第九章振動(dòng)和波動(dòng)

1、第四篇 振動(dòng)和波 振動(dòng)振動(dòng) ：任何物理量任何物理量( (力學(xué)量、電學(xué)量、熱學(xué)量力學(xué)量、電學(xué)量、熱學(xué)量) ) 在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化 波動(dòng)波動(dòng) ：振動(dòng)在空間的傳播振動(dòng)在空間的傳播( (振動(dòng)的集體效應(yīng)振動(dòng)的集體效應(yīng)) )共同特征：共同特征：運(yùn)動(dòng)在時(shí)間、空間上的周期性運(yùn)動(dòng)在時(shí)間、空間上的周期性結(jié)構(gòu)框圖結(jié)構(gòu)框圖簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)振動(dòng)的合振動(dòng)的合成成電磁振蕩電磁振蕩阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)共振共振重點(diǎn)重點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（運(yùn)動(dòng)方程、特征量、描述方法運(yùn)動(dòng)方程、特征量、描述方法、能量能量）其基本概念和方法可遷移到相關(guān)的領(lǐng)域其基本概念和方法可遷移到相關(guān)的領(lǐng)域（阻尼振

2、動(dòng)，受迫振動(dòng)，共振；電磁振蕩）（阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，共振；電磁振蕩）第第9 9章章 振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ) 9.1 9.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)一一. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程輕彈簧輕彈簧 k + 剛體剛體 m (平動(dòng)平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)）1. 1. 理想模型：理想模型：彈簧振子彈簧振子物體就會(huì)在回復(fù)力的作用下形成物體就會(huì)在回復(fù)力的作用下形成簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)F=-kx( (平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）擴(kuò)展擴(kuò)展: :不僅適用于彈簧系統(tǒng)不僅適用于彈簧系統(tǒng)kxF 回復(fù)力：重力與浮力的合力回復(fù)力：重力與浮力的合力glkkxF水水 2 浮浮Fgmoxl立方體立方體F = - k x準(zhǔn)彈性力準(zhǔn)彈性力系統(tǒng)本身決定的

3、常數(shù)系統(tǒng)本身決定的常數(shù)離系統(tǒng)平衡離系統(tǒng)平衡位置的位移位置的位移22ddtxmFxkF 0dd22 xmktx2. 2. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程令令2 mk得線性微分方程得線性微分方程: :0222 xtx dd* *求解求解* *得運(yùn)動(dòng)方程的積分形式：得運(yùn)動(dòng)方程的積分形式：)cos(0 tAx積分常數(shù)積分常數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量:,0 A振動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)也隨時(shí)間周期性變化振動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)也隨時(shí)間周期性變化 若某物理量滿足若某物理量滿足*，則其運(yùn)動(dòng)方程可用時(shí)間，則其運(yùn)動(dòng)方程可用時(shí)間 t 的正余的正余弦函數(shù)形式描述，并且弦函數(shù)形式描述，并且 是決定于系統(tǒng)自身的

4、常量，是決定于系統(tǒng)自身的常量，則該物理量的變化過(guò)程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。則該物理量的變化過(guò)程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。(I,U,Q,E,B,T.)3.3.22dd,dd,txtxx均隨時(shí)間周期性變化均隨時(shí)間周期性變化由由)cos(0 tAx得得)t(Atxa0222cosdd )t(Atxv0sindd otTxa2Tv43T4T100 一般情況：一般情況：)cos(0 tAxtTx,v,a思考思考: :由狀態(tài)參量由狀態(tài)參量txvxdd, 曲線族稱為曲線族稱為相圖相圖，畫(huà)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖并理解其意義。，畫(huà)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖并理解其意義。為坐標(biāo)變量作出的函數(shù)為坐標(biāo)變量作出的函數(shù)1222222ddddcxtxtxtx

5、積積分分：對(duì)對(duì)1)(21212dd Ctxxc為橢圓曲線為橢圓曲線相圖為閉合曲線：相圖為閉合曲線：顯示出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期性，循環(huán)往復(fù)。顯示出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期性，循環(huán)往復(fù)。oxtxdd振動(dòng)曲線（振動(dòng)曲線（xt）相圖（相圖（vx）振動(dòng)過(guò)程振動(dòng)過(guò)程0T/4T/4 T/2T/2 3 T/43T/4 T第第4象限：象限：x0，v0第第3象限：象限：x0，v0，v0第第2象限：象限：x0正方向最大位移平衡位置正方向最大位移平衡位置平衡位置負(fù)方向最大位移平衡位置負(fù)方向最大位移負(fù)方向最大位移平衡位置負(fù)方向最大位移平衡位置平衡位置正方向最大位移平衡位置正方向最大位移思考：思考：與振動(dòng)過(guò)程和振動(dòng)曲線如何對(duì)應(yīng)？與振動(dòng)過(guò)

6、程和振動(dòng)曲線如何對(duì)應(yīng)？otxT/2T tgdd txv角頻率角頻率 描述諧振運(yùn)動(dòng)的快慢描述諧振運(yùn)動(dòng)的快慢二、特征量二、特征量是由系統(tǒng)本身決定的常數(shù)，與初始條件無(wú)關(guān)是由系統(tǒng)本身決定的常數(shù)，與初始條件無(wú)關(guān)（固有角頻率）固有角頻率） 1. 1. 角頻率角頻率 mk 由諧振動(dòng)周期性特征看由諧振動(dòng)周期性特征看的物理意義的物理意義: : 2)()cos()(cos)()(0000 tTttATtAtxTtx 2 T 21 T周期周期頻率頻率2.振幅振幅 ：A|maxxA 表示振動(dòng)的范圍（強(qiáng)弱），由初始條件決定。表示振動(dòng)的范圍（強(qiáng)弱），由初始條件決定。解得解得22020 vxA 222 vx 由由)sin(

7、)cos(00 tAvtAx在在 t = 0 時(shí)刻的值時(shí)刻的值0000sincos AvAx 即初始條件即初始條件(1)與與狀狀態(tài)態(tài)參參量量)(0 tx，v有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 )sin();cos(00 tAvtAx方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)向向處處以以速速率率質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在在xvAx 2,2Ax Av23 例：例：當(dāng)當(dāng)30 t時(shí)：時(shí)：當(dāng)當(dāng) 350 t時(shí)：時(shí)：,2Ax Av23 方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)向向處處以以速速率率質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在在xvAx 200,. 3 初初相相相相位位 t相位是描述振動(dòng)狀態(tài)的物理量相位是描述振動(dòng)狀態(tài)的物理量(3)(3)可用以方便地比較同頻率諧振動(dòng)的步調(diào)可用以方便地比較同頻率諧振

8、動(dòng)的步調(diào))sin();cos(00 tAvtAx初相：初相：0 描述描述 t=0 時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由初始條件確定。時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由初始條件確定。由由 t = 0時(shí)時(shí)0000sincos AvAx )(000 xv arctg或或 AvAx0000sincos 000sincos 的符號(hào)決定的符號(hào)決定大小和大小和由由(2) 2每變化每變化的整數(shù)倍，的整數(shù)倍，x、v重復(fù)重復(fù)原來(lái)的值（回到原原來(lái)的值（回到原狀態(tài)），最能直觀、方便狀態(tài)），最能直觀、方便地反映出諧振動(dòng)的周期性特征。地反映出諧振動(dòng)的周期性特征。)(0 t例例1 已知：已知： k. m. h. 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞求：求： T, A,

9、0 mhm k解：解：振動(dòng)系統(tǒng)為（振動(dòng)系統(tǒng)為（2 m, k),2mk kmT22 確定初始條件：確定初始條件：以物塊和平板共同運(yùn)動(dòng)時(shí)刻為以物塊和平板共同運(yùn)動(dòng)時(shí)刻為t=0以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正。，向下為正。00220mvghmkmgx 020 ghv有：有：mhm k0 t0v0 xxo mgkhxvarctgarctg)(000mgkhkmgkmghkgmvxA 122222020 得：得：0 為三象限角為三象限角又：又：0sin0cos0000 AvAx0sin0 mhm k0 t0v0 xxoAx0 xt0t 例例22 由振動(dòng)曲線決定初相由振動(dòng)曲線決定初相（2

10、2）與相位為零的余弦函數(shù)比較）與相位為零的余弦函數(shù)比較 0002tTt Ax00arccos 為四象限角為四象限角（1） 0sin0 0sin0cos0000 AvAx0v三三. 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法思考：思考：寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn) m 以角速率以角速率 沿半徑沿半徑 A 的圓周的圓周勻速運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程勻速運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程 )t(Ax0cos )t(Ay0sin xyomA 0 t 0 txyx、y 方向分運(yùn)動(dòng)均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方向分運(yùn)動(dòng)均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)建立旋轉(zhuǎn)矢量建立旋轉(zhuǎn)矢量 與諧振動(dòng)的與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系A(chǔ)xyo 0 t旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系A(chǔ)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅角頻率初相振

11、動(dòng)周期相位位移加速度速度)cos(0 tAx)t(Aa02 cos)t(Av0 sin0 0t 旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：直觀地表達(dá)諧振動(dòng)的各特征量直觀地表達(dá)諧振動(dòng)的各特征量便于解題便于解題, ,特別是確定初相特別是確定初相便于振動(dòng)合成便于振動(dòng)合成由由x.v 的符號(hào)確定的符號(hào)確定 所在所在的象限的象限A 23 0 2 00 vx00 vx00 vx00 vx A小結(jié)：小結(jié)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三種描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三種描述運(yùn)動(dòng)方程和振動(dòng)曲線（正、余弦函數(shù)）運(yùn)動(dòng)方程和振動(dòng)曲線（正、余弦函數(shù)）相圖（橢圓曲線）相圖（橢圓曲線）旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量周期性特征周期性特征四四. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 以彈簧振

12、子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE2m222kpm21Am21kA21EEE 線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒x=Acos tT/4T/23T/4T0 xt2kA21t0EEpEk(1) Ek、Ep周期性變化的頻率為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的兩倍。周期性變化的頻率為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的兩倍。(2) 總機(jī)械能總機(jī)械能E=Ek+Ep=常量。常量。(3)E21EEpk 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡(jiǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速

13、度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動(dòng)的周期；振動(dòng)的周期； （2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 時(shí)，時(shí)，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x9.2 9.2 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在阻尼力作用下，振幅（能量）不斷減小的振

14、動(dòng)系統(tǒng)在阻尼力作用下，振幅（能量）不斷減小的振動(dòng)稱為振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。阻尼的兩種形式：摩擦阻尼、輻射阻尼。阻尼的兩種形式：摩擦阻尼、輻射阻尼。振動(dòng)物體速度不太大時(shí)，阻尼力與速度成正比。振動(dòng)物體速度不太大時(shí)，阻尼力與速度成正比。dtdxf ：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：kxdtdxdtxdm22 令：令：mk20 0:固有圓頻率固有圓頻率；m2 阻尼因數(shù)阻尼因數(shù)阻尼振動(dòng)方程：阻尼振動(dòng)方程：0 xdtdx2dtxd2022 (1) 欠阻尼狀態(tài)（阻尼較?。呵纷枘釥顟B(tài)（阻尼較?。?0t )(2t )(1202202eCeCx 振動(dòng)不會(huì)發(fā)生，物體振動(dòng)不會(huì)發(fā)生，物體緩慢緩慢回到平

15、衡位置?；氐狡胶馕恢?。xto(3) 臨界阻尼狀態(tài)：臨界阻尼狀態(tài)： = 0t21e )tCC(x 振動(dòng)不會(huì)發(fā)生，物體振動(dòng)不會(huì)發(fā)生，物體很快很快回到回到平衡位置。平衡位置。A 0 = 0阻尼的應(yīng)用：阻尼天平、靈敏檢流計(jì)阻尼的應(yīng)用：阻尼天平、靈敏檢流計(jì) etc.。9.3 9.3 受迫振動(dòng)和共振受迫振動(dòng)和共振阻尼的存在使振幅減小，若對(duì)系統(tǒng)施加一持續(xù)的周期性阻尼的存在使振幅減小，若對(duì)系統(tǒng)施加一持續(xù)的周期性外力，則系統(tǒng)將做振幅不變的振動(dòng)外力，則系統(tǒng)將做振幅不變的振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。設(shè)周期性外力：設(shè)周期性外力：tcosF)t (F0 則：則：tcosFkxdtdxdtxdm022 令：令：mFf,m2,m

16、k0020 得：得：)tcos(A)tcos(eAx220t0 tcosfxdtdx2dtxd02022 解：解：即：即：受迫振動(dòng)為阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和受迫振動(dòng)為阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和。)tcos(A)tcos(eAx220t0 (1) 經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間，受迫振動(dòng)為穩(wěn)定振動(dòng)，其周期經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間，受迫振動(dòng)為穩(wěn)定振動(dòng)，其周期即為外力的周期。即為外力的周期。)tcos(Ax (2) 穩(wěn)定受迫振動(dòng)與周期性外力有一相位差穩(wěn)定受迫振動(dòng)與周期性外力有一相位差 。(3)2202220202tan,4)(fA 位移共振：位移共振：令：令：0ddA 得：當(dāng)周期性外力圓頻率為得：當(dāng)周期性外力圓頻率為220m2 時(shí)，振

17、幅有最大值：時(shí)，振幅有最大值：2200m2fA 當(dāng)：當(dāng)：0時(shí)，時(shí)，m 0，Am 。8大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼0AoF0/k11A1xx0一一 兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成合成后仍為后仍為簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)9.4 9.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差

18、相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 討論討論xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx3 3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k二二 兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同

19、方向同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論討論 , , 的情況的情況 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一方法一2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）xoco