淺談培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

1、數(shù)學(xué)上的定理、公式以的條件，解題中難免出現(xiàn)x+5許2+4例2：求函數(shù)f(x)=(xgr)的最小值。所以，f(x)的最小值是2。淺談培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)是一門(mén)具有高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的根木特 征，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。然而，解題思維屮的不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象在學(xué)生當(dāng)屮 常常出現(xiàn)。這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，下面通過(guò)舉例說(shuō)明，期望老師 在教洋過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)學(xué)牛思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。一、忽視概念而導(dǎo)致錯(cuò)誤概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)概念，概念含糊不清是思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn), 也是解題出錯(cuò)的上要原因之一。例1：函數(shù)f(x)二 引驢 的最小正周期()2. 2錯(cuò)解

2、：f(x)= 2 tg2x所以，f(x)的最小周期是t=分析：不妨取x=0時(shí)，則f(x+兀/2)無(wú)意義，以上錯(cuò)課原因，沒(méi)有考慮到原函數(shù) 的定義域，誤認(rèn)為原函數(shù)與函數(shù)3/2tg2x等價(jià)，實(shí)際上，由原函數(shù)得xkn±k/2 , 且xhk兀土 n/2(kwz),而由函數(shù)f(x)= 3/2tg2x得,xhk兀±兀/4(kwz)。顯然變形后擴(kuò) 大了原函數(shù)的定義域，rh圖象知原函數(shù)周期t= iio二、忽視定理公式成立的條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤及法則都是在一定條件卜成立的，如果忽視了成立 錯(cuò)誤。分析：上述錯(cuò)謀在于忽視等號(hào)成立的條件，事實(shí)上當(dāng)時(shí)，得x =3,矛盾。止解：利用函數(shù)單調(diào)性得f（x）最小值為

3、5/20 （解略）。三、忽視特殊情形導(dǎo)致錯(cuò)誤解題缺乏縝密思維，遺漏特殊情況，不能給出問(wèn)題的全部答案，以偏代全是解答不 完善的根本原因。例3：已知直線人=盡+2求：過(guò)點(diǎn)（1, 2）與直線上夾角為30度的直線方程。錯(cuò)解:設(shè)直線的斜率為k ,則由夾角公式得y =設(shè)為k,則由夾角公式得1的方程為卩=2或分析：此題設(shè)的斜率為k,就意味著八的斜率不存在，此方程為卩=2,與2的夾角亦為30度。止解：若°的斜率不存在，此時(shí)方程為只=2可驗(yàn)證54的夾角為30度，為所求。若幾的斜率存在,四、忽視變形的等價(jià)性導(dǎo)致錯(cuò)誤。利用化歸思想，將復(fù)雜的陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的問(wèn)題，這是常用的解題手 段，但若不慎重

4、，往往造成非等價(jià)的轉(zhuǎn)換，這是解題出錯(cuò)的主要原因。例4：設(shè)實(shí)數(shù)b,使曲線卩=出蘭與直線卩=說(shuō)有一解、兩解、無(wú)解，求b的取 值范圍。錯(cuò)解：將y=vee_與聯(lián)立方程組用代入法轉(zhuǎn)化為方程卩=x+b,據(jù)一元二次方程2疋+2*込1 = °有實(shí)根的充耍條件= *護(hù)+80解得噸辺所以當(dāng)士匣時(shí)方程組有一解，當(dāng)區(qū)x辺左兩解，當(dāng)肚吃或&>2 時(shí)無(wú)解。剖析：當(dāng)b<1時(shí)克線 尸x+b與曲線卩=也蘭就不會(huì)有公共點(diǎn)了。解題錯(cuò)誤在 于認(rèn)為方程2+2b； 1 = 0與原方程組等價(jià)，簡(jiǎn)單-應(yīng)用了判別式，因此便產(chǎn)生了錯(cuò) 誤結(jié)論。ry = /1-?22止確解：由 sx+b得空+2如込1 = 0_且（1w

5、xw1 ）因?yàn)閤的取值范圍受到限制故不應(yīng)用“判別式，解決此類問(wèn)題應(yīng)根據(jù)圖象。根據(jù)圖象可知:(2)“ =吃或"11 時(shí),方程纟h有一解，1111線卩=心t（1）1兀 逅時(shí)，方程有兩解，曲線卩=03與直線"曲兩個(gè)交點(diǎn)。與直線y=x+b有一個(gè)交點(diǎn)。（3）當(dāng)q逅或肚1時(shí)，方程組無(wú)解，曲線卩=也蘭與直線y=x+b沒(méi)冇交點(diǎn)。五、忽視特殊與一般的關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)誤在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，既注意一般的思考方法，乂注意特殊的解題思路，常能創(chuàng)造性的解決問(wèn)題，但是，兩者的關(guān)系處理不當(dāng)，用特姝代替一般的思維形式，將會(huì)產(chǎn)生“以點(diǎn)代面”的錯(cuò)誤。("if設(shè)對(duì)所有實(shí)數(shù)為不等式4個(gè)+1)2&x2log2>0恒成立，求a的取值范圍。錯(cuò)解：因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，于是原不等式可化為:'畑=log2 >0解得0如1分析：初看起來(lái)，上述解法的確很簡(jiǎn)捷，并且與正確的a的収值范圍相一致，但這 純屬是一種巧合，因?yàn)閤=0是原不等式成立的必要性但非充分性，此種解法是偷換命題, 以特殊代替一般，是一種錯(cuò)