工程力學(xué) 能量法

1、能量法能量法9-1 概概 述述幾何法：應(yīng) 力應(yīng) 變變 形外 力物理方程平衡方程幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程） 利用功能原理解決工程結(jié)構(gòu)位移或桿件變形等有關(guān)問(wèn)題的方法，稱為能量法。能量法出發(fā)點(diǎn)：能量守恒與轉(zhuǎn)換原理。彈性體承載時(shí)，加力點(diǎn)發(fā)生位移載荷做功，W彈性體變形儲(chǔ)存變形能（應(yīng)變能）， U略去在該過(guò)程中的微量能量損耗，則由能量守恒與轉(zhuǎn)換原理，得：外力功 = 變形能 W = U由能量的觀點(diǎn)出發(fā)建立載荷與變形間關(guān)系的方法稱為能量方法。9-2 桿件的應(yīng)變能桿件的應(yīng)變能一、軸向拉伸與壓縮應(yīng)變能一、軸向拉伸與壓縮應(yīng)變能FNABll靜載：載荷：0FN緩慢加力點(diǎn)B的位移：B= l0l緩慢o oB B l lF FN

2、 NA A變力做功：dxxFdWN)(lNdxlxFW0lFN21此處為線彈性材料lxFxFNN)(FNABll對(duì)于線彈性材料，變形能為：lFWUN21EAlFN221llEA2)(21用外力功表示用“內(nèi)力”表示用“變形”表示lxFO（1）彈性應(yīng)變只與力或位移的終值有關(guān)，與加載過(guò)程和次序無(wú)關(guān)。dwdxNFNFlFN21lNxEAdxxFU)(2)(2lxFdxdwW(l)O（2）在桿長(zhǎng)范圍內(nèi) 、A不是常數(shù)時(shí)，一般的，有：如圖：NFNFNF（3）變形能不能疊加。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看：U不是P或者l的線性函數(shù)，所以不能疊加。從力學(xué)觀點(diǎn)看：變形能不能疊加的力學(xué)本質(zhì)：一種載荷在另一種載荷引起的位移上做了功。

3、由拉壓桿件組成的桿系的變形能：niiiiNiniiiiiAELFAELPU121222P12345受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的變形能qLLNLEAdxxFdUU2)(2xdx二、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能二、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能對(duì)于線彈性材料，變形能為：PxGIdxMMdWU2110用外力功表示PxGIlM221用“內(nèi)力”表示lGIP2121用“變形”表示TOM11MxdLMx同樣，對(duì)于一般情況，有：lPxGIdxxMU)()(212VudvU21u三、彎曲應(yīng)變能三、彎曲應(yīng)變能MOM（1）純彎曲MMl對(duì)于線彈性材料，變形能為：MWU21用外力功表示lEI221用“變形”表示EIlMU221 用“內(nèi)力”表示EIMl

4、ll （2）橫力彎曲M(x)dx總變形能=剪切變形能+彎曲變形能EIdxxMdU2)(2一般情況下剪切變形能很小，可以忽略不計(jì)：U 彎曲變形能 .lEIdxxMU2)(2綜合軸向拉伸（壓縮）、扭轉(zhuǎn)、彎曲變形，一般地，有：FU21U廣義力 廣義位移U可表成F的二次函數(shù)或的二次函數(shù) ，這也揭示了應(yīng)變能不能疊加。如果構(gòu)件上有二種載荷，但其中任一種載荷在另一種載荷產(chǎn)生的位移上不做功，則這兩種載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的變形能之和等于共同作用時(shí)產(chǎn)生的變形能四、應(yīng)變能的通式四、應(yīng)變能的通式EAdxFGIdxMEIdxMdUNPx222222MdxMNFNFxMxMLNLPxLEAdxFGIdxMEIdxMU222

5、222這就是用“內(nèi)力”表示的變形能的普遍表達(dá)式（即：克拉貝依隆原理）。注意：式中M、Mx、FN為所有外力F1、F2、F3共同作用引起的內(nèi)力。如圖，無(wú)剛性位移的線彈性結(jié)構(gòu)體，承受載荷F1、F2、F3 設(shè)想采用比例加載：F1、F2、F3緩慢的按相同的比例增加，彈性體始終保持平衡，而且各外力作用點(diǎn)的位移1、2、3也將按與外力相同的比例增加。F1F3F2132332211212121FFFWU于是得到用“外力功”表示的變形能的普遍表達(dá)式：注意：式中1、2、3為所有外力F1、F2、F3共同作用引起的位移。例例1 1 求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度 C解：CFW21)20( 2)(LxxFxM2022022)2(

6、222LLEIxFEIdxMUEILF9632FEIL/2L/2UW EILFFC9621 32EIFLC48 3正號(hào)表示正號(hào)表示C 的方向與外力的方向與外力F的指向相同。的指向相同。9-3 單位力法（莫爾積分）單位力法（莫爾積分）1在原始載荷在原始載荷F1、F2、F3單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下，梁內(nèi)變形能U lZEIdxxMU22 (a) l 321FFF2EICl2EICFx LZEIdxxMU22 (b) l 321FFF2EICf2在 單獨(dú)作用下，梁內(nèi)變形能1FU (b)22dxEIxMUlZF1、F2、F3作用下：作用下： )(22cEIdxxMUlZ1U 3. 采用先加 ，然后再加然后再

7、加F1、F2、F3.的加載方式時(shí)，梁內(nèi)的變形能 1F1Ul2EI0Ml 321FFF2EICfl2EICFx轉(zhuǎn)變成變形能儲(chǔ)存于彈性體中轉(zhuǎn)變成變形能儲(chǔ)存于彈性體中，從而可求出梁內(nèi)最終所儲(chǔ)存的總變形能總變形能 1U (d)122221fEIdxxMdxEIxMfFUUULZLZFv在產(chǎn)生在產(chǎn)生 變形過(guò)程中，變形過(guò)程中， 做功：做功： F 在求在求U U之前，應(yīng)將圖六和圖七進(jìn)行比較，即可發(fā)現(xiàn)圖七實(shí)質(zhì)之前，應(yīng)將圖六和圖七進(jìn)行比較，即可發(fā)現(xiàn)圖七實(shí)質(zhì)上是圖六的計(jì)算簡(jiǎn)圖，因此，此時(shí)梁內(nèi)的變形能仍應(yīng)為：上是圖六的計(jì)算簡(jiǎn)圖，因此，此時(shí)梁內(nèi)的變形能仍應(yīng)為： lZEIdxxMU22在進(jìn)行第二步計(jì)算之前應(yīng)明確在進(jìn)行第

8、二步計(jì)算之前應(yīng)明確：彈性體內(nèi)所儲(chǔ)存的變形能只與外彈性體內(nèi)所儲(chǔ)存的變形能只與外力和位移的最終數(shù)值有關(guān)，而與加載方式無(wú)關(guān)力和位移的最終數(shù)值有關(guān)，而與加載方式無(wú)關(guān)；基于這個(gè)道理，；基于這個(gè)道理，在此分別研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情況在此分別研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情況。況下梁內(nèi)的變形能。即況下梁內(nèi)的變形能。即式。式。此時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)此時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)F F1 1、F F2 2、F F3 3對(duì)梁的作用效果并不因預(yù)先在對(duì)梁的作用效果并不因預(yù)先在C C點(diǎn)作用了點(diǎn)作用了單位載荷而有所改變，因此得出：由于單位載荷而有所改變，因此得出：由于F F1 1、F F2 2、F F3 3的作用，的作

9、用，C C點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的位移產(chǎn)生的位移 f應(yīng)等于應(yīng)等于；產(chǎn)生的變形能也應(yīng)等于圖七情產(chǎn)生的變形能也應(yīng)等于圖七情xMxM根據(jù)疊加原理根據(jù)疊加原理 4. 4. 采用將采用將 、（F F1 1、F F2 2、F F3 3）同時(shí)作用于梁上的加）同時(shí)作用于梁上的加載方式時(shí)載方式時(shí)X X截面彎矩截面彎矩: :F dxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMUlZlZlZlZ22222214.根據(jù)變形能與加載方式無(wú)關(guān)的道理得：根據(jù)變形能與加載方式無(wú)關(guān)的道理得：11UU dxEIxMxMlZ計(jì)算撓度的莫爾定理計(jì)算撓度的莫爾定理 5.推論：同樣的道理，如果我們要求截面的轉(zhuǎn)角，也只需在C截面上施加一個(gè)單位力

10、偶，用上述同樣的方法可求出： dxEIxMxMlZc計(jì)算轉(zhuǎn)角的莫爾定理計(jì)算轉(zhuǎn)角的莫爾定理三三.總結(jié)：總結(jié)：1.莫爾定理莫爾定理單位力法2.適用范圍適用范圍線彈性結(jié)構(gòu)例例1：如圖所示：簡(jiǎn)支梁AB，跨長(zhǎng)為L(zhǎng)，抗彎剛度為 ZEI。其上受均布載荷作用，載荷集度為q，試求出梁跨中點(diǎn)C的撓度 cf及端面B的轉(zhuǎn)角 B1Ul2EI0MCxl2EIC2/ 110Px2/ 1l2EI10ML/ 1L/ 1qlARxBRzEIC?Bc、解：解：一一求支反力求支反力RA，RB由對(duì)稱性：由對(duì)稱性： 2qlRRBA二二求求 c及及 B 22222qxqxlqxxRxMA xxM21020lx lxxM0ZlZLZcEIq

11、ldxEIxMxMdxEIxMxMf3845242000 ZlZLZBEIqldxEIxMxMdxEIxMxM24232000v 在材料力學(xué)中，由于每一個(gè)具體的問(wèn)題都要涉及到一定結(jié)構(gòu)在材料力學(xué)中，由于每一個(gè)具體的問(wèn)題都要涉及到一定結(jié)構(gòu)的具體圖形，因此，在接到問(wèn)題，的具體圖形，因此，在接到問(wèn)題，了解了已知條件和要求解了解了已知條件和要求解的問(wèn)的問(wèn)題之后題之后，緊接著應(yīng)該來(lái)分析圖形的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很顯然，圖十為一緊接著應(yīng)該來(lái)分析圖形的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很顯然，圖十為一對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱結(jié)構(gòu)。v 對(duì)于對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在求其某一具體物理量的數(shù)值時(shí)，只需取其，在求其某一具體物理量的數(shù)值時(shí)，只需取其一個(gè)對(duì)稱部分來(lái)進(jìn)行

12、計(jì)算，其結(jié)果再乘以對(duì)稱部分的個(gè)數(shù)即可一個(gè)對(duì)稱部分來(lái)進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果再乘以對(duì)稱部分的個(gè)數(shù)即可。如圖十，如圖十，可可沿梁沿梁中截面中截面將梁將梁分為兩個(gè)對(duì)稱部分分為兩個(gè)對(duì)稱部分，因此因此 cf及及 B可寫(xiě)成左邊的形式?？蓪?xiě)成左邊的形式。例題總結(jié)：例題總結(jié)： 1.從莫爾定理的證明過(guò)程及例題的分析過(guò)程中，可以看出莫爾從莫爾定理的證明過(guò)程及例題的分析過(guò)程中，可以看出莫爾定理實(shí)質(zhì)上就是單位載荷法。若要求某一點(diǎn)的線位移，只需在定理實(shí)質(zhì)上就是單位載荷法。若要求某一點(diǎn)的線位移，只需在該該點(diǎn)上沿著線位移的方向作用一單位集中力就行了點(diǎn)上沿著線位移的方向作用一單位集中力就行了。若要求若要求解一截解一截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角

13、，也只需在該截面上作用一單位力偶就行了也只需在該截面上作用一單位力偶就行了。2 ZcEIql38454ZBEIql243中的正負(fù)號(hào)所表示的含義：中的正負(fù)號(hào)所表示的含義： “+”表示位移的實(shí)際方向同假設(shè)的單位載荷的方向一致。表示位移的實(shí)際方向同假設(shè)的單位載荷的方向一致?！?”表示位移的實(shí)際方向同假設(shè)的單位載荷的方向相反。表示位移的實(shí)際方向同假設(shè)的單位載荷的方向相反。中的中的 v 為了區(qū)別為了區(qū)別 c及及 B xM0，在在 B中的中的 xM0改寫(xiě)改寫(xiě) xM0的形式。的形式。 成成 為了表示出這兩種含義，最后在求出的數(shù)值后面應(yīng)用符號(hào)為了表示出這兩種含義，最后在求出的數(shù)值后面應(yīng)用符號(hào)標(biāo)明實(shí)際位移方向。

14、標(biāo)明實(shí)際位移方向。注意：注意： 上述內(nèi)容為一節(jié)課（上述內(nèi)容為一節(jié)課（50分鐘）內(nèi)容。整個(gè)板面應(yīng)控制在兩個(gè)分鐘）內(nèi)容。整個(gè)板面應(yīng)控制在兩個(gè)板面左右，以提高板面左右，以提高“講講”的效果。的效果。五五.莫爾定理在平面曲桿的應(yīng)用：莫爾定理在平面曲桿的應(yīng)用： 對(duì)于橫截面高度對(duì)于橫截面高度遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑的平面曲桿遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑的平面曲桿，其彎曲正其彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計(jì)應(yīng)力分布規(guī)律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計(jì)算直梁變形的莫爾定理推廣應(yīng)用于這類曲桿算直梁變形的莫爾定理推廣應(yīng)用于這類曲桿撓度和轉(zhuǎn)角的近似撓度和轉(zhuǎn)角的近似計(jì)算公式：計(jì)算公式： ds

15、EIsMsMSZ dsEIsMsMS式中式中：S 代表曲桿軸線的弧長(zhǎng)代表曲桿軸線的弧長(zhǎng) sM 載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩 sM 單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩 （計(jì)算桁架中某一點(diǎn)位移的莫爾定理的推導(dǎo)做為課外（計(jì)算桁架中某一點(diǎn)位移的莫爾定理的推導(dǎo)做為課外作業(yè)，請(qǐng)大家課后將它推導(dǎo)出來(lái)）作業(yè)，請(qǐng)大家課后將它推導(dǎo)出來(lái)）9-4 9-4 圖形互乘法圖形互乘法梁、剛架等線性結(jié)構(gòu)，單位力法主要是計(jì)算莫爾積分：EIdxxMxM)()(對(duì)于最常見(jiàn)的均質(zhì)等直桿，EI為常數(shù)，可以提取到積分號(hào)的外面，莫爾積分變?yōu)椋篸xxMxM)()(圖乘法圖乘

16、法：將積分圖形相乘。出發(fā)點(diǎn)：直桿在單位力作用下的內(nèi)力圖必定是直線段或者折線段。dxxMxM)()(的計(jì)算轉(zhuǎn)化為考察任一梁段AB，其上由載荷引起的彎矩 可為任意圖形，而由單位力引起的彎矩 為斜直線。)(xM)(xMOxy)(xMABOxy)(xMAB建立坐標(biāo)系：以 與 x 軸的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 與 x軸的夾角為 。)(xM)(xM)( )( )( )()( )( CCClllxMtgxxtgdxxMxtgdxtgxxMdxxMxMtgxxMOOxy)(CxMABxydxMABdx)(xMxxClOxy)(CxMABOxydxMFABdx)(xMxxCldxxM)(陰影部分面積dxxMx)(陰

17、 影 部 分 面積對(duì) y 軸之矩ldxxMx)()(xM圖對(duì) y 軸之靜矩Cxtg)(xM圖上對(duì)應(yīng) xC 的值)(xM圖的面積Cx)(xM圖形心的橫坐標(biāo))(CxMCxCM)(xM圖上對(duì)應(yīng)的值，簡(jiǎn)記為CMdxxMxM)()(例例9 9 求圖示懸臂梁在自由端的撓度。BA1BlAEIF解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：（2）作載荷系統(tǒng)和單位力系統(tǒng)的彎矩圖：l3lCxFlMMlCMl3lCxFlMMlCM（3）計(jì)算 、 、 ：CMCxlFl 213lxClMC32EIFllFlEIMEIfCA3)32)(2(1132“正號(hào)”表明 的指向與單位力 的指向相同。Af1F例例10 10 求圖示外伸梁 A 截面的轉(zhuǎn)

18、角。FAEIBCal解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：1（2）作 、 圖：)(xM)(xM1l31l211231C2C3CFaFMM2CM3CM1CM281ql（3）圖乘求 ：A)321(24)3221 12121832(1) (1)()(1232332211alEIFaEIqllFaaFalqlEIMMMEIdxxMxMEICCClA1l31l21232C3CFa2CM3CM1CM11CMM281ql 與 引起的彎矩圖分開(kāi)畫(huà)，易于確定各圖形的面積和形心位置。Fq 與 在基線同一側(cè)時(shí)， 為正，在基線異側(cè)時(shí)， 為負(fù)。MMCM CM 例例11 11 求圖示簡(jiǎn)支梁 C 點(diǎn)的撓度和 A 點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。FEIl/

19、2l/2ABC1（2）作 、 圖：)(xMF)(xM解解：（1）建立求 的單位力系統(tǒng)：ACFMFl41M1CMl/2l/2（3）求 ：AEIFlMEIMFllFlCAC16)(121842122CFMFl41M1CMl/2l/21FEIl/2l/2ABC（4）建立求 的單位力系統(tǒng)并作相應(yīng)的 圖：CfM11CFMFl41Ml411CMl/2l/22CM2C2l/3l/3l/3EIFllFllEIMMEIfCCC48)64221(2)(132211圖為折線，以轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界分段進(jìn)行圖乘，然后求和。M圖乘法注意要點(diǎn)：圖乘法注意要點(diǎn)：（1）直桿方能圖乘。（2） 和 圖繪制原則為或同時(shí)畫(huà)在受拉邊，或同時(shí)畫(huà)在

20、受壓邊。MFM（3） 圖必須為一條直線，為折線時(shí)應(yīng)分段。M（4）盡量將 圖繪成面積及形心位置已知的圖形（包括不同載荷的彎矩圖分開(kāi)畫(huà)）。M（5） 與 在基線同一側(cè)時(shí)， 為正，反之為負(fù)。MMCM 9-5 互等定理互等定理以梁為例推導(dǎo)：記號(hào)：iFi：“力”的作用位置載荷：位移：ijfi：位移發(fā)生的位置j：位移發(fā)生的原因， 點(diǎn)的“力”引起的j1F1211f21f2F1212f22f現(xiàn)在梁上1、2兩點(diǎn)加載荷 、 ，采用兩種不同方式加:1F2F第一種加載方案：1、2兩點(diǎn)同時(shí)加 、1F2F由疊加原理，1點(diǎn)總的位移為：1211ff2221ff2點(diǎn)總的位移為：)(21)(21222121211111ffFffF

21、WU1211ff1F122F2221ff第二種加載方案：先加 ，然后再加1F2F121222111222121fFfFfFWU先加 ， 做功為：11121fF1F1F再加 ， 做功為：22221fF2F2F在加 的過(guò)程中 做功為： 121fF2F1F11f1F122F22f12f線彈性結(jié)構(gòu)，應(yīng)變能只與力的終值有關(guān)，與加載方式無(wú)關(guān)。21 UU即：12122211122212121112121)(21)(21fFfFfFffFffF121212 fFfF功的互等定理F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功當(dāng) F1 和 F2 在數(shù)值上相等時(shí)，由功的互等定理可得到：

22、1221ff位移互等定理第1點(diǎn)的載荷引起的第2點(diǎn)的位移在第2點(diǎn)作用同樣大小的載荷引起的第1點(diǎn)的位移注意：（1）互等定理成立的條件：（2）ijf廣義位移iF廣義力ijf線位移iF集中力iF集中力偶ijf角位移線彈性、小變形、疊加原理成立。12122F1M1221f212121fFM功互等當(dāng) M1 與 F2 數(shù)值上相等時(shí)：2112f位移互等（數(shù)值上相等）212121MM功互等當(dāng) M1 與 M2 在數(shù)值上相等時(shí)：2112位移互等（數(shù)值上相等）1M122112122M9-6 卡氏定理卡氏定理1.1.卡氏第一定理（應(yīng)變能法）卡氏第一定理（應(yīng)變能法）),(21nUUnndUdUdUdU2211當(dāng)僅 發(fā)生微

23、小增量 ，其余位移無(wú)增量時(shí)：iidiidUdU另一方面，當(dāng)僅 發(fā)生增量 時(shí)， 將做功，從而導(dǎo)致應(yīng)變能發(fā)生增量：iidiFiidPdU（常力做功）iiiidUdP iiUP 卡氏第一定理：彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)某一位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此位移相應(yīng)的外力。（1）卡氏第一定理既適用于線性彈性，也適用于非線性彈性。（2）“相應(yīng)”的意義：為集中力，則 為與之同方向的線位移。iPi為集中力偶，則 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iPiiPi與 位置相同。例例2 2 圖示結(jié)構(gòu)，AB桿與BC桿的橫截面積均為A應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：B試求AB桿和BC桿的軸力。解：節(jié)點(diǎn)B有兩個(gè)未知位移：水平位移：1垂直位移：2計(jì)算應(yīng)變能：CBAFL

24、4512B也即，將應(yīng)變能表為位移的函數(shù)：1ABl122222BClBABD1C4521BBBClDELLllBCBCBC2)(2)(2212122312300)(3232LBBdBduABABABAB2312230)2(3232LBBduBCBCBCLllABABAB1均勻變形：LALBALLBLAuALuVuVuUBCABBCBCABAB2)2(32)(32 2 2312231由卡氏第一定理：0)(22211221111LABUFPLABUF211222)(2聯(lián)立以上兩式，求解可得：2221BALF22225BALF2221BAFLAB（拉伸）2221222)(BAFLBC（壓縮）AFBABAB（拉）AFBBCBC2（壓）FAFABAB（拉）FAFBCBC2（壓）2.2.卡氏第二定理卡氏第二定理),(21nCCFFFUUnnCCCCdFPUdFPUdFPUdU2211iiCCdFPUdU當(dāng)僅有 有增量 ，其余載荷不發(fā)生變化時(shí)：iFidF（即每個(gè)載荷是獨(dú)立變化的。）另一方面，因