平面向量的數(shù)量積z

1、 第10節(jié) 平面向量的數(shù)量積一、知識梳理 兩個向量的夾角定義：已知兩個 向量和,作，則叫向量和的夾角.范圍：向量夾角的范圍是 , 向量和同向時,夾角= ; 向量和反向時,夾角= .向量垂直：如果向量和的夾角= ,則向量和垂直,記作 . 平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量和,它們的夾角為,我們把數(shù)量 叫做向量和的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,即= ,并規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0;幾何意義:數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積(其中是與的夾角). 向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)和都是非零向量,是與的夾角,則當(dāng)和同向時,= .當(dāng)和反向時, = .當(dāng)為銳角時，且和不同向，；當(dāng)為鈍角時，且和不反向，；特

2、別地: = = ，或= | . (是和的夾角). 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè) = = (是和的夾角).若的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)分別為,則= .二、基礎(chǔ)訓(xùn)練若與的夾角為,則= ;若則 ；已知則和的夾角為 ；若則和的夾角為 ；已知且和的夾角為，則= .已知兩個單位向量的夾角為，若向量，則 ；已知向量則當(dāng)時，向量與平行.已知向量滿足，且，則的形狀是.如圖(1)，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若則的值為. (9題) (第10題)如圖，已知中，是的中點，若向量且的終點在的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是.三、例題選講例 已知，（1）; (2) ;分別求.已知向量，求和例 設(shè)為坐標(biāo)原點，為單位圓上的兩點

3、，且，則=.已知且與的夾角為銳角,求實數(shù)的取值范圍.已知為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時，在方向上的投影是多少？例 在中,是的中點，,點在上且滿足學(xué),求的值.如圖，在中，已知點分別在邊上，且為的中點，則=.(2)例已知向量，.求證：四邊形為矩形； 若為直線上的一個動點，當(dāng)取最小值時，求的坐標(biāo).科,X,例如圖，半徑為的扇形的圓心角為分別為線段的中點，為上任意一點，則的取值范圍是.四、課后總結(jié)重視數(shù)量積的定義、模、夾角等公式；應(yīng)用向量運算將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵；計算向量數(shù)量積時要注意方法的選擇，一種是利用坐標(biāo)運算，另一種是整體運算，化歸成基本向量的數(shù)量積運算。答案：1、 知識梳

4、理1. 兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個 非零 向量和,作，則叫向量和的夾角.(2)范圍：向量夾角的范圍是 , 向量和同向時,夾角= ; 向量和反向時,夾角= .(3)向量垂直：如果向量和的夾角= ,則向量和垂直,記作 。2. 平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量和,它們的夾角為,我們把數(shù)量 叫做向量和的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,即= ,并規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.幾何意義:數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積(其中是與的夾角).3. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)和都是非零向量,是與方向相同的單位向量,是與的夾角,則(1)當(dāng)和同向時,= .當(dāng)和反向時, = .當(dāng)為銳角時，且和不同向，；

5、當(dāng)為鈍角時，且和不反向.(2)特別地: = = ，或= (3)| .(4) (是和的夾角).4. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè)(1) = (2) = (3) =0 （4） (是和的夾角).(5)若的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)分別為,則= 。二、基礎(chǔ)訓(xùn)練1若與的夾角為,則= ;2若則 -2 ；3. 已知則和的夾角為 ；4.若則和的夾角為 ；5已知且和的夾角為，則= 1 .6.已知兩個單位向量的夾角為，若向量，則 -6 ；7.已知向量則當(dāng)-時，向量與平行.8.已知向量滿足，且，則的形狀是等邊三角形.9.如圖(1)，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若則的值為.(9題)10.如圖，已知中，是的中點，若向量且的終點在的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是(-2，6).三、例題選講例1 （1）已知，（1）; (2) ;分別求.（2）已知向量，求和例2 （1）設(shè)為坐標(biāo)原點，為單位圓上的兩點，且，則=.（2）已知且與的夾角為銳角,求實數(shù)的取值范圍已知為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時，在方向上的投影是多少？（2）【解析】由題可得，則有（3）例3 （1）在中,是的中點，,點在上且滿足學(xué),求的值。由題可得則有（2）如圖，在中，已知點分別在邊上，且為的中點，則4.(2)例4.已知向量，.（1）求證：四邊形為矩形； （2）若為直線上的一個動點，當(dāng)取最小值時，求的坐標(biāo).解：（1）由題可