 cos.3,1) (y1)2 (y 1)273,解得或、3,31)2(z 1)花6，或35 7t6紅,3 '(z 1)2 2(x 1)(y1) (y1)(z 1) (z 1)(x1)_2223 (x 1) (y 1) (z 1),故由已知得(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 4,，一.，511當(dāng)且僅當(dāng)