2020年海淀一模高三數(shù)學(xué)試題及答案(WORD版

1、海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期階段性測試2020 春本試卷共6頁，150分?？?3t時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚?結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i (2 i)對應(yīng)的點(diǎn)位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知集合A x0 x 3 , A B1 ,則集合B可以是(A) 1 ， 2(B) 1 , 3(C) 0,1, 2(D) 1 , 2, 3(3)已知雙曲線x22 y b21(b 0)的離心率為J

2、5 ,則b的值為(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是c h Ct o(A) b a c a(B) c2 ab(C) 一 一(D) bc ac，一、，.16.(5)在(-2x)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為x(A) -120(B) 120(C) -160(D) 160(6)如圖，半徑為1的圓M與直線l相切于點(diǎn)A,圓M沿著直線l滾動.當(dāng)圓M滾動到圓M 時，圓M與直線l相切于點(diǎn)B.點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A ,線段AB的長度為,則點(diǎn)M到直線BA的距離為(A) 1(D)已知函數(shù)f(x)m與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)

3、遞減，則 m的取值范圍為(A) -1 , +00)(B)(-I(C) -2, +8)(D) (-8,-2(8)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐中最長棱的棱長為(A) <5(B) 2廄(C) 2 展(D)Ji3(9)若數(shù)列an滿足a,2,則“ p, r N , apapa.”是“ an為等比數(shù)列”的(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件2n(10)形如2(n是非負(fù)整數(shù))的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)，記為Fn .數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)Fo, E, F2, F3, F4都是質(zhì)數(shù)提出了猜想：費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學(xué)家歐拉計算出F5,不是質(zhì)數(shù)，那么 F5的位數(shù)是

4、（參考數(shù)據(jù)；lg 2 0.3010 ）(A ) 9(B) 10(C) 11(D) 12第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)已知點(diǎn)P (1, 2)在拋物線C: y2 =2px上，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為 .(12)在等差數(shù)列an中，a1=3, a2+a5=16,則數(shù)列an的前4項(xiàng)的和為.(13)已知非零向量 a, b滿足|a|二|a-b|,則(a-1b) . b=.2(14)在 ABC 中，AB= 4>/3 , / B=，點(diǎn) D 在邊 BC 上，/ ADC= 2 , CD=2 ,貝U AD= 43 ACD的面積為.(15)如圖，在等邊三角形 ABC

5、中，AB=6 .動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著此三角形三邊逆時針運(yùn)動回到A點(diǎn),記P運(yùn)動的路程為x,點(diǎn)P到此三角形中心 O距離的平方為f(x),給出下列三個結(jié)論：函數(shù)f(x)的最大值為12 ;函數(shù)f (x)的圖象的對稱軸方程為 x=9 ;關(guān)于x的方程f(x)=kx+3最多有5個實(shí)數(shù)根.其中，所有正確結(jié)論的序號是 注：本題給出的結(jié)論中，有多個符合題目要求。 全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3分。三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)(本小題共14分)如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB，平面 BB1C1C, AB=BB 1=2BC=2 , BC1=

6、J3,點(diǎn) E 為 A1C1 的中占I 八、(I)求證：GBL平面ABC ：(II)求二面角 A BC E的大小.(17)(本小題共14分)已知函數(shù) f(x) 2cos2 1x sin 2x.(I)求f(0)的值；(II)從 i 1, 2 2；i 1, 2 1這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件， 求函數(shù)f(x)在一,一 上的最小值，并直接寫出函數(shù)f(x)的一個周期.2 6注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分。(18)(本小題共14分)科技創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關(guān)鍵因素，也是推動經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的重要支撐，而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障.下圖是某公司從2010年到2

7、019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖:其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比，條形圖是當(dāng)年研發(fā)投入的數(shù)值 (單位：十億元).(I)從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，求該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%的概率；(II )從2010年至2019年中隨機(jī)選取兩個年份，設(shè)X表示其中研發(fā)投入超過 500億元的年份的個數(shù)， 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(III)根據(jù)圖中的信息，結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識，判斷該公司在發(fā)展的過程中是否比較重視研發(fā)，并說明理由.(19)(本小題共15分)已知函數(shù)f(x) ex ax.(I)當(dāng) a=-1 時，求曲線y f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程;求函數(shù) f

8、( x) 的最小值：(II)求證：當(dāng)aC (-2, 0)時，曲線y f(x)與y=1-lnx有且只有一個交點(diǎn).(20)(本小題共14分)已知橢圓2C. x_ C.ay2 .3.' 1(a 0,b 0)的離心率為 ,A( a，0), A2(a,0)b2B(0,b),AB4 的面積為2.(I )求橢圓C的方程;(n)設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線AB與直線A2M交于點(diǎn)P，直線AM與直線A2B交于點(diǎn)Q.求證： BPQ為等腰三角形.(21)(本小題共14分)已知數(shù)列 an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，若存在常數(shù)k N ,使得a2n 1 a2n kan，對任意的n N成立，則稱數(shù)列 an

9、具有性質(zhì)(k).(I)分別判斷下列數(shù)列an是否具有性質(zhì)(2)；(直接寫出結(jié)論) an 1； an 2n.(n)若數(shù)列an滿足%1 an(n 1,2,3,)，求證：“數(shù)列工具有性質(zhì)(2)”是“數(shù)列an為常數(shù)列”的充分必要條件；(出)已知數(shù)列 an中a1 1,且an1 an(n 1,2,3, ).若數(shù)列 為 具有性質(zhì)(4),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期階段性測試參考答案數(shù) 學(xué)2020春閱卷須知：1 .評分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。2 .其它正確解法可以參照評分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.題號12345678910答案ABB

10、DCCDCAB、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.題號1112131415答案X 12404/2， 276注：第14題第一空3分,第二空2分；第15題全部選對得5分，不選或有錯選得 0分，其他得3分。三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)解：(I)因?yàn)?AB 平面 B0C1C , gB 平面 BB1cle所以AB C1B.在4 806 中，BC 1, BC1 而，CC1 2,所以 BC2 BC2 CC12.所以CB C1B.因?yàn)?ABI BC B, AB,BC 平面 ABC ,所以CiB 平面ABC.(n)由(I)知， AB CiB, BC

11、CiB, AB BC,如圖，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 B xyz.1 L則 B。,。)，E( 273,1), C(i，0，0).uuruuu 1BC (1,0,0) , BE ("質(zhì)1).設(shè)平面BCE的法向量為n (x,y,z),LULTn BC0,貝(JLLLTn BE0.x 0,即 1Xc-x3y z 0.令y 不則x 0, z 3,所以 n (0, . 3, 3).所以cos m, nm n 1|m|n| 2由題知二面角A BC E為銳角，所以其大小為 -.(17)解：(I) f (0) 2cos2 0 sin0 2 .(n)選擇條件.f (x)的一個周期為 兀.2f (x

12、) 2cos x sin 2x(cos2 x 1) sin 2x又因?yàn)槠矫鍭BC的法向量為m (0,1,0),.2(sin2x二cos2x) 122 sin (2x )4因?yàn)閤 2冶,所以3 712x+ , .44 12所以 1 sin (2x ) 1. 4所以 12 f (x) 12.一3 TT當(dāng)2x -= _時，即x=時， 428f (x)在2,百取得最小值1 選擇條件.f(x)的一個周期為2 m2.f (x) 2cos x sin x22(1 sin x) sin x1 2172(sin x ).11,-.48因?yàn)閤 一，一,所以sinx 2 6所以當(dāng)sinx= 1時，即x=時， 2f

13、(x)在2,取得最小值 1.(18)解：(I)設(shè)事件 A為“從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%”，從2010年至2019年一共10年，其中研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%有9年，所以 p(A)_9 .10(n)由圖表信息，從 2010年至2019年10年中有5年研發(fā)投入超過500億元，所以X的所有 可能取值為0,1, 2 .且 P(X 0)C2CT9； P(X 1)1 12_C5c5 5C522- = 一 ； P( X2) -2-=.C109 ''C109所以X的分布列為:X012p2529992 9 12故X的期望E(X) 0

14、 - 19(ID)本題為開放問題，答案不唯一.要求用數(shù)據(jù)說話，數(shù)據(jù)可以支持自己的結(jié)論即可，閱卷時按照上述標(biāo)準(zhǔn)酌情給分.(19)解：(I)當(dāng) a 1 時，f(x) ex所以 f'(0) 0.又 f(0) 1,所以曲線y f(x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y 1令 f'(x) 0 ,得 x 0.隨x的變化如下:可知f (x)min f 01,函數(shù)f(x)的最 小值為1.x(-? ,0)0(0,+?)f (x)-0+f (x)極小值此時 f(x), f (x)(n)由題意可知，x(0,).i令 g(x) e ax lnx 1,則 g'(x) e a . x由(I)中

15、可知ex x 1 ,故ex 1 x .因?yàn)?a ( 2,0),則 g'(x) ex 1 a x 1 axx所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.1 J2因?yàn)?g(-) = ee + - - 2 < e2 - 2 < 0 , e e又因?yàn)?g(e) = ee + ae>e2 - 2e> 0 ,所以g (x)有唯一的一個零點(diǎn).即函數(shù)y f(x)與y 1 lnx有且只有一個交點(diǎn)c _3一 ,a 2(20)解：(I )由題 ab 2,222a b c .解得b 1.2所以橢圓方程為y2 1.4(II )解法1證明：設(shè)直線AM方程為y k(x 2)(k 0且k 1),

16、直線A1B方程為y -x 1 22k(x1-x22)，解得點(diǎn)1.2k 1 2k1).y2 x4k(x2),得(4k 1.1)x1 2 16k2x16k2 40,2xm =216k 44k2 1所以xM噂4kyM =l4k28k2 2M (24k 14k 4k21).4k2k4k1Kam28k 2 c224k 114k于是直線AiM的方程為1 (x 4k2),直線A2B的方程為y4k 22k 1日XpXq ,所以PQ x軸.4k設(shè)PQ中點(diǎn)為N ,則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2k 1 2k 1 12.故PQ中點(diǎn)在定直線y 1上.從上邊可以看出點(diǎn) B在PQ的垂直平分線上，所以|BP BQ所以 BPQ為等腰三角形

17、.解法2證明：設(shè) M(xo,yo)(xo2, yo1)則 x2 4y2 4 .直線A2M方程為y y(x 2),直線A1B方程為y -x 1. xo22y”(x 2), Xo21 y - x 1.22x0 4yo 4 4yo 解得點(diǎn)p(上,i°一)2 yo xo (2y° x°2)(2y°+x0 2)_2_2 (xo 2yo)4) (4 (xo 2y0)o.(2yo x 2)(2yo+xo 2)于是xp xq ,所以PQ x軸.2 yo xo 2直線AM方程為y (x 2),直線A2B方程為y -x 1. xo 22xV 2)，1x 1. 2解得點(diǎn)Q(X

18、>2% 4y。4 2% 4y0+4xpxQT-T2 yoxo22 yo +%2ypyQ4yo4y02yo %2 2yo+xo 24yo(4yo4)(2 yo xo 2)(2 yo+xo2)4 yo(4yo一一 2(2yo2)42.xo2(xo2yo2)(2yo+xo2) 2(m 2yo+2)(2 y。x。2)故PQ中點(diǎn)在定直線y 1上.從上邊可以看出點(diǎn) B在PQ的垂直平分線上，所以|BP BQ,所以 BPQ為等腰三角形(21)解：(I)數(shù)列 an具有“性質(zhì) (2)” ；數(shù)列an 不具有“性質(zhì)(2) ” .(n)先證“充分性”：當(dāng)數(shù)列an 具有“性質(zhì)(2) ”時，有a2n 1a2n2an又因?yàn)閍n 1 an ，所以 0 a2n anan a2n 10 ，進(jìn)而有an a2n結(jié)合