最新平面向量與空間向量

1、平面向量與空間向量平面向量1.向量的概念(1) 向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法 而：字母表示：a： 坐標(biāo)表示法4= x / +尸尸(x, y).(3) 向量的長度：即向量的大小，記作丨°丨.(4) 特殊的向量：零向量d=0O I a I =0.單位向量厶為單位向量O I al =1.X. = X,(5)相等的向量：大小相等，方向相同(川，八)=(壯，y=) O彳71 =兒 相反向量：ep-bU>bp-aU> atrO(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a/b.平行向量也稱為共線向量.2.向量的運算-a向凋7 5 一

2、)B 一一o z(x , + -A fa -Do-5 - 一 -B f a -A數(shù)乘向量滿量 鼠帆向 方方-.'0. 個與與 _一 z - a f f a -n A A A 是冃瞅眄眄 加 mA>0z<0z=0-a-a -ID-a + + Tb > i a - d A -一 a ) (/+-(«/£向量的數(shù)量積數(shù)= H -b 畑B-a 匚Ia12 一s-IP f c L («亦 + 'A + r 勿= a方刁 -arc 刃 =h辰加M 幾一G V。3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理c, c是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，

3、對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)兒,人2,使a=人心+(2) 兩個向量平行的充要條件a/bOa=入 b(bH6 0瘁必衛(wèi)必=0.(3) 兩個向量垂直的充要條件a丄a b=OOxi疋+門=0.(4) 線段的定比分點公式設(shè)點尸分有向線段麗所成的比為兒 即帀=入西,則1 -1 0P =一 OP. +-OP.(線段的定比分點的向量公式) 1 + 21 1 + 幾 2X. + 加，x =,«1+2(線段定比分點的坐標(biāo)公式)1 + 2當(dāng)久=1時，得中點公式：0P =-x =（亦+亦）或y =(5)平移公式設(shè)點尸(*, y)按向量&=(力，k)平移后得到點F (顯，/),則 OP&

4、#39; = 0P"或（xr = x + h,b'=y+化曲線尸f(Q按向量尸(力，k平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為: y k=f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：一二=_2_ =上= 2/?.sin A sin 3 sill C余弦定理：£=F + c'2方ccosS,lf=c +a-2 cacosB,c = a -rI)2abcosC.空間向量1 空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：(1)空間的一個平移就是一個向量(2) 向量一般用有向線段表不同向等長的有向線段表不同一或相等的向量.(3) 空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表

5、示.2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下OB = OA + AB = a+ bBA = OA-OB = a-bOP = Aa(AeR)運算律:加法交換律:a + b=h + a(2) 加法結(jié)合律： +厲+ " + 0 + 6(3) 數(shù)乘分配律：兄 + 5)=花+力3 共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 N平行于5記作N/方.當(dāng)我們說向量乳5共線(或N/5)時，表示石、方的有向線段所在的直線可能是同一直 線，也可能是平行直線.4.共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量N、b,

6、 a/b的充要條件是存在實數(shù)兒 使萬=A b .推論：如果/為經(jīng)過已知點/且平行于已知非零向量萬的直線，那么對于任意一點0,點尸在 直線/上的充要條件是存在實數(shù)£滿足等式OP =OA + t a .其中向量萬叫做直線/的方向向量.5向量與平面平行：已知平面a和向量乳 作OA = dt如果直線少平行于&或在&內(nèi)，那么我們說向量0平行于 平面S記作:cilia .通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.說明：空間任意的兩向量都是共面的.6共面向量定理：如果兩個向量萬少不共線，p與向量萬少共面的充要條件是存在實數(shù)兀），使p = xa + yb.推論：空間一點P位于平面

7、內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,兒 使MP = xMA+yMB或?qū)臻g任一點0,有麗=OM + xMA+yMB7 空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量, 存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p = xa + yb +推論：設(shè)O,A,3,C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)?！币沂筄P = xOA+yOB + zOC8 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a.b,在空間任取一點0,作OA = ayOB = b,則ZAOB叫做向量7與5的夾 角，記作<a,b> ；且規(guī)定0<<a.b><,顯然有<

8、a,b>=<b,a> ;若<a,b>=-,則稱Q與萬互 相垂直，記作：丘丄匸9向量的模:設(shè)0A = a,則有向線段0人的長度叫做向量7的長度或模，記作：|引.10 向量的數(shù)量積:a-5 = a-b-cos<a,b> .已知向量AB = a和軸/, P是/上與/同方向的單位向量，作點A在/上的射影作點B在/ 上的射影則麗叫做向量廳在軸/上或在巨上的正射影.可以證明麗的長度|麗冃麗|cosC,0>=0可.11 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：(3) aa-a .(1) de=acos<a,e> .12 空間向量數(shù)量積運算律:(3) a-(b + c

9、) = a-b + a-c (分配(1) (Aa) b=A(a b) = aAb) . (2) a b=b a (交換律) 律）空間向量的坐標(biāo)運算知識回顧：（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的*軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱 軸）.z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）. 令：二（為直,勾，爲(wèi)）,則fff fa + h = （al+bia2±b1a3±b3） Aa = Aal,Aa2,Aai）A e R） a b =aLb+a2b2+aa / ： O°i=肋1，=肋、,勺=肋 3（2 e R） o = = a Lb t+a b -,+a0bi b2 b3p|

10、 = >!aa = J叮+a,2+aj （用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：|«|2 = ««=> ”卜-Jaa ）-r a ba.b. +a-,b-> +a,b,cos < a,b >=-0卜丨糾 Ja： + 屍 + aj - Jbj +覺+員 空間兩點的距離公式：d = Je -“）2 +（）、一兒）2 +（乙2 -（2）法向量：若向量：所在直線垂直于平面則稱這個向量垂直于平面記作：丄-如果:丄a那么向量：叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法： 利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面Q的法向量.AB是平面&的一條射線，其 中Aes則點B到平面a的距離為坐1I川 利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)兀，工分別是二面角中平面的法向量.則幾,云 所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。ㄘ?/p>