年上海市寶山區(qū)高考數(shù)學一模試卷和參考答案

1、公眾號：安逸數(shù)學工作室上海市寶山區(qū)2021 2021學年高三第一學期期末測試卷數(shù)學 2021.12考生留意 :1. 答卷前 , 考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準考證號填寫清晰, 并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼 .2. 本試卷共有23 道試題 , 滿分 150 分. 考試時間20 分鐘 .一. 填空題（本大題滿分54 分）本大題有14 題, 考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果 , 每個空格填對得4 分, 否就一律得零分.1. 設(shè)集合 a =2 ，3 ，4 ，12 ，b =0 ，1 ，2 ，3 , 就 a ib = .2. limn5n -7n 5n + 7n= .3. 函 數(shù) y =2 cos

2、23 p x -1 的最小正周期為 .4. 不等式 x +x +2 > 1 的解集為 .15. 如 z =- 2 +i3i （其中 i 為虛數(shù)單位） , 就 imz = .6. 如從五個數(shù)- 1 ，0 ，1 ，2 ，3 中任選一個數(shù)m , 就使得函數(shù)f x =m 2 -1x+ 1 在 r 上單調(diào)遞增的概率為 （.結(jié)果用最簡分數(shù)表示）7. 在 3 +x 2x n的二項綻開式中, 全部項的二項式系數(shù)之和為1024,就常數(shù)項的值等于 .8. 半徑為 4 的圓內(nèi)接三角形abc的面積是116, 角 a、b 、c所對應(yīng)的邊依次為a 、 b 、 c , 就abc 的值為 .9. 已知拋物線 c 的頂點

3、為坐標原點, 雙曲線x 2y 2-=1 的右焦點是 c 的焦點 f . 如斜率為 - 1, 且過 f 的直線與 c 交于 a ，b25144兩點 , 就 a b= .10. 直角坐標系xoy 內(nèi)有點的體積為 .p -2, -1 ,q0, -2 將 d poq繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周 , 就所得幾何體11. 給 出 函 數(shù)gx = - x 2+ bx ,hx = - mx 2 + x -4 ,這 里 b, m , x . r,如 不 等 式gx + b + 1 .0（ x .r ）恒成立 ,h x +4 為奇函數(shù) , 且函數(shù)f x =ì.gx , x.í t, 恰有兩個零點 , 就

4、實數(shù) t 的取值范疇為 .hx , x >t12. 如 n （ n 33 ,n. ￥*） 個 不 同 的 點 q a , b ,q a , b ,l,q a , b 滿 足 :111222nnna1 <a 2 < l< an,就 稱 點q1, q2 ,l, qn按 橫 序 排 列 . 設(shè) 四 個 實 數(shù)k ，x1 ，x2 ，x3 使 得1公眾號：安逸數(shù)學工作室2k x-x ，x 2 ，2x 2 成等差數(shù)列 , 且兩函數(shù)y = x 2 , y =1 + 3 圖象的全部交點p x，y ,3132x111p2 x2 ，y2 , p3x3 ，y3 按橫序排列 , 就實數(shù) k 的

5、值為 .二. 挑選題（本大題滿分20 分）本大題共有4 題 , 每題有且只有一個正確答案, 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上, 將代表答案的小方格涂黑, 選對得 5 分 , 否就一律得零分.13. 關(guān)于 x，y 的二元一次方程組ì. 3x.í4y =1的增廣矩陣為（）. x -3y = 10驏34- 1÷驏341÷驏341 ÷驏341 ÷a. .÷ b.÷c. .÷d.÷.桫1- 310 ÷.桫1- 3- 10÷.桫1- 310÷.桫1310÷14. 設(shè) p1

6、，p2 ，p3 ，p4 為空間中的四個不同點, 就“p1 ，p2 ，p3，p4 中有三點在同一條直線上”是“p1 ，p2 ，p3，p4 在同一個平面上”的（）a. 充分非必要條件b. 必要非充分條件c. 充要條件d. 既非充分又非必要條件15. 如函數(shù) y =f x -2 的圖象與函數(shù)y = log3x + 2的圖象關(guān)于直線y =x 對 稱 , 就f x = （）a. 32x - 2 b.32x- 1c. 32xd.32x + 116. 稱項數(shù)相同的兩個有窮數(shù)列對應(yīng)項乘積之和為這兩個數(shù)列的內(nèi)積. 設(shè) :數(shù)列甲 :x1 ，x2 ，l，x5 為遞增數(shù)列 , 且 x i. n * （ i =1 ，2

7、 ，l，5 ）; 數(shù)列乙 :y1 ，y2 ，y3 ，y4，y5 滿意y i .1,1（ i =1 ，2 ，l，5 ） .就在甲、乙的全部內(nèi)積中（）a. 當且僅當同為奇數(shù) ;b. 當且僅當同為偶數(shù) ;x1 =x1 =1，x2 =2 ，x2 =3 ，x 3 =4 ，x3 =5 ，x4 =6 ，x4 =7 ，x5 =8 ，x5 =9 時 , 存在 16 個不同的整數(shù), 它們10 時, 存在 16 個不同的整數(shù), 它們c. 不存在 16 個不同的整數(shù) , 要么同為奇數(shù), 要么同為偶數(shù);d. 存在 16 個不同的整數(shù), 要么同為奇數(shù) , 要么同為偶數(shù).三. 解答題（本大題滿分76 分）本大題共5 題,

8、解答以下各題必需在答題紙相應(yīng)的編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.（ 此題滿分 14 分）此題共有 2 個小題 , 第 1 題滿分 6 分, 第2 題滿分 8 分.如圖 , 在長方體a bcd-a1b1c 1d1 中,已知 ab= bc= 4 ,dd 1 =8 , m 為棱 c 1d1 的中點 .（1 ）求四棱錐m -abcd的體積 ;（2 ）求直線 bm 與平面bcc 1b1 所成角的正切值.2公眾號：安逸數(shù)學工作室18. （此題滿分14 分）此題共有2 個小題 , 第 1 題滿分 6 分, 第 2 題滿分 8 分已知函數(shù)f x = 1 -2 sin 2 x .2（1 ）求f x 在 輊p3p

9、上的單調(diào)遞減區(qū)間;犏，犏臌222- 1- 1（ 2 ）設(shè)d abc的內(nèi)角 a ，b ，c所對應(yīng)的邊依次為a ，b ，c , 如ca- b 且f c =1 ,2- 111求 d abc面積的最大值, 并指出此時d abc為何種類型的三角形.19. （此題滿分14 分）此題共有2 個小題 , 第 1 題滿分 6 分, 第 2 題滿分 8 分.設(shè)數(shù)列 an ， bn 及函數(shù)f x （ x .r ）,bn =f an （ n. n * ） .（1 ）如等比數(shù)列 an項和 ; 滿意 a1 =1 ，a2 = 3 ,f x =2x , 求數(shù)列 bn bn + 1 的前 n （ n. n * ）（2 ）已知等

10、差數(shù)列 an 滿意 a1 =2 ，a2 =4 ，f x =l q x +1（ l、q 均為常數(shù) , q >0 , 且q 11 ）,cn =3 + n +b1+ b2 + l+ bn （ n. n * ）. 試求實數(shù)對 l，q, 使 得 cn 成等比數(shù)列 .20. （此題滿分16 分）此題共有3 個小題 , 第 1 題滿分 4 分, 第 2 題滿分 6 分, 第 3 題滿分3公眾號：安逸數(shù)學工作室6 分.設(shè)橢圓 c :x 2y 2+=a 2b21（ a > b >0 ）過點 -2 ，0 , 且直線 x -5y + 1 =0 過 c 的左焦點 .（1 ）求 c 的方程 ;（ 2）

11、設(shè) x ，3y 為 c 上的任一點 , 記動點 x，y的軌跡為 g,g與 x 軸的負半軸 , y 軸的正半軸分別交于點g ，h, c 的短軸端點關(guān)于直線y =x 的對稱點分別為f1 ，f2 . 當點 p 在直uuuruuur線gh 上運動時 , 求 pf 1 ×pf 2 的最小值 ;（ 3 ）如圖 , 直線 l 經(jīng)過 c 的右焦點 f , 并交 c 于 a ，b兩點 , 且 a ,b 在直線x = 4 上的射影依次為 d , e . 當 l 繞 f 轉(zhuǎn)動時 , 直線 ae 與 bd 是否相交于定點.如是 , 求出定點的坐標;否就 , 請說明理由 .21. （此題滿分18 分）此題共有

12、3 個小題 , 第 1 題滿分 4 分, 第 2 題滿分 6 分, 第 3 題滿分8 分.設(shè) z .c , 且f z =ì锍z, re z0.í. - z, re z < 0（1 ）已知 2f z +f z -4z = - 2 +9i （ z . c） , 求 z 的值 ;（ 2 ）設(shè) z （ z . c）與 rez 均不為零 , 且 z 2n .1 （ n. n * ） . 如存在k0 .n * , 使 得k0 f z +10k f z . 2 , 求 證 :f z +1f z. 2 ;（ 3 ）如z1 =u （ u . c ） ,zn + 1 =f z 2+ zn

13、+ 1 （ n. n *） . 是否存在u , 使得數(shù)列nz ，z，l滿意zn + m= zn （ m 為常數(shù) , 且 m .n * ）對一切正整數(shù)n 均成立 .如存在 , 試求12出全部的 u ; 如不存在 , 請說明理由 .4公眾號：安逸數(shù)學工作室2021年寶山區(qū)高三一模數(shù)學參考答案1234562 ，3- 11-31 ，+ . 22578910111240511044p11314ca15c16d第一部分、填選其次部分、簡答題17. 解: （ 1）由于長方體a bcd-a1b1c 1d1,所以點 m 到平面abcd的距離就是dd 1=8 ,故四棱錐- 2 ，0 u 4 ，+ . m -abc

14、d的體積為v m -a bcd=1 鬃sabcddd 1=128 .33（ 2 ）（如圖）聯(lián)結(jié)bc 1 ,bm , 由于長方體a bcd-a1b 1c 1d1 , 且m. c 1d1 ,所以 mc 1 平面bcc1b1 , 故直線 bm 與平面bcc1b1所成角就是dmbc 1 ,在 rt d mbc中, 由已知可得mc=1 c d= 2 ,bc=bb 2 + b c 2 =45 ,11112111 1因此 ,tan . mbc 1mc 1 =2=bc 1455, 即直線bm 與平面10bcc 1b1 所成角的正切值為5 .10輊p3p輊pp18. 解: （ 1）由題意可得f x =cosx

15、, 故 f x 在 犏 ，上的單調(diào)遞減區(qū)間為臌犏22犏 ，.2犏臌5公眾號：安逸數(shù)學工作室（ 2 ）由已知可得a + b =4 ,qf c =1 ,2cosc =1 , 又 c2. 0，p ,c =p . 故3s=1 absinc=3 ab 3a +b 2 =3 , 當 a = b =2 時取等號 , 即 d abc面積d a bc2442的最大值為3 , 此時d abc是邊長為2 的正三角形 .19. 解 :（ 1 ） 由 已 知 可 得 an =3n - 1 （ n. n *） ,故 bn= 2 .3n -1 （ n. n *） ,所 以bnbn + 1 =4 .32n -1 （ n. n

16、 * ） , 從而 bnbn + 1 是以 12 為首項 ,9 為公比的等比數(shù)列, 故數(shù)列 bn bn + 1 的前 n 項和為 3 9n -21 （ n. n * ） .（ 2 ） 依 題 意 得 an =2n（ n . n *） ,所 以 bn= l q2n+ 1 （n . n *） ,故cn = 3 +l q2+ l2+ 1n -l q22nq21 -q1 -q（ n .ì.*. 3n） , 令l q2+=20, 解得ì. l.- 1（ q =-3 <0 舍去） ,因此 ,存在í.1 -q.l+ 1 =0í3.q =2.2l，q =- 1 ，

17、3) ,使得數(shù)列 c 成等比數(shù)列 ,且3n （ n. n * ） .ncn =23 .420. 解: （ 1）依題意可得a = 2 , 半焦距c = 1 , 從而222因此 , 橢圓 c 的方x 2y 2程為+= 1 .b=a-c= 3 ,43x 23y 2x 22（ 2）由于點x ，3y在 c 上 , 所以+=43uuur1 , 故軌跡g :+ y4uuur= 1 . 不妨設(shè)f1-3 ，0 ,f2 3 ，0 ,px，y , 就 pf1 = -3 -x ，-y ,pf 2 =3 -x ，-y . 易得直線 gh :x -2y + 2 =0 , 故uuuruuur224 211424pf 1 .

18、pf 2x+ y-3 = 5y -, 所以當y =, 即點 p 的坐標為-， 時 ,55555uuuruuur 11pf 1 ×pf2取得最小值-. （或這樣 : 由于點 p 在直線 gh 上運動 , 所以當 op5 gh 時 ,x 2 +y 2 取得最小值 , 故 x 2 +y 2 也取得6公眾號：安逸數(shù)學工作室=最小值 , 此時 x 2 + uuuruuury 2min輊0 -犏犏犏臌22 .02=54 , 易得對應(yīng)點為垂足5p -24從而 ,， 55pf 1 ×pf2的最小值為uuuruuur411pf1 .pf2 min-3 = -. ）55（3）易得f 1 ，0

19、, 設(shè) l :x = my +1 （ m .r ） , ax1 ，y1 , bx2，y2 , 就 d 4 ，y1 ,e4 ，y2 ,ì. x 2y 2由 .+=1 得 3m 2 +4y 2 +6my -9 =0 , 明顯 d =144m 2 +1 >0 , 且í43.x =.my + 1y+ y=-6m,y y=-9. 將 x= my+ 1 代入直線 ae 的方程 :123m 2 + 41 21123m+ 4 x1 -4 y -y2 =y1 -y 2 x -4) , 并化簡可得my y+ y+ y +輊2y- y+ y x -5y+ 3 -my y =0 , 將 y+

20、 y= -6m,1 212臌 11211123m 2 +4y y= -91 23m 2 +4代入可得m .9 -6m+2y+6mx -5y+ 3 -my y =0 , 即直線3m 2 + 43m 2 + 413m 2 + 411ae 的方程為2 輊犏3 m 2 +4y1 + 3mx -5+ 3m 2 +243 -my 1y =0 , 由于 m ，y1任意 , 所臌以直線 ae 過定點 5 ，0 . 同理可得直線bd 也過定點2 5 ，0 . 2綜上 , 當 l 繞 f 轉(zhuǎn)動時 , 直線 ae 與 bd 相交于定點 5 ，0 . 221. 解: （1）設(shè) z =a + bi （ a，b .r ）

21、 , 就 rez = a .如 a 30 ,就f z = z,由 已 知 條 件 可 得- a -3bi = -2 + 9i,q a ，b . r,.ì a = -í2, 解得ì.a2.í,z = 2 -3i .- 3b =9.b = - 37公眾號：安逸數(shù)學工作室如 a <0 ,就f z =- z ,由 已 知 條 件 可 得 -7a -5bi = -2 + 9i ,q a ，b . r,.ì 7a = -.í2, 解得.ì 2.a = 7.í, 但 a <ì. 2.a =0 , 故 .&#

22、237; 7.舍去 .- 5b = 9.b = -9.5.b =- 9.5綜上 , 得 z = 2 -3i .（2）證明如下 :令 t= f z n +1, 就 t=zn +1（ n .n * ） .znnnn f z 假設(shè)f z +1f z > 2 , 即 t1 >2 , 因 z 2n .1 （ n. n * ）, 故 t>0（ n. n * ）,n于是2tn + 1< t1.t n + 1=z + 1 . zn + 11驏 n=瓏z+1驏n + 21鼢鼢+z+zzn + 1桫瓏zn 鼢桫z n + 2.z n1+z n + 2 +1= t+ t, 即 2t<

23、t+ tznzn + 2nn + 2n + 1nn + 2（ n .n * ） , 亦即t n + 1 -tn <t n + 2 -tn + 1 ,故數(shù)列 tn + 1 -tn 單調(diào)遞增. 又 t 1 >2 ,故t 2 =z 2 +1驏=.z +21 ÷ -2.z21-2= t 2 -2 > t,即t> t,于 是 ,nz2.桫z ÷1121zt n + 1 -tn > t n -tn - 1 > l> t 2 -t1 >0 . 所以 , 對任意的 n .n * , 均有 t.t12 , 與題設(shè)條件沖突 . 因此 , 假設(shè)不成立 , 即f z +1f z. 2 成立 .（3）設(shè)存在 u. c 滿意題設(shè)要求, 令 a= rez，b= imz （ n. n * ）. 易得對一切 n. n * ,nnnnì.an + 1 =a 2 + a+ 1 -b2í均有 an 30 , 且 .nnn（） . bn + 1=2an + 1bn（）如u . i ，i , 就 zn 明顯為常數(shù)數(shù)列, 故 u= . i滿意題設(shè)要求 .（） 如 u . i ，i , 就用數(shù)學歸納法可證: 對任意 n. n * , a，b .0 ，-1