高考數學江蘇專版三維二輪專題復習教學案：專題二 立體幾何 Word版含答案

1、高考數學精品復習資料2019.5江蘇江蘇 新高考新高考高考對本專題內容的考查一般是高考對本專題內容的考查一般是“一小一大一小一大”，小題主要考查體積和表面積的計算問，小題主要考查體積和表面積的計算問題，而大題主要證明線線、線面、面面的平行與垂直問題，其考查形式單一，難度一般題，而大題主要證明線線、線面、面面的平行與垂直問題，其考查形式單一，難度一般.第第 1 課時課時立體幾何中的計算立體幾何中的計算(基礎課基礎課)常考題型突破常考題型突破空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積必備知識必備知識空間幾何體的幾組常用公式空間幾何體的幾組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側面積公式：柱體、錐體

2、、臺體的側面積公式：s柱側柱側ch(c 為底面周長，為底面周長，h 為高為高)；s錐側錐側12ch(c 為底面周長，為底面周長，h為斜高為斜高)；s臺側臺側12(cc)h(c，c 分別為上下底面的周長，分別為上下底面的周長，h為斜高為斜高)(2)柱體、錐體、臺體的體積公式：柱體、錐體、臺體的體積公式：v柱體柱體sh(s 為底面面積，為底面面積，h 為高為高)；v錐體錐體13sh(s 為底面面積，為底面面積，h 為高為高)；v臺臺13(ssss)h(不要求記憶不要求記憶)(3)球的表面積和體積公式：球的表面積和體積公式：s球球4r2(r 為球的半徑為球的半徑)；v球球43r3(r 為球的半徑為球

3、的半徑)題組練透題組練透1現有一個底面半徑為現有一個底面半徑為 3 cm，母線長為，母線長為 5 cm 的圓錐狀實心鐵器，將其高溫熔化后鑄的圓錐狀實心鐵器，將其高溫熔化后鑄成一個實心鐵球成一個實心鐵球(不計損耗不計損耗)，則該鐵球的半徑為，則該鐵球的半徑為_cm.解析：解析：因為圓錐底面半徑為因為圓錐底面半徑為 3 cm，母線長為，母線長為 5 cm，所以圓錐的高為，所以圓錐的高為 52324 cm，其體積為其體積為1332412 cm3， 設鐵球的半徑設鐵球的半徑為為r， 則則43r312， 所以該鐵球的半徑是所以該鐵球的半徑是39 cm.答案答案：392 (20 xx蘇錫常鎮(zhèn)二模蘇錫常鎮(zhèn)二

4、模)已知直四棱柱底面是邊長為已知直四棱柱底面是邊長為 2 的菱形的菱形， 側面對角線的長為側面對角線的長為 2 3，則該直四棱柱的側面積為則該直四棱柱的側面積為_解析解析：由題意得由題意得，直四棱柱的側棱長為直四棱柱的側棱長為 2 3 2222 2，所以該直四棱柱的側面積所以該直四棱柱的側面積為為scl422 216 2.答案答案：16 23(20 xx南通南通、泰州一調泰州一調)如圖如圖，在正四棱柱在正四棱柱 abcda1b1c1d1中中，ab3 cm，aa11 cm，則三棱錐，則三棱錐 d1a1bd 的體積為的體積為_cm3.解析：解析：三棱錐三棱錐 d1a1bd 的體積等于三棱錐的體積等

5、于三棱錐 ba1d1d 的體積，因為三棱錐的體積，因為三棱錐 ba1d1d 的的高等于高等于 ab，a1d1d 的面積為矩形的面積為矩形 aa1d1d 的面積的的面積的12，所以三棱錐，所以三棱錐 ba1d1d 的體積是正的體積是正四棱柱四棱柱 abcda1b1c1d1的體積的的體積的16，所以三棱錐，所以三棱錐 d1a1bd 的體積等于的體積等于1632132.答案答案：324.如圖所示是一個直三棱柱如圖所示是一個直三棱柱(以以 a1b1c1為底面為底面)被一個平面所截得到的被一個平面所截得到的幾何體，截面為幾何體，截面為 abc，已知，已知 a1b1b1c11，a1b1c190，a1a4，

6、b1b2，c1c3，則此幾何體的體積為，則此幾何體的體積為_解析解析：在在 a1a 上取點上取點 a2，在在 c1c 上取點上取點 c2，使使 a1a2c1c2bb1，連連結結 a2b，bc2，a2c2，vva b ca bc11122- -vb a acc22- -1211213 12 2 22232.答案答案：325設甲，乙兩個圓柱的底面積分別為設甲，乙兩個圓柱的底面積分別為 s1，s2，體積分別為，體積分別為 v1，v2.若它們的側面積相若它們的側面積相等且等且v1v232，則，則s1s2的值是的值是_解析解析： 設甲設甲， 乙兩個圓柱的底面半徑分別為乙兩個圓柱的底面半徑分別為 r1，

7、r2， 高分別為高分別為 h1， h2， 則有則有 2r1h12r2h2，即即 r1h1r2h2，又，又v1v2r21h1r22h2，v1v2r1r2，r1r232，則，則s1s2r1r2294.答案：答案：94方法歸納方法歸納求幾何體的表面積及體積的解題技巧求幾何體的表面積及體積的解題技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題求幾何體的表面積及體積問題， 可以多角度可以多角度、 多方位地考慮多方位地考慮， 熟記公式是關鍵所在熟記公式是關鍵所在 求求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何

8、體的某一面上某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解體以易于求解多面體與球的切接問題多面體與球的切接問題必備知識必備知識解決球與其他幾何體的切、接問題解決球與其他幾何體的切、接問題(1)解題的關鍵：仔細觀察、分析，弄清相關元素的位置關系和數量關系解題的關鍵：仔細觀察、分析，弄清相關元素的位置關系和數量關系(2)選準最佳角度作出截面：要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及選準最佳角度作出截面：要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素之

9、間的關系，達到空間問題平面化的目的體現這些元素之間的關系，達到空間問題平面化的目的(3)認識球與正方體組合的認識球與正方體組合的 3 種特殊截面：種特殊截面：(4)熟記熟記 2 個結論：個結論：設小圓設小圓 o1半徑為半徑為 r，oo1d，則，則 d2r2r2；若若 a，b 是圓是圓 o1上兩點，則上兩點，則 ab2rsinao1b22rsinaob2.題組練透題組練透1(20 xx江蘇高考江蘇高考)如圖如圖，在圓柱在圓柱 o1o2內有一個球內有一個球 o，該球與圓柱的上該球與圓柱的上、下底面及母線均相切下底面及母線均相切記圓柱記圓柱 o1o2的體積為的體積為 v1，球球 o 的體積為的體積為

10、 v2，則則v1v2的的值是值是_解析解析：設球設球 o 的半徑為的半徑為 r，因為球因為球 o 與圓柱與圓柱 o1o2的上的上、下底面及母線均相切下底面及母線均相切，所以圓所以圓柱的底面半徑為柱的底面半徑為 r、高為、高為 2r，所以，所以v1v2r22r43r332.答案：答案：322(20 xx全國卷全國卷改編改編)已知圓柱的高為已知圓柱的高為 1，它的兩個底面的圓周在直徑為，它的兩個底面的圓周在直徑為 2 的同一個的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為球的球面上，則該圓柱的體積為_解析：解析：設圓柱的底面半徑為設圓柱的底面半徑為 r，則，則 r21212234，所以圓柱的體積，所以圓柱的

11、體積 v34134.答案答案：343已知矩形已知矩形 abcd 的頂點都在半徑為的頂點都在半徑為 2 的球的球 o 的球面上的球面上，且且 ab3，bc 3，過過點點d 作作 de 垂直于平面垂直于平面 abcd，交球，交球 o 于于 e，則棱錐，則棱錐 eabcd 的體積為的體積為_解析：解析：如圖所示，如圖所示，be 過球心過球心 o，de4232 3 22，ve abcd133 322 3.答案：答案：2 34(20 xx南京南京、鹽城一模鹽城一模)將矩形將矩形 abcd 繞邊繞邊 ab 旋轉一周得到一個圓柱旋轉一周得到一個圓柱，ab3，bc2，圓柱上底面圓心為，圓柱上底面圓心為 o，e

12、fg 為下底面圓的一個內接直角三角形，則三棱錐為下底面圓的一個內接直角三角形，則三棱錐 oefg體積的最大值是體積的最大值是_解析：解析：因為將矩形因為將矩形 abcd 繞邊繞邊 ab 旋轉一周得到一個圓柱，旋轉一周得到一個圓柱，ab3，bc2，圓柱上底面圓心為圓柱上底面圓心為 o，efg 為下底面圓的一個內接直角三角形，為下底面圓的一個內接直角三角形，所以三棱錐所以三棱錐 oefg 的高為圓柱的高，即高為的高為圓柱的高，即高為 ab，所以當三棱錐所以當三棱錐 oefg 體積取最大值時，體積取最大值時，efg 的面積最大，的面積最大，當當 ef 為直徑，且為直徑，且 g 在在 ef 的垂直平分

13、線上時，的垂直平分線上時，(sefg)max12424,所以三棱錐所以三棱錐 oefg 體積的最大值體積的最大值(voefg)max13(sefg)maxab13434.答案答案：4方法歸納方法歸納多面體與球的切接問題的解題技巧多面體與球的切接問題的解題技巧方法方法解讀解讀適合題型適合題型截面法截面法解答時首先要找準切點，通過作截面來解解答時首先要找準切點，通過作截面來解決如果內切的是多面體，則作截面時主要決如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作抓住多面體過球心的對角面來作球內切多面體或旋轉體球內切多面體或旋轉體構造直角三構造直角三角形法角形法首先確定球心位置，借助外接

14、的性質首先確定球心位置，借助外接的性質球球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑，尋心到多面體的頂點的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點到底求球心到底面中心的距離、半徑、頂點到底面中心的距離構造成直角三角形，利用勾股面中心的距離構造成直角三角形，利用勾股定理求半徑定理求半徑正棱錐、正棱柱的外接球正棱錐、正棱柱的外接球補形法補形法因正方體、長方體的外接球半徑易求得，故因正方體、長方體的外接球半徑易求得，故將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，便可借助外接球為同一個的特點求解體，便可借助外接球為同一個的特點求解三條側棱兩兩垂直的三棱錐三條側棱兩

15、兩垂直的三棱錐，從正方體或長方體的八個頂從正方體或長方體的八個頂點中選取點作為頂點組成的點中選取點作為頂點組成的三棱錐、四棱錐等三棱錐、四棱錐等平面圖形的翻折問題平面圖形的翻折問題必備知識必備知識將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，把這類問題稱為平面圖將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，把這類問題稱為平面圖形的翻折問題平面圖形經過翻折成為空間圖形后，原有的性質有的發(fā)生了變化，有的沒形的翻折問題平面圖形經過翻折成為空間圖形后，原有的性質有的發(fā)生了變化，有的沒有發(fā)生變化，弄清它們是解決問題的關鍵一般地，翻折后還在同一個平面上的性質不發(fā)有發(fā)生變化，弄清它們是解決問

16、題的關鍵一般地，翻折后還在同一個平面上的性質不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質發(fā)生變化解決這類問題就是要據此研究翻折以后的空生變化，不在同一個平面上的性質發(fā)生變化解決這類問題就是要據此研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和幾何量的度量值，這是化解翻折問題難點的主要方法間圖形中的線面關系和幾何量的度量值，這是化解翻折問題難點的主要方法題組練透題組練透1(20 xx南通三模南通三模)已知圓錐的側面展開圖是半徑為已知圓錐的側面展開圖是半徑為 3，圓心角為，圓心角為23的扇形，則這個圓的扇形，則這個圓錐的高為錐的高為_解析解析： 因為圓錐的側面展開圖是半徑為因為圓錐的側面展開圖是半徑為 3， 圓心角為圓

17、心角為23的扇形的扇形， 所以圓錐的母線長所以圓錐的母線長 l3，設圓錐的底面半徑為設圓錐的底面半徑為 r， 則底面周長則底面周長 2r323， 所以所以 r1， 所以圓錐的高為所以圓錐的高為 32122 2.答案答案：2 22(20 xx南京考前模擬南京考前模擬)如圖如圖，正正abc 的邊長為的邊長為 2，cd 是是 ab 邊上的高邊上的高，e，f 分別分別為邊為邊 ac 與與 bc 的中點的中點，現將現將abc 沿沿 cd 翻折翻折，使平面使平面 adc平面平面 dcb，則棱錐則棱錐 edfc的體積為的體積為_解析解析：sdfc14sabc14342234，e 到平面到平面 dfc 的距離

18、的距離 h 等于等于12ad12.vedfc13sdfch324.答案答案：3243.(20 xx全國卷全國卷)如圖，圓形紙片的圓心為如圖，圓形紙片的圓心為 o，半徑為，半徑為 5 cm，該紙片，該紙片上的等邊三角形上的等邊三角形 abc 的中心為的中心為 o.d，e，f 為圓為圓 o 上的點上的點，dbc，eca，fab 分別分別是以是以 bc，ca，ab 為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以 bc，ca，ab 為折痕折為折痕折起起dbc，eca，fab，使得，使得 d，e，f 重合，得到三棱錐當重合，得到三棱錐當abc 的邊長變化時的邊長變化時，所得

19、三棱錐體積所得三棱錐體積(單位：單位：cm3)的最大值為的最大值為_解析：解析：法一：法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當abc 的邊長變化時，的邊長變化時，設設abc 的邊長為的邊長為 a(a0)cm，則則abc 的面積為的面積為34a2，dbc 的高為的高為 536a，則正三棱錐的高為則正三棱錐的高為536a236a2255 33a，255 33a0，0a0，即，即 x42x30，得，得 0 x2，則當則當 x0，52 時，時，f(x)f(2)80，v 3 804 15.所求三棱錐的體積的最大值為所求三棱錐的體積的最大值為 4 15.答

20、案：答案：4 15方法歸納方法歸納解決翻折問題需要把握的兩個關鍵點解決翻折問題需要把握的兩個關鍵點(1)解決與翻折有關的問題的關鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量一般情況下，折解決與翻折有關的問題的關鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量一般情況下，折線同一側的，線段的長度是不變量，位置關系可能會發(fā)生變化，抓住兩個線同一側的，線段的長度是不變量，位置關系可能會發(fā)生變化，抓住兩個“不變性不變性”與折線垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變；與折線垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變；與折線平行的線段，翻折前后平行關系不改變與折線平行的線段，翻折前后平行關系不改變(2)解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要

21、分析翻折后的圖形，也要分析翻折解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形前的圖形課時達標訓練課時達標訓練a 組組抓牢抓牢中檔小題中檔小題1已知正方體已知正方體 abcda1b1c1d1的棱長為的棱長為 1，點點 e 是棱是棱 b1b 的中點的中點，則三棱錐則三棱錐 b1ade的體積為的體積為_解析：解析：vb1adevdaeb113saeb1d答案：答案：1122若兩球表面積之比是若兩球表面積之比是 49，則其體積之比為，則其體積之比為_解析：解析：設兩球半徑分別為設兩球半徑分別為 r1，r2，因為，因為 4r214r2249，所

22、以所以 r1r223，所以兩球體積之比為，所以兩球體積之比為43r3143r32r1r23233827.答案：答案：8273(20 xx天津高考天津高考)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積若這個正方體的表面積為為 18，則這個球的體積為，則這個球的體積為_解析：解析：設正方體的棱長為設正方體的棱長為 a，則，則 6a218，得，得 a 3，設該正方體外接球的半徑為，設該正方體外接球的半徑為 r，則則 2r 3a3，得，得 r32，所以該球的體積為，所以該球的體積為43r34327892.答案：答案：924已知圓錐的母線長為已知圓錐的母

23、線長為 10 cm，側面積為，側面積為 60 cm2，則此圓錐的體積為，則此圓錐的體積為_cm3.解析解析：設圓錐底面圓的半徑為設圓錐底面圓的半徑為 r，母線長為母線長為 l，則側面積為則側面積為rl10r60，解得解得 r6，則圓錐的高則圓錐的高 h l2r28，則此圓錐的體積為，則此圓錐的體積為13r2h1336896.答案：答案：965(20 xx揚州期末揚州期末)若正四棱錐的底面邊長為若正四棱錐的底面邊長為 2(單位：單位：cm)，側面積為，側面積為 8(單位：單位：cm2)，則它的體積為則它的體積為_(單位：單位：cm3)解析解析：因為正四棱錐的底面邊長為因為正四棱錐的底面邊長為 2

24、，側面積為側面積為 8，所以底面周長所以底面周長 c8，12ch8，所所以斜高以斜高 h2，正四棱錐的高為，正四棱錐的高為 h 3，所以正四棱錐的體積為，所以正四棱錐的體積為1322 34 33.答案答案：4 336設棱長為設棱長為 a 的正方體的體積和表面積分別為的正方體的體積和表面積分別為 v1，s1，底面半徑和高均為底面半徑和高均為 r 的圓錐的的圓錐的體積和側面積分別為體積和側面積分別為 v2，s2，若，若v1v23，則，則s1s2的值為的值為_解析解析：由題意知由題意知，v1a3，s16a2，v213r3，s2 2r2，由由v1v23得得，a313r33，得得 ar，從而，從而s1s

25、2623 2.答案：答案：3 27.(20 xx蘇北三市三模蘇北三市三模)如圖，在正三棱柱如圖，在正三棱柱 abca1b1c1中，已知中，已知 abaa13，點，點 p 在棱在棱 cc1上，則三棱錐上，則三棱錐 paba1的體積為的體積為_解析：解析：三棱錐的底面積三棱錐的底面積 saba1123392，點，點 p 到底面的距離到底面的距離為為abc 的高的高 h323223 32，故三棱錐的體積，故三棱錐的體積 vpaba113saba1h9 34.答案答案：9 348(20 xx無錫期末無錫期末)已知圓錐的側面展開圖為一個圓心角為已知圓錐的側面展開圖為一個圓心角為23，且面積為且面積為 3

26、的扇形的扇形，則則該圓錐的體積等于該圓錐的體積等于_解析：解析：設圓錐的母線為設圓錐的母線為 l，底面半徑為，底面半徑為 r，因為因為 313l2，所以，所以 l3，所以，所以r33，所以所以 r1，所以圓錐的高是，所以圓錐的高是 32122 2，所以圓錐的體積是，所以圓錐的體積是13122 22 23.答案答案：2 239(20 xx徐州古邳中學摸底徐州古邳中學摸底)表面積為表面積為 24的圓柱，當其體積最大時，該圓柱的底面半的圓柱，當其體積最大時，該圓柱的底面半徑與高的比為徑與高的比為_解析：解析：設圓柱的高為設圓柱的高為 h，底面半徑為，底面半徑為 r，則圓柱的表面積則圓柱的表面積 s2

27、r22rh24，即即 r2rh12，得，得 rh12r2，vr2hr(12r2)(12rr3)，令令 v(123r2)0，得，得 r2，函數函數 vr2h 在區(qū)間在區(qū)間(0,2上單調遞增，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間2，)上單調遞減，上單調遞減，r2 時，時，v最大，最大，此時此時 2h1248，即，即 h4，rh12.答案答案：1210三棱錐三棱錐 pabc 中，中，pa平面平面 abc，acbc，acbc1，pa 3，則該三棱，則該三棱錐外接球的表面積為錐外接球的表面積為_解析：解析：把三棱錐把三棱錐 pabc 看作由平面截一個長、寬、高分別為看作由平面截一個長、寬、高分別為 1、1、3的長方

28、體所得的一部分的長方體所得的一部分(如圖如圖).易知該三棱錐的外接球就是對應長方體易知該三棱錐的外接球就是對應長方體的外接球的外接球又長方體的體對角線長為又長方體的體對角線長為 1212 3 2 5，故外接球半徑故外接球半徑為為52，表面積為，表面積為 45225.答案：答案：511已知正三棱錐已知正三棱錐 pabc 的體積為的體積為2 23，底面邊長為，底面邊長為 2，則側棱，則側棱 pa 的長為的長為_解析解析：設底面正三角形設底面正三角形 abc 的中心為的中心為 o，又底面邊長為，又底面邊長為 2，故，故 oa2 33，由，由 vpabc13posabc，得，得2 2313po3422

29、，po2 63，所以，所以 pa po2ao22.答案答案：212(20 xx蘇州期末蘇州期末)一個長方體的三條棱長分別為一個長方體的三條棱長分別為 3,8,9，若在該長方體上面鉆一個圓，若在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化，則圓孔的半徑為柱形的孔后其表面積沒有變化，則圓孔的半徑為_解析：解析：圓柱兩底面積等于圓柱的側面積孔的打法有三種，所以有三種情況：圓柱兩底面積等于圓柱的側面積孔的打法有三種，所以有三種情況：孔高孔高為為 3，則則 2r22r3，解得解得 r3；孔高為孔高為 8，則則 r8；孔高為孔高為 9，則則 r9.而實際情況而實際情況是，當是，當 r8，r9 時，因為長

30、方體有個棱長為時，因為長方體有個棱長為 3，所以受限制不能打，所以只有，所以受限制不能打，所以只有符合符合答案答案：313.如圖所示如圖所示，在體積為在體積為 9 的長方體的長方體 abcda1b1c1d1中中，對角線對角線 b1d與平面與平面 a1bc1交于點交于點 e，則四棱錐，則四棱錐 ea1b1c1d1的體積的體積 v_.解析解析：連結連結 b1d1交交 a1c1于點于點 f，連結，連結 bd，bf，則平面，則平面 a1bc1平平面面 bdd1b1bf，因為因為 e平面平面 a1bc1，e平面平面 bdd1b1，所以所以 ebf.因因為為 f 是是 a1c1的中點的中點， 所所以以 b

31、f 是中線是中線， 又又 b1f 綊12bd， 所以所以feeb12， 故故點點 e 到平到平面面 a1b1c1d1的距離是的距離是 bb1的的13，所以四棱錐，所以四棱錐 ea1b1c1d1的體積的體積 v13s 四邊形四邊形 a1b1c1d113bb119v長方體長方體 abcda1b1c1d11.答案答案：114半徑為半徑為 2 的球的球 o 中有一內接正四棱柱中有一內接正四棱柱(底面是正方形底面是正方形，側棱垂直底面?zhèn)壤獯怪钡酌?當該正四棱當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是_解析解析： 依題意依題意，

32、設球的內接正四棱柱的底面邊長為設球的內接正四棱柱的底面邊長為 a、 高為高為 h， 則有則有 162a2h22 2ah，即即 4ah16 2，該正四棱柱的側面積該正四棱柱的側面積 s4ah16 2，當且僅當當且僅當 h 2a22時取等號時取等號因因此此， 當該正四棱柱的側面積最大時當該正四棱柱的側面積最大時， 球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是 42216 216( 2)答案答案：16( 2)b 組組力爭難度小題力爭難度小題1已知三棱錐已知三棱錐 sabc 所在頂點都在球所在頂點都在球 o 的球面上的球面上，且且 sc平面平面 abc，若若 scabac1

33、，bac120，則球，則球 o 的表面積為的表面積為_解析解析：abac1，bac120，bc121221112 3，三角形三角形 abc 的外接圓直徑的外接圓直徑 2r3sin 1202，r1.sc平面平面 abc，sc1，該三棱錐的外接球半徑該三棱錐的外接球半徑 rr2sc2252，球球 o 的表面積的表面積 s4r25.答案答案：52.(20 xx南京三模南京三模)如圖如圖， 在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中中， ab1， bc2，bb13， abc90， 點點 d 為側棱為側棱 bb1上的動點上的動點 當當 addc1最小時最小時，三棱錐三棱錐 dabc1的體積為的體積為_解

34、析解析： 在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中中， bb1平面平面 abc， 所以所以 bb1ab，又因為又因為abc90，即，即 bcab，又，又 bcbb1b，所以，所以 ab平平面面bb1c1c, 因為因為 ab1，bc2，點，點 d 為側棱為側棱 bb1上的動點，所以側面展開，當上的動點，所以側面展開，當 addc1最小時，最小時，bd1，所以，所以 sbdc112bdb1c11，所以三棱錐，所以三棱錐 dabc1的體積為的體積為13sbdc1ab13.答案答案：133設四面體的六條棱的長分別為設四面體的六條棱的長分別為 1,1,1,1， 2和和 a，且長為，且長為 a 的棱與長

35、為的棱與長為 2的棱異面的棱異面，則則 a 的取值范圍是的取值范圍是_解析解析：如圖所示，如圖所示，ab 2，cda，設點，設點 e 為為 ab 的中點，則的中點，則 edab，ecab，則則 ed ad2ae222，同理同理 ec22.由構成三角形的條由構成三角形的條件知件知 0aedec 2，所以，所以 0a 2.答案答案：(0， 2)4.如圖如圖，已知已知 ab 為圓為圓 o 的直徑的直徑，c 為圓上一動點為圓上一動點，pa圓圓 o 所在的所在的平面，且平面，且 paab2，過點，過點 a 作平面作平面pb，分別交，分別交 pb，pc 于于 e，f，當三棱錐當三棱錐 paef 的體積最大

36、時，的體積最大時，tanbac_.解析解析：pb平面平面 aef，afpb.又又 acbc，apbc，bc平面平面 pac，afbc，af平面平面 pbc，afe90.設設bac，在，在 rtpac 中，中，afapacpc22cos 2 1cos22cos 1cos2，在在 rtpab 中，中，aepe 2，ef ae2af2，vpaef16afefpe16af 2af2 226 2af2af426 af21 2126，當當 af1 時時，vpaef取得最大值取得最大值26，此時此時 af2cos 1cos21，cos 13，sin 23，tan 2.答案答案： 2第第 2 課時課時平行與垂

37、直平行與垂直(能力課能力課)常考題型突破?？碱}型突破線線、線面位置關系的證明線線、線面位置關系的證明例例 1(20 xx江蘇高考江蘇高考)如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐 abcd 中，中，abad，bcbd，平面平面 abd平面平面 bcd，點點 e，f(e 與與 a，d 不重合不重合)分別在分別在棱棱 ad，bd 上，且上，且 efad.求證：求證：(1)ef平面平面 abc；(2)adac.證明證明(1)在平面在平面 abd 內，因為內，因為 abad，efad，所以所以 efab.又因為又因為 ef 平面平面 abc，ab平面平面 abc，所以所以 ef平面平面 abc.(2)因為平面因為

38、平面 abd平面平面 bcd，平面平面 abd平面平面 bcdbd，bc平面平面 bcd，bcbd，所以所以 bc平面平面 abd.因為因為 ad平面平面 abd，所以所以 bcad.又又 abad，bcabb，ab平面平面 abc，bc平面平面 abc，所以所以 ad平面平面 abc.又因為又因為 ac平面平面 abc，所以所以 adac.方法歸納方法歸納立體幾何證明問題的注意點立體幾何證明問題的注意點(1)證明立體幾何問題的主要方法是定理法，解題時必須按照定理成立的條件進行推證明立體幾何問題的主要方法是定理法，解題時必須按照定理成立的條件進行推理如線面平行的判定定理中要求其中一條直線在平面

39、內，另一條直線必須說明它在平面理如線面平行的判定定理中要求其中一條直線在平面內，另一條直線必須說明它在平面外；線面垂直的判定定理中要求平面內的兩條直線必須是相交直線等，如果定理的條件不外；線面垂直的判定定理中要求平面內的兩條直線必須是相交直線等，如果定理的條件不完整，則結論不一定正確完整，則結論不一定正確(2)證明立體幾何問題，要緊密結合圖形，有時要利用平面幾何的相關知識，因此需要證明立體幾何問題，要緊密結合圖形，有時要利用平面幾何的相關知識，因此需要多畫出一些圖形輔助使用多畫出一些圖形輔助使用變式訓練變式訓練1(20 xx蘇錫常鎮(zhèn)一模蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖如圖，在斜三棱柱在斜三棱柱 abca1b

40、1c1中中，側面?zhèn)让?aa1c1c是菱形，是菱形，ac1與與 a1c 交于點交于點 o，e 是棱是棱 ab 上一點，且上一點，且 oe平面平面 bcc1b1.(1)求證：求證：e 是是 ab 的中點；的中點；(2)若若 ac1a1b，求證：，求證：ac1bc.證明：證明：(1)連結連結 bc1，因為，因為 oe平面平面 bcc1b1，oe平面平面 abc1，平，平面面bcc1b1平面平面 abc1bc1，所以，所以 oebc1.因為側面因為側面 aa1c1c 是菱形，是菱形，ac1a1co，所以所以 o 是是 ac1中點，中點，所以所以aeebaooc11，e 是是 ab 的中點的中點.(2)

41、因為側面因為側面 aa1c1c 是菱形，所以是菱形，所以 ac1a1c,又又 ac1a1b，a1ca1ba1，a1c平面平面 a1bc，a1b平面平面 a1bc，所以，所以 ac1平平面面a1bc,因為因為 bc平面平面 a1bc，所以，所以 ac1bc.2(20 xx蘇州模擬蘇州模擬)在如圖所示的空間幾何體在如圖所示的空間幾何體 abcdpe 中，底中，底面面abcd 是邊長為是邊長為 4 的正方形的正方形， pa平面平面 abcd， paeb， 且且 paad4，eb2.(1)若點若點 q 是是 pd 的中點，求證：的中點，求證：aq平面平面 pcd；(2)證明：證明：bd平面平面 pec

42、.證明：證明：(1)因為因為 paad，q 是是 pd 的中點，所以的中點，所以 aqpd.又又 pa平面平面 abcd，所以所以 cdpa.又又 cdda，padaa，所以所以 cd平面平面 adp.又因為又因為 aq平面平面 adp，所以所以 cdaq，又又 pdcdd，所以所以 aq平面平面 pcd.(2)取取 pc 的中點的中點 m，連結，連結 ac 交交 bd 于點于點 n，連結，連結 mn，me，在在pac 中，易知中，易知 mn12pa，mnpa，又又 paeb，eb12pa，所以所以 mneb，mneb，所以四邊形所以四邊形 bemn 是平行四邊形，所以是平行四邊形，所以 em

43、bn.又又 em平面平面 pec，bn 平面平面 pec，所以所以 bn平面平面 pec，即，即 bd平面平面 pec.兩平面之間位置關系的證明兩平面之間位置關系的證明例例 2(20 xx南京模擬南京模擬)如圖，直線如圖，直線 pa 垂直于圓垂直于圓 o 所在的平面，所在的平面，abc 內接于圓內接于圓 o，且，且 ab 為圓為圓 o 的直徑，的直徑，m 為線段為線段 pb 的中點，的中點，n 為線為線段段 bc 的中點的中點求證：求證：(1)平面平面 mon平面平面 pac；(2)平面平面 pbc平面平面 mon.證明證明(1)因為因為 m，o，n 分別是分別是 pb，ab，bc 的中點，的

44、中點，所以所以 mopa，noac，又又 monoo，paaca，所以平面所以平面 mon平面平面 pac.(2)因為因為 pa平面平面 abc，bc平面平面 abc，所以所以 pabc.由由(1)知，知，mopa，所以所以 mobc.連結連結 oc，則，則 ocob，因為，因為 n 為為 bc 的中點，的中點，所以所以 onbc.又又 moono，mo平面平面 mon，on平面平面 mon，所以所以 bc平面平面 mon.又又 bc平面平面 pbc，所以平面所以平面 pbc平面平面 mon.方法歸納方法歸納1.證明面面平行依據判定定理，只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即證明面面平

45、行依據判定定理，只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉化為證明線面平行，再轉化為證明線線平行可，從而將證明面面平行轉化為證明線面平行，再轉化為證明線線平行.2.證明面面垂直常用面面垂直的判定定理證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決則借助中線、高線或添加輔助線解決.變式訓練變式訓練1(20 xx無錫期末無錫

46、期末)在四棱錐在四棱錐 pabcd 中，底面中，底面 abcd 為矩形，為矩形，ap平面平面 pcd，e，f 分別為分別為 pc，ab 的中點求證：的中點求證：(1)平面平面 pad平面平面 abcd；(2)ef平面平面 pad.證明：證明：(1)因為因為 ap平面平面 pcd，cd平面平面 pcd，所以所以 apcd，因為四邊形因為四邊形 abcd 為矩形，所以為矩形，所以 adcd,又因為又因為 apada，ap平面平面 pad，ad平面平面 pad，所以所以 cd平面平面 pad，因為因為 cd平面平面 abcd，所以平面所以平面 pad平面平面 abcd.(2)連結連結 ac，bd 交

47、于點交于點 o，連結，連結 oe，of，因為四邊形因為四邊形 abcd 為矩形，所以為矩形，所以 o 點為點為 ac 的中點，的中點，因為因為 e 為為 pc 的中點，的中點，所以所以 oepa，因為因為 oe 平面平面 pad，pa平面平面 pad，所以所以 oe平面平面 pad,同理可得：同理可得：of平面平面 pad，又因為又因為 oeofo，所以平面，所以平面 oef平面平面 pad,因為因為 ef平面平面 oef，所以，所以 ef平面平面 pad.2.(20 xx江蘇高考江蘇高考)如圖如圖，在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中中， d， e 分別為分別為 ab，bc 的中點，點

48、的中點，點 f 在側棱在側棱 b1b 上，且上，且 b1da1f，a1c1a1b1.求證：求證：(1)直線直線 de平面平面 a1c1f；(2)平面平面 b1de平面平面 a1c1f.證明：證明：(1)在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中，中，a1c1ac.在在abc 中，因為中，因為 d，e 分別為分別為 ab，bc 的中點，的中點，所以所以 deac，于是，于是 dea1c1.又因為又因為 de 平面平面 a1c1f，a1c1平面平面 a1c1f，所以直線所以直線 de平面平面 a1c1f.(2)在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中，中，a1a平面平面 a1b1c1.因為因為

49、a1c1平面平面 a1b1c1，所以，所以 a1aa1c1.又因為又因為 a1c1a1b1，a1a平面平面 abb1a1，a1b1平面平面 abb1a1，a1aa1b1a1，所以所以 a1c1平面平面 abb1a1.因為因為 b1d平面平面 abb1a1，所以，所以 a1c1b1d.又因為又因為 b1da1f，a1c1平面平面 a1c1f，a1f平面平面 a1c1f，a1c1a1fa1，所以所以 b1d平面平面 a1c1f.因為直線因為直線 b1d平面平面 b1de，所以平面所以平面 b1de平面平面 a1c1f.空間線面位置關系的綜合問題空間線面位置關系的綜合問題例例 3(20 xx蘇北三市

50、模擬蘇北三市模擬)如圖，如圖，ab 為圓為圓 o 的直徑，點的直徑，點 e，f 在在圓圓 o 上上，且且 abef，矩形矩形 abcd 所在的平面和圓所在的平面和圓 o 所在的平面互相垂所在的平面互相垂直直(1)求證：平面求證：平面 afc平面平面 cbf.(2)在線段在線段 cf 上是否存在一點上是否存在一點 m，使得，使得 om平面平面 adf？并說明理由？并說明理由解解(1)證明證明： 平面平面 abcd平面平面 abef， cbab， 平面平面 abcd平面平面 abefab，cb平面平面 abef.af平面平面 abef，afcb.又又 ab 為圓為圓 o 的直徑，的直徑，afbf.

51、又又 bfcbb，af平面平面 cbf.af平面平面 afc，平面平面 afc平面平面 cbf.(2)當當 m 為為 cf 的中點時，的中點時，om平面平面 adf.證明如下：證明如下：取取 cf 中點中點 m，設，設 df 的中點為的中點為 n，連結，連結 an，mn，則則 mn 綊12cd，又，又 ao 綊12cd，則，則 mn 綊 ao，四邊形四邊形 mnao 為平行四邊形，為平行四邊形，oman，又，又 an平面平面 daf，om 平面平面 daf，om平面平面 daf.方法歸納方法歸納與平行、垂直有關的存在性問題的解題步驟與平行、垂直有關的存在性問題的解題步驟變式訓練變式訓練1.如圖

52、如圖，四邊形四邊形 abcd 是矩形是矩形，平面平面 abcd平面平面 bce，beec.(1)求證：平面求證：平面 aec平面平面 abe；(2)點點 f 在在 be 上，若上，若 de平面平面 acf，求，求bfbe的值的值解解：(1)證明：證明：四邊形四邊形 abcd 為矩形，為矩形，abbc，平面平面 abcd平面平面 bce，ab平面平面 bce，ceab.又又cebe，abbeb，ce平面平面 abe，又又ce平面平面 aec，平面平面 aec平面平面 abe.(2)連結連結 bd 交交 ac 于點于點 o，連結，連結 of.de平面平面 acf，de平面平面 bde，平面，平面

53、acf平面平面 bdeof.deof，又在矩形，又在矩形 abcd 中，中，o 為為 bd 中點，中點，f 為為 be 中點，即中點，即bfbe12.2如圖，在矩形如圖，在矩形 abcd 中，中，e，f 分別為分別為 bc，da 的中點將矩形的中點將矩形 abcd 沿線段沿線段 ef折起，使得折起，使得dfa60.設設 g 為為 af 上的點上的點(1)試確定點試確定點 g 的位置，使得的位置，使得 cf平面平面 bdg；(2)在在(1)的條件下，證明：的條件下，證明：dgae.解：解：(1)當點當點 g 為為 af 的中點時，的中點時，cf平面平面 bdg.證明如下：證明如下：因為因為 e，

54、f 分別為分別為 bc，da 的中點，的中點，所以所以 efabcd.連結連結 ac 交交 bd 于點于點 o，連結，連結 og，則，則 aoco.又又 g 為為 af 的中點，的中點，所以所以 cfog.因為因為 cf 平面平面 bdg，og平面平面 bdg.所以所以 cf平面平面 bdg.(2)因為因為 e，f 分別為分別為 bc，da 的中點，所以的中點，所以 effd，effa.又又 fdfaf，所以所以 ef平面平面 adf，因為因為 dg平面平面 adf，所以所以 efdg.因為因為 fdfa，dfa60，所以所以adf 是等邊三角形，是等邊三角形，dgaf，又又 afeff，所以

55、所以 dg平面平面 abef.因為因為 ae平面平面 abef，所以所以 dgae.課時達標訓練課時達標訓練1.如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐 vabc 中，中，o，m 分別為分別為 ab，va 的中點，平的中點，平面面vab平面平面 abc， vab 是邊長為是邊長為 2 的等邊三角形的等邊三角形， acbc 且且 acbc.(1)求證：求證：vb平面平面 moc；(2)求線段求線段 vc 的長的長解解：(1)證明：因為點證明：因為點 o，m 分別為分別為 ab，va 的中點，的中點，所以所以 movb.又又 mo平面平面 moc，vb 平面平面 moc，所以所以 vb平面平面 moc.(2)

56、因為因為 acbc，o 為為 ab 的中點，的中點，acbc，ab2，所以，所以 ocab，且，且 co1.連結連結 vo，因為因為vab 是邊長為是邊長為 2 的等邊三角形的等邊三角形，所以所以 vo 3.又平又平面面 vab平面平面 abc，ocab，平面，平面 vab平面平面 abcab，oc平平面面abc，所以所以 oc平面平面 vab，所以，所以 ocvo，所以所以 vc oc2vo22.2.(20 xx南通二調南通二調)如圖如圖，在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中中，acbc，a1b與與 ab1交于點交于點 d，a1c 與與 ac1交于點交于點 e.求證：求證：(1)de平

57、面平面 b1bcc1；(2)平面平面 a1bc平面平面 a1acc1.證明證明：(1)在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中中， 四邊形四邊形 a1acc1為平行四邊形為平行四邊形又又 e 為為 a1c 與與 ac1的交點，的交點， 所以所以 e 為為 a1c 的中點的中點.同理，同理，d 為為 a1b 的中點，所以的中點，所以 debc.又又 bc平面平面 b1bcc1，de 平面平面 b1bcc1，所以所以 de平面平面 b1bcc1.(2)在直三棱柱在直三棱柱 abca1b1c1中，中，aa1平面平面 abc，又又 bc平面平面 abc，所以，所以 aa1bc.又又 acbc，aca

58、a1a，ac平面平面 a1acc1，aa1平面平面 a1acc1，所以，所以 bc平平面面a1acc1.因為因為 bc平面平面 a1bc，所以平面，所以平面 a1bc平面平面 a1acc1.3.(20 xx南京三模南京三模)如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐 abcd 中，中，e，f 分別為棱分別為棱 bc，cd 上的點，且上的點，且 bd平面平面 aef.(1)求證：求證：ef平面平面 abd；(2)若若 bdcd，ae平面平面 bcd，求證：平面，求證：平面 aef平面平面 acd.證明：證明：(1)因為因為 bd平面平面 aef，bd平面平面 bcd，平面，平面 aef平面平面 bcdef，所以所以 bdef.因為因為 bd平面平面 abd，ef 平面平面 ab