小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(附練習(xí)題和答案)

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))

本教程共30講

第1講加減法的巧算

在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，為了又快又準(zhǔn)確，除了要熟練地掌握計(jì)算法則外，還需

要掌握一些巧算方法。加減法的巧篡王墓是“湊整'；就是將算式中的數(shù)分成

若干組，使每組的運(yùn)算結(jié)果都是整十、整百、整千……的數(shù)，再將各組的結(jié)果

求和。這種“化零為整”的思想是加減法巧算的基礎(chǔ)。

先講加法的巧算。加法具有以下兩個(gè)運(yùn)算律：

加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。即

a+b=b-a,

其中a,b各表示任意一數(shù)。例如，5-6=6-5。

一般地，多個(gè)數(shù)相加，任意改變相加的次序，其和不變。例如，

a+b+c+d=d+b+a+ch?

其中a,b,c,d各表示任意一數(shù)。

加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上笫三個(gè)數(shù)；或者，先把

后兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加，它們的和不變。即

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),

其中a,b,c各表示任意一數(shù)。例如，

4+9+7=(4二9尸7=4+(9-7)<>

一般地，多個(gè)數(shù)(三個(gè)以上濟(jì)目加，可先對其中幾個(gè)數(shù)相加，再與其它數(shù)相加。

把加法交換律與加法結(jié)合律綜合起來應(yīng)用，就得到加法的一些巧算方法。

1.湊整法

先把加在一起為整十、整百、整千……的加數(shù)加起來，然后再與其它的數(shù)相

加。

例1計(jì)算：(1)23+54+18+47+82j

(2X1350+49+68)+(51+32+1650)o

解：(1)23+54+18+47+82

=(23+47)+(18+82)+54

=70+100+54=224；

(2X1350+49+68)+(51+32+1650)

=1350+49+68+51+32+1650

=(1350+1650)+(49+51)+(68+32)

=3000+100+100=3200?

2.借數(shù)度整法

有些題目直觀上湊整不明顯，這時(shí)可“借數(shù)”湊整。例如，計(jì)算976+85,

可在85中借出24,即把85拆分成24+61,這樣就可以先用976加上24,“湊”

成1000,然后再加61。

例2計(jì)算：(1)57+64+238+46；

(2)4993+3996+5997+848o

解：(1)57+64+238+46

=57+(62+2)+238+(43+3)

=(57+43)+(62+238)+2+3

=100+300+2+3=405；

(2)4993+3996+5997+848，

=4993+3996+5997+(7+4+3+834)

=(4993+7)+(3996+4)+(5997+3)+834

=5000+4000+6000+834=15834。

下面講減法和加減法混合運(yùn)算的巧算。力口、減法有如下一些重要性質(zhì)：

(1應(yīng)連減或加、減混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號(hào)，那么計(jì)算時(shí)可以帶著運(yùn)

算符號(hào)“搬家'：例如，

a-b-c—a-c-b,a-b+c=a-c-b,

其中a,b,c各表示一數(shù)。

(2應(yīng)加、減法混合運(yùn)算中，去括號(hào)時(shí)：如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，那么去掉括

號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)不變；如果括號(hào)前面是“」號(hào)，那么去掉括號(hào)后,

括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)“+”變?yōu)樽優(yōu)椤?例如，

a+(b-c尸a+b-c,

a-(b+c尸a-b-c,

a-(b-c)=a-b+c。

(3應(yīng)加、減法混合運(yùn)算中，添括號(hào)時(shí)：如果添加的括號(hào)前面是“+”號(hào)，那么

括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)不變；如果添加的括號(hào)前面是”號(hào)，那么括號(hào)內(nèi)的

數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)“+”變?yōu)?-變?yōu)椤?'：例如,

a+b-c=a+(b-c),

a-b+c=a-(b-c),

a-b-c=a-(b+c)o

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，可得減法或加、減法混合計(jì)算的一些簡便方法。

3.分組湊整法

例3計(jì)算：(1)875-364-236；

(2)1847-1928+628-136-64；

(3)1348-234-76+2234-48-24?

解：(1)875-364-236

=875-(364+236)

=875-600=275；

(2)1847-1928+628-136-64

=1847-(1928-628)-(136+64)

=1847-1300-200=347；

(3)1348-234-76+2234-48-24

=(1348-18)+(2234-234卜(76+24)

=1300+2000-100=3200o

4加補(bǔ)湊整法

例4計(jì)算：⑴512-382；

(2)6854-876-97；

(3)397-146+288-339。

解：(1)512-382=(500+12)-(400-18)

=500^12-400+18

=(500-400)+(12+18)

=100+30=130|

(2)6854-876-97

=6854-(1000-124)-(100-3)

=6854-1000+124-100+3

=5854+24+3=5881；

(3)397-146+288-339

=397+3-3-146+288+12-12-339

=(397+3)+(288+12)-(146+3+12+339)

=400+300-500=200。

練習(xí)1

巧算下列各題：

1.42+71+24+29+58。

2.43+(38+45)+(55+62+57)。

3.698+784+158?

4.3993+2996+7994+135。

5.4356+1287-356。

6.526-73-27-26o

7.4253-(253-158)o

8.1457-(185+457)o

9.389-497+234o

10.698-154+269+787,

練習(xí)1答案與提示

1.224。2.300。3.1640。4.15118。5.5287。6.400。7.4158。8.815。9.126。

10.1600o

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本教程共30講

第19講能被3整除的數(shù)的特征

上一講我們講了能被2,5整除的數(shù)的特征，根據(jù)這些特征，很容易

就能判別出一個(gè)數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會(huì)問，有沒有類似的

簡便方法，直接判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除？

我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù):

18,345,4737,25674

18能被3整除，1+8=9也能被3整除；

345能被3整除,3+4+5=9也能被3整除;

4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；

25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。

怎么這么巧？我們再試一個(gè)：7896852能被3整除,7+8+9+6+8+5+2=45

也能被3整除。好了，不用再試了，同學(xué)們可能已經(jīng)在想：“是不是所有

能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3整除？”結(jié)論是肯定的。它的一

般性證明這里無法介紹，我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。

由99和9都能被3整除,推知（7X99+4X9）能被3整除。再由741

能被3整除，推知（7+4+1）能被3整除；反之,由（7+4+1）能被3整除,推

知741能被3整除。

因此，判斷一個(gè)整數(shù)能否被3整除的簡便方法是：

如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么此整數(shù)能被3整除。如果

整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除，那么此整數(shù)不能被3整除。

例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除：

2574,38974,587931。

解：因?yàn)?+5+7+4=18,18能被3整除，所以2574能被3整除；

因?yàn)?+8+9+7+4=31,31不能被3整除，所以38974不能被3整除；

因?yàn)?+8+7+9+3+1=33,33能被3整除,所以587931能被3整除。

為了今后使用方便，我們介紹一個(gè)表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)

中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母來表示時(shí)，為防止理解錯(cuò)誤，就在這個(gè)多位數(shù)

的上面劃一線段來表示這個(gè)多位數(shù)。例如，?！霰硎具@個(gè)三位數(shù)的百、十、

個(gè)位依次是3,a,5；又如，或3"表示這個(gè)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位

依次是a,b,c,do

例2六位數(shù)257a38能被3整除,數(shù)字a=?

解：2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2,5或8。

即符合題意的a是2,5或8。

例3由1,3,5,7這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)

能被3整除？

解：在1,3,5,7這四個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)，共有4組：

1,3,5；1,3,7；1,5,7；3,5,7。其中，1+3+5和3+5+7能被

3整除，所以，由1,3,5或3,5,7寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被

3整除。由1,3,5可寫成135,153,315,351,513,531六個(gè)三位數(shù)；

同理，由3,5,7也能寫成6個(gè)三位數(shù)。

所以，符合題意的三位數(shù)有6X2=12（個(gè)）。

例4被2,3,5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？

解：除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是

3,5,7,9,11,…，27,29,31,33,???

被3除余1的所有整數(shù)是

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

被5除余1的所有整數(shù)是

6,11,16,21,26,31,36,…

上面三列數(shù)中，第一個(gè)同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)是31,所以31是同時(shí)滿足被2,

3,5除均余1且不等于1的最小數(shù)。

例4中使用的方法是解這類題型的基本方法，但不夠簡捷。一個(gè)較簡捷的

方法是：

因?yàn)?大于2和3,所以先從被5除余1的數(shù)

1,6,11,16,21,26,31,36,…

中找出第-個(gè)（1除外）同時(shí)滿足被2和3除都余1的數(shù)31,就為所求。

到五年級(jí)學(xué)了更多的知識(shí)后，還可直接由2X3X5+1=31得到所求數(shù)。

例5同時(shí)能被2,3,5整除的最小三位數(shù)是幾？

解：能被5整除的三位數(shù)是

100,105,110,115,120,125,…其中，第一個(gè)能同時(shí)被2,3整

除的數(shù)是120（它是偶數(shù)，且1+2+0=3）,故120為所求。

練習(xí)19

1.直接判斷25874和978651能否被3整除。

3.由2,3,4,5這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾

個(gè)能被3整除？

4.(1)被2,3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？

(2)被3,5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾？

5.同時(shí)能被2,3,5整除的最小自然數(shù)是幾？

6.同時(shí)能被2,3,5整除的最大三位數(shù)是幾？

7.一根鐵絲長125厘米，要把它剪成長2厘米、3厘米、5厘米的三

種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段？

答案與提示練習(xí)19

1.不能;能。

2.a=0,3,6,9o

3.12個(gè)。

4.(1)7；(2)17o

5.30o

6.990o

7.60段。

提示：要使剪成盡量多的小段，2厘米長的應(yīng)盡量多。因?yàn)槿N規(guī)格

都要有，125為奇數(shù)，剪去若干個(gè)2厘米長的小段后，剩下的長度仍是奇

數(shù)，所以3厘米、5厘米長的至少要3段，125=114+3+3+5=2X57+3

X2+5X1,所以2厘米的剪57段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，

此時(shí)剪成的小段最多，為

57+2+1=60（段）。

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本教程共30講

第2講橫式數(shù)字謎（一）

在一個(gè)數(shù)學(xué)式子（橫式或豎式）中擦去部分?jǐn)?shù)字，或用字母、文字來代

替部分?jǐn)?shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求

出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。

例如，求算式324+口=528中口所代表的數(shù)。

根據(jù)“加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)”知，

□=582-324=258。

又如，求右豎式中字母A,B所代表的數(shù)字。顯然個(gè)位數(shù)相減時(shí)必須

借位，所以，由12-B=5知，B=12-5=7；由AT=3知，A=3+1=4O

解數(shù)字謎問題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力，又能加深對運(yùn)算的理解，還是

培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。

這一講介紹簡單的算式（橫式）數(shù)字謎的解法。

解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則：

（1）一個(gè)加數(shù)+另一個(gè)加數(shù)=和；

（2）被減數(shù)-減數(shù)=差；

（3）被乘數(shù)X乘數(shù)=積；

（4）被除數(shù)十除數(shù)=商。

由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則：

由（1）,得和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)；

其次，要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如，8可用加法拆分為

8=0+8=1+7=2+6=3+5=44-4；

24可用乘法拆分為

24=1X24=2X12=3X8=4X6（兩個(gè)數(shù)之積）

=1X2X12=2X2X6="(三個(gè)數(shù)之積)

=1X2X2X6=2X2X2X3=一(四個(gè)數(shù)之積)

例1下列算式中，口，O,△,☆,*各代表什么數(shù)?

(1)□+5=13-6；(2)28-0=15+7；

(3)3XA=54；(4)☆+3=87；

(5)56+*=7。

解：(1)由加法運(yùn)算規(guī)則知，口=13-6-5=2；

(2)由減法運(yùn)算規(guī)則知,0=28-(15+7)=6；

(3)由乘法運(yùn)算規(guī)則知，△=54+3=18；

(4)由除法運(yùn)算規(guī)則知,☆=87X3=261；

(5)由除法運(yùn)算規(guī)則知，*=56+7=8。

例2下列算式中，口，O,△,☆各代表什么數(shù)？

(1)□+□+□=48；

(2)0+0+6=21-0；

(3)5XA-184-6=12；

(4)6X3-454-☆=13o

解：(1)□表示一個(gè)數(shù)，根據(jù)乘法的意義知，

□+口+口=口*3,

故口=48+3=16。

(2)先把左端(0+0+6)看成一個(gè)數(shù)，就有

(O+O+6)+O=21,

0X3=21-6,

0=15+3=5。

(3)把5XZk,18+6分別看成一個(gè)數(shù)，得到

5XA=12+18^-6,

5XA=15,

△=15+5=3。

(4)把6X3,45+☆分別看成一個(gè)數(shù)，得到

454-☆=6X3-13,

45+☆=5,

☆=45+5=9。

例3(1)滿足58<12XE]V71的整數(shù)□等于幾？

(2)180是由哪四個(gè)不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)按

從小到大的次序填在下式的口里。

i80=nxnxnxno

(3)若數(shù)口，△滿足

□X△=48和□+△=?,

則口，△各等于多少？

分析與解：(1)因?yàn)?/p>

584-12=4....10,714-12=5...11,

并且口為整數(shù)，所以，只有口=5才滿足原式。

(2)拆分180為四個(gè)整數(shù)的乘積有很多種方法，如

180=1X4X5X90=1X2X3X30=-

但拆分成四個(gè)“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，如

180=2X2X5X9=2X3X5X6—

若再限制拆分成四個(gè)“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小

到大的次序排列只有下面一種：

180=2X3X5X6。

所以填的四個(gè)數(shù)字依次為2,3,5,6o

(3)首先，由口+4=3知，口>△,因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時(shí);

有

48=48X1=24X2=16X3=12X4=8X6,

其中，只有48=12X4中，124-4=3,因此

口=12,A=4o

這道題還可以這樣解：由□+4=3知，口=/\*3。把口'△=48中的

口換成△XB,就有

(△X3)XA=48,

于是得到△XZ\=48+3=16。因?yàn)?6=4X4,所以4=4。再把口=△

X3中的△換成4,就有

□=AX3=4X3=12o

這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。

下面，我們再結(jié)合例題講一類“填運(yùn)算符號(hào)”問題。

例4在等號(hào)左端的兩個(gè)數(shù)中間添加上運(yùn)算符號(hào)，使下列各式成立：

(1)4444=24；

(2)55555=6o

解：(1)因?yàn)?+4+4+4V24,所以必須填一個(gè)“X"。4X4=16,剩下

的兩個(gè)4只需湊成8,因此，有如下一些填法：

4X4+4+4=24；

4+4X4+4=24；

4+4+4X4=24。

(2)因?yàn)?+1=6,等號(hào)左端有五個(gè)5,除一個(gè)5夕卜，另外四個(gè)5湊成1,至

少要有一個(gè)“七”，有如下填法：

5+5+5-5+5=6；

5+54-5+5-5=6；

5+5X5+54-5=6；

5+54-5X54-5=6o

由例4看出，填運(yùn)算符號(hào)的問題一般會(huì)有多個(gè)解。這些填法都是通過

對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地'‘試算"，那么

就可能走很多彎路。

例5在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：

823=33o

分析與解：首先考察右端“33”，它有四種填法：

3+3=6；3-3=0；

3X3=9；3+3=1。

再考察左端“823”，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)奇數(shù)3,所以要想得到奇數(shù)，3

的前面只能填“十”或，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“X”。

經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法：

8-2+3=3X3；84-2-3=3+3。

填運(yùn)算符號(hào)可加深對四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識(shí)，也是培養(yǎng)分析能力的好

內(nèi)容。

練習(xí)2

1.在下列各式中，口分別代表什么數(shù)？

□+16=35；47-口=12；0-3=15；

4X0=36；□4-4=15；84+口=4。

2.在下列各式中，口，O,△,☆各代表什么數(shù)？

(□+350)4-3=200；(54-0)X4=0；

360-AX7=10；4X9-☆+5=1。

3.在下列各式中，口,O,△各代表什么數(shù)？

150-口-口=口;

OX0=0+0；

△X9+2XA=22o

4.120是由哪四個(gè)不同的一位數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)字按

從小到大的次序填在下式的口里：

i2o=nxnxnxDo

5.若數(shù)口，△同時(shí)滿足

口*△=36和口-4=5,

則口，△各等于多少？

6.在兩數(shù)中間添加運(yùn)算符號(hào)，使下列等式成立：

(1)55555=3；

(2)1234=1。

7.在下列各式的口內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：

12口4口4=10口3。

8.在下列各式的口內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：

123口45口67口89=100；

123口45口67口8口9=100；

123口4口5口67口89=100；

123口4口5口6口7口8口9=100；

12口3口4口5067口8口9=100；

1口23口4口56口7口8口9=100；

12口3口4口5口6口7口89=100。

答案與提示練習(xí)2

1.略。

2.□=250,0=54,△=50,☆=175。

3.口=50,0=0或2,△=2o

4.1X3X5X8或1X4X5X6或2X3X4X5。

5.口=9,A=4o

6.（1）5-5+5-555=3；（2）1X2+3-4=l?

7.124-4+4=10-3或12+4+4=10+3。

8.123-45-67+89=100；

123+45-67+8-9=100；

123+4—5+67—89=100；

123-4-5-6-7+8-9=100；

12+3—4+5+67+8+9=100；

1+23-4+56+7+8+9=100；

12-3-4+5-6+7+89=100。

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第3講豎式數(shù)字謎（一）

這一講主要講加、減法豎式的數(shù)字謎問題。解加、減法數(shù)字謎問題的

基本功，在于掌握好上一講中介紹的運(yùn)算規(guī)則（1）（2）及其推演的變形規(guī)

則，另外還要掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過綜合觀察、分析，

找出解題的“突破口”。題目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就

不同。這需要通過不斷的“學(xué)”和“練”，逐步積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)提

高解題能力。

例1在右邊的豎式中，A,B,C,D各代表什么數(shù)字？

解：顯然，C=5,D=l（因兩個(gè)數(shù)

字之和只能進(jìn)一位）。

由于A+4+1即A+5的個(gè)位數(shù)為3,且必進(jìn)一位（因?yàn)?>3）,所以

A+5=13,從而A=13-5=8。

同理，由7+B+l=12,即B+8=12,得到B二

12-8=4。

故所求的A=8,B=4,C=5,D=lo

例2求下面各豎式中兩個(gè)加數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和：

分析與解：（1）由于和的個(gè)位數(shù)字是9,兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和不大于9

+9=18,所以兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位上的兩個(gè)方框里的數(shù)字之和只能是9。（這

是“突破口”）

再由兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)之和未進(jìn)位，因而兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字之和就

是140

故這兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是9+14=23。

（2）由于和的最高兩位數(shù)是19,而任何兩個(gè)一位數(shù)相加的和都不超過18,

因此，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)相加后必進(jìn)一位。（這是“突破口”，與（1）不同）

這樣，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字相加之和是15,十位數(shù)字相加之和是18。

所求的兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是15+18=33。

注意：（1）（2）兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。（1）是

從和的個(gè)位著手分析，（2）是從和的最高兩位著手分析。

例3在下面的豎式中，A,B,C,D,E各代表什么數(shù)？

分析與解：解減法豎式數(shù)字謎，與解加法豎式數(shù)字謎的分析方法一樣，所

不同的是“減法”。

首先，從個(gè)位減起（因已知差的個(gè)位是5）。4V5,要使差的個(gè)位為5,

必須退位，于是，由14-D=5知，D=14-5=9o（這是“突破口”）

再考察十位數(shù)字相減：由BT-0<9知，也要在百位上退位，于是有

10+B-l-0=9,從而B=0。

百位減法中，顯然E=9。

千位減法中，由10+AT-3=7知，A=U

萬位減法中，由9T-C=0知，C=8o

所以，A=1,B=0,C=8,D=9,E=9O

例4在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個(gè)不同的數(shù)字。

請把這個(gè)文字式寫成符合題意的數(shù)字式。

分析與解：例3是從個(gè)位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。

由一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)的差是三位數(shù)知，“炮”=1。

被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”=

90至此，我們已得到下式：

由上式知，個(gè)位上的運(yùn)算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”

二2。

因此，符合題意的數(shù)字式為：

例5在右邊的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們

各等于多少？

解：由（4X謎）的個(gè)位數(shù)是0知，“謎”=0或5。

當(dāng)“謎”=0時(shí)-，（3X式）的個(gè)位數(shù)是0,推知“式”=0,與“謎”

W"式”矛盾。

當(dāng)“謎”=5時(shí)-，個(gè)位向十位進(jìn)2。

由（3X式+2）的個(gè)位數(shù)是0知，“式”=6,且十位要向百位進(jìn)2。

由（2X填+2）的個(gè)位數(shù)是0,且不能向千位進(jìn)2知，“填”=4。

最后推知，“巧”=lo

所以''巧”=1,“填”=4,“式”=6,“謎”=5。

練習(xí)3

1.在下列各豎式的口中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立：

2.下列各豎式中，口里的數(shù)字被遮蓋住了，求各豎式中被蓋住的各數(shù)

字的和：

3.在下列各豎式的口中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：

4.下式中不同的漢字代表1?9中不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同

的數(shù)字。這個(gè)豎式的和是多少？

5.在下列各豎式的口中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：

答案與提示練習(xí)3

1.(1)764+265=1029；(2)981+959=1940；(3)99+903=1002；

(4)98+97+923=1118o

2.(1)28；(2)75o

3.(1)23004-18501=4503；(2)1056-989=67；(3)

24883-16789=8094；(4)9123-7684=1439。

4.987654321。

5.提示：先解上層數(shù)謎再解下層數(shù)謎。

(2)臼回9叵I

(1)團(tuán)_回叵|9

+3回4叵］9

8叵］2

4回1+固

—-9回

回回回回

叵］5

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第4講豎式數(shù)字謎(二)

本講只限于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法豎式數(shù)字謎問題。

掌握好乘、除法的基本運(yùn)算規(guī)則(第2講的公式(3)(4)及推演出的變

形式子)是解乘、除法豎式謎的基礎(chǔ)。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)形式，通過綜合觀察、

分析，找出“突破口”是解題的關(guān)鍵。

例1在左下乘法豎式的口中填入合適的數(shù)字，使豎式成立。

□8□團(tuán)8區(qū)

X□X回

70□570⑹5

分析與解：由于積的個(gè)位數(shù)是5,所以在乘數(shù)和被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)中，一個(gè)

是5,另一個(gè)是奇數(shù)。因?yàn)槌朔e大于被乘數(shù)的7倍，所以乘數(shù)是大于7的

奇數(shù)，即只能是9（這是問題的“突破口”），被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)是5。

因?yàn)?X9V70V8X9,所以，被乘數(shù)的百位數(shù)字只能是7。至此，求

出被乘數(shù)是785,乘數(shù)是9（見右上式）。

例2在右邊乘法豎式的口里填入合適的數(shù)字，使豎式成立。

分析與解：由于乘積的數(shù)字不全，特別是不知道乘積的個(gè)位數(shù)，我們只能

從最高位入手分析。

乘積的最高兩位數(shù)是2口，被乘數(shù)的最高位是3,由

3X□+口=2口

（乘數(shù)）（進(jìn)位數(shù)）

可以確定乘數(shù)的大致范圍，乘數(shù)只可能是6,7,8,9o到底是哪一

個(gè)呢？我們只能逐一進(jìn)行試算：

（1）若乘數(shù)為6,則積的個(gè)位填2,并向十位進(jìn)4,此時(shí)，乘數(shù)6與被乘數(shù)

的十位上的數(shù)字相乘之積的個(gè)位數(shù)只能是5（因4+5=9）。這樣一來，被乘

數(shù)的十位上就無數(shù)可填了。這說明乘數(shù)不能是6。

（2）若乘數(shù)為7,則積的個(gè)位填9,并向十位進(jìn)4。與（1）分析相同，為使

積的十位是9,被乘數(shù)的十位只能填5,從而積的百位填4。得到符合題

意的填法如右式。

307

209因

（3）若乘數(shù)為8,則積的個(gè)位填6,并向十位進(jìn)5。為使積的十位是9,被

乘數(shù)的十位只能填3或8。

當(dāng)被乘數(shù)的十位填3時(shí)，得到符合題意的填法如右式。當(dāng)被乘數(shù)的十

位填8時(shí)，積的最高兩位為3,不合題意。

3囪7

XS

2回|9叵|

(4)若乘數(shù)為9,則積的個(gè)位填3,并向十位進(jìn)6。為使積的十位是9,被

乘數(shù)的十位只能填7。而此時(shí)，積的最高兩位是3團(tuán)，不合題意。

綜上知，符合題意的填法有上面兩種。

除法豎式數(shù)字謎問題的解法與乘法情形類似。

例3在左下邊除法豎式的口中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使豎式成立。

□o□團(tuán)。團(tuán)

3口□口口郎團(tuán)團(tuán)口|回

4848_______

1□1國

□□一回

o-0

分析與解：由48+8=6即8X6=48知，商的百位填6,且被除數(shù)的千位、

百位分別填4,8。又顯然，被除數(shù)的十位填1。由

1口=商的個(gè)位*8

知，兩位數(shù)1口能被8除盡，只有16+8=2,推知被除數(shù)的個(gè)位填6,

商的個(gè)位填2。填法如右上式。

例3是從最高位數(shù)入手分析而得出解的。

例4在右邊除法豎式的口中填入合適的數(shù)字。使豎式成立。

分析與解：從已知的幾個(gè)數(shù)入手分析。

首先，由于余數(shù)是5,推知除數(shù)＞5,且被除數(shù)個(gè)位填5。

「口口4口

四口口□□口

48

□2

5

由于商4時(shí)是除盡了的，所以，被除數(shù)的十位應(yīng)填2,用3于3X4=12,

8X4=32,推知，除數(shù)必為3或8。由于已經(jīng)知道除數(shù)＞5,故除數(shù)=8。（這

是關(guān)鍵！）

從8X4=32知，被除數(shù)的百位應(yīng)填3,且商的百位應(yīng)填0。

從除數(shù)為8,第一步除法又出現(xiàn)了4,8X8=64,8X3=24,這說明商

的千位只能填8或3。試算知，8和3都可以。所以，此題有下面兩種填

法。

「團(tuán)回40_回回4回

叼團(tuán)團(tuán)團(tuán)②國叫因團(tuán)團(tuán)，一

4848

囪團(tuán)團(tuán)團(tuán)

團(tuán)2囪2

55

練習(xí)4

1.在下列各豎式的口里填上合適的數(shù):

1）口口6口（2）口3口9

X7x口

5□?！?□9□32

2.在右式中,“我"、“愛”、“數(shù)”、“學(xué)”分別代表什么數(shù)時(shí),

乘法豎式成立？

愛數(shù)學(xué)4

x3

我愛數(shù)學(xué)

3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”各代表一個(gè)不同的數(shù)字,

它

們各等于多少時(shí)，右邊的乘法豎式成立？

國祖愛們我

X4

我們愛祖國

4.在下列各除法豎式的口里填上合適的數(shù)，使豎式成立:

(1)_□0□(2)□□4

7口□□□7□□□

□66

□

□口1

6"12

□□

o-

5.在下式的口里填上合適的數(shù)。

口口口

54五口

□口

3□

答案與提示練習(xí)4

1.(1)7865X7=55055；

(2)2379X8=19032或7379X8=59032。

2.“我”=5,“愛”=1,“數(shù)”=7,“學(xué)”=2。

3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”分別代表8,7,9,1,

4.(1)5607X7=801；(2)822+3=274。

5.

囪一

S回0]0]

固J4回⑶

回FT囪畫回）4回⑶

即回或回回E[5]

3囹

3.

3②3回

-7

-7-7

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第5講找規(guī)律(一)

這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”

的規(guī)律。

按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，

(1)1,2,3,4,5,6,???

(2)1,2,4,8,16,32；

(3)1,0,0,1,0,0,1,???

(4)1,1,2,3,5,8,13o

一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列

(1)的第3項(xiàng)是3,數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)

記作a?o

數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)(4),也可以是無限多個(gè)，如

數(shù)列(1)(3)。

許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這

些規(guī)律。

數(shù)歹U(l)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，

其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n項(xiàng)a.=n。

數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)X2,或第n項(xiàng)

數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1,0,0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。

數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即

a3=l+l=2,1+2=3,25=2+3=5,

a6=3+5=8,&=5+8=13。

常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：

第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如

數(shù)列(1)(2)。

第二.類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)

列(3)(4)。

第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為

復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。

例1找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：

(1)4,7,10,13,(),???

(2)84,72,60,(),()；

(3)2,6,18,(),(),…

(4)625,125,25,(),()；

(5)1,4,9,16,(),???

(6)2,6,12,20,(),(),…

解：通過對已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)

(1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填16。

(2)的規(guī)律是:前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48,36o

(3)的規(guī)律是：前項(xiàng)X3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填54,162。

(4)的規(guī)律是：前項(xiàng)+5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5,1。

(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為

1=1X1,4=2X2,9=3X3,16=4X4,

所以應(yīng)填5X5=25。

(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為

2=1X2,6=2X3,12=3X4,20=4X5,

所以，應(yīng)填5X6=30,6X7=42。

說明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此既可以用n

來表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為

(l)a?=3?+l；(2)a?=96-12n；

：

⑶3tl=2X3"'；(4)a“=5°"；(5)a?=n；(6)a?=n(n+l)o

這樣表示的好處在于，如果求第100項(xiàng)等于幾，那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地

計(jì)算，直接就可以算出來，比如數(shù)列U)的第100項(xiàng)等于3X100+1=301。

本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項(xiàng)，當(dāng)然沒有必要計(jì)算大于5的項(xiàng)數(shù)了。

例2找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：

(1)1,2,2,3,3,4,(),()；

(2)(),(),10,5,12,6,14,7；

(3)3,7,10,17,27,()；

(4)1,2,2,4,8,32,()。

解：通過對各數(shù)列已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。

(1)把數(shù)列每兩項(xiàng)分為一組，一，一，S，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前

一組每個(gè)數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4,5O

(2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組：10,5,12,6,14,7,每組中兩數(shù)的

商都是2,且由5,6,7的次序知，應(yīng)填8,4o

(3)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(17+27=)44。

(4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(8X

32=)256o

例3找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：

(1)18,20,24,30,()；

(2)11,12,14,18,26,()；

(3)2,5,11,23,47,(),()。

解：(1)因20-18=2,24-20=4,30-24=6,說明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列

2,4,6,…其規(guī)律是“依次加2”，因?yàn)?后面是8,所以，a5-ai=a5-30=8,

故

@5=8+30=38o

(2)12-11=1,14-12=2,18-14=4,26-18=8,組成一新數(shù)列1,2,4,8,…

按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5=a6-26=16,故ae=16+26=42。

(3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系，后項(xiàng)=前項(xiàng)X2+1,所以

a6=2a5+l=2X47+1=95,

a7=2a6+l=2X95+1=191o

例4找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：

(1)12,15,17,30,22,45,(),()；

(2)2,8,5,6,8,4,(),()。

解:(1)數(shù)列的第1,3,5,…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12,17,22,…其規(guī)律

是“依次加5”，22后面的項(xiàng)就是27；數(shù)列的第2,4,6,…項(xiàng)組成一個(gè)

新數(shù)列15,30,45,…其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項(xiàng)就是60。故

應(yīng)填27,60o

(2)如(1)分析，由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2,5,8,…中，8后面的數(shù)應(yīng)為

11；由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8,6,4,-中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填

11,2o

練習(xí)5

按其規(guī)律在下列各數(shù)列的()內(nèi)填數(shù)。

1.56,49,42,35,()。

2.11,15,19,23,(),…

3.3,6,12,24,()o

4.2,3,5,9,17,(),…

5.1,3,4,7,11,()。

6.1,3,7,13,21,()。

7.3,5,3,10,3,15,(),()o

8.8,3,9,4,10,5,(),()□

9.2,5,10,17,26,()o

10.15,21,18,19,21,17,(),()□

11.數(shù)列1,3,5,7,11,13,15,17o

(1)如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？

(2)如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？

答案與提示練習(xí)5

1.28o

2.27o

3.48。

4.33。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為1,2,4,8,16,…

5.18o提示：后項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。

6.310提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為2,4,6,8,10o

7.3,20o

8.11,6o

2

9.37o提示:a?=n+l0

10.24,15o提示：奇數(shù)項(xiàng)為15,18,21,24；偶數(shù)項(xiàng)為21,19,

17,150

11.(1)缺9,在7與11之間；(2)多15,因?yàn)槌?5以外都不是合數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))

本教程共30講

第6講找規(guī)律(-)

這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。

例1觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個(gè)規(guī)律將第四個(gè)圖形補(bǔ)充完整。

分析與解：觀察前三個(gè)圖，從左至右，黑點(diǎn)數(shù)依次為4,3,2個(gè)，并且每

個(gè)圖形依次按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,所以第四個(gè)圖如右圖所示。

觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方