測量平差yjzhang課件

1、空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang一、條件平差原理一、條件平差原理二、條件方程的列立二、條件方程的列立三、非線性條件方程的線性化三、非線性條件方程的線性化四、精度評定四、精度評定第五章第五章 條件平差條件平差空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang基本概念基本概念1、必要觀測數(shù) 為了確定觀測對象的位置或形狀、大小所必須的最少觀測數(shù)。2、多余觀測數(shù) 實際觀測數(shù)與必要觀測數(shù)之差，稱為多余觀測數(shù)。3、閉合差 舉例說明：測角網(wǎng)，水準網(wǎng)4、條件平差及其目的空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang一、條件平差原理一、條件平差原理1、條件方程 （1） （1）式

2、中A的秩是r，未知數(shù)的個數(shù)是n，由于rn，所以（1）式是不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？2、法方程及其組成2.1 按拉格朗日條件極值法組成新函數(shù) （2）1110rrnnrWVA)(2WAVKPVVTT空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang2.2 求偏導 （3）2.3 法方程 （4） 改正數(shù)方程 （5）舉例舉例 水準網(wǎng)如右圖：觀測值及其權陣如下： m ， 求各高差平差值022AKPVdVdTT01WKAAPTTL216. 1099. 0078. 0142. 1114. 1023. 05 . 25 . 25 . 2111diagP KAPVT1空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤

3、差處理測量平差yjzhang誤差方程 法方程法方程的解0432101100110010011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang按（5）求改正數(shù)V：求觀測值的平差值：檢核：2 . 09 . 01 . 17 . 23 . 2011611501100111011000100015 . 20000005 . 20000005 . 200000010000001000000111KAPVTTVLL2162. 10999. 00769. 01393. 11163. 1

4、0230. 000769. 01393. 12162. 102162. 10999. 01163. 100999. 00769. 00230. 0436652641LLLLLLLLL空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang條件平差的求解步驟條件平差的求解步驟 （1）根據(jù)具體問題列條件方程（1）式； （2）組成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正數(shù)V； （5）求觀測值的平差值 ； （6）檢核。VLL教材：教材：51， 52， 53習題：習題：5.1.04， 5.1.07空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang二、條件方程的列立二、條件方程的列立列

5、條件方程的原則:1、足數(shù)；2、獨立；3、最簡水準網(wǎng)的條件方程1、水準網(wǎng)的分類及水準網(wǎng)的基準、水準網(wǎng)的分類及水準網(wǎng)的基準 有已知點和無已知點兩類。要確定各點的高程，需要1個高程基準。2、水準網(wǎng)中必要觀測數(shù)、水準網(wǎng)中必要觀測數(shù)t的確定的確定（保證足數(shù)） 有已知點： t 等于待定點的個數(shù) 無已知點： t 等于總點數(shù)減一3、水準網(wǎng)中條件方程的分類、水準網(wǎng)中條件方程的分類 附合條件和閉合條件兩類 已知點個數(shù)大于1：存在附合和閉合兩類條件 已知點個數(shù)小于等于1：只有閉合條件空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang4、水準網(wǎng)中條件方程的列立方法、水準網(wǎng)中條件方程的列立方法（保證獨立）（1）、先

6、列附合條件，再列閉合條件（2）、附合條件按測段少的路線列立，附合條件的個數(shù)等于已知點的個數(shù)減一（3）、閉合條件按小環(huán)列立（保證最簡），一個水準網(wǎng)中有多少個小環(huán)，就列多少個閉合條件 在水準網(wǎng)條件平差中，按以上方法列條件方程，一定能滿足所列條件方程足數(shù)、獨立、最簡的原則?？臻g數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang5、水準網(wǎng)條件方程列立舉例、水準網(wǎng)條件方程列立舉例空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang14空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang習題：習題：5.2.10空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhangGPS基線向量網(wǎng)三維無約束條件平差的條

7、件方程1、GPS基線向量網(wǎng)的觀測值：基線向量網(wǎng)的觀測值： 一條基線三個觀測值，他們是 ,觀測值總數(shù)n=3s，s是基線數(shù)。2、GPS基線向量網(wǎng)三維無約束平差的基線向量網(wǎng)三維無約束平差的基準及必要觀測數(shù)及必要觀測數(shù)t 三個坐標基準 。必要觀測數(shù)為 t=3(m-1)，m 為總點數(shù)。所以條件方程的個數(shù)為：r = 3(s-m) + 33、GPS基線向量網(wǎng)三維無約束平差的條件方程的列立基線向量網(wǎng)三維無約束平差的條件方程的列立 按三角形三角形列條件方程，每個三角形中應保證至少有一條基線是新基線，如此列立，可保證足數(shù)、獨立、最簡的原則。ijijijzyx,zyx,空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjz

8、hang4、 GPS基線向量網(wǎng)三維無約束平差條件方程列立舉例基線向量網(wǎng)三維無約束平差條件方程列立舉例 圖1 圖2圖1中r =3（3-3）+3=3，即三個條件方程。這三個條件方程如下：圖2中，r=3（6-4）+3=9，即9個條件方程。 )()()(CABCABzzzCABCAByyyCABCABxxxzzzvvvyyyvvvxxxvvvCABCABCABCABCABCAB空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang4、 GPS基線向量網(wǎng)三維無約束平差條件方程列立舉例基線向量網(wǎng)三維無約束平差條件方程列立舉例n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3=

9、42（多GH、DE)空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang三角網(wǎng)(測角網(wǎng))的條件方程1、三角網(wǎng)的觀測值、三角網(wǎng)的觀測值 三角網(wǎng)的觀測值很簡單，全部是角度觀測值。2、三角網(wǎng)的作用、三角網(wǎng)的作用 確定待定點的平面坐標。3、三角網(wǎng)的類型、三角網(wǎng)的類型 單三角形、大地四邊形、中點多邊形、組合圖形4、三角網(wǎng)的、三角網(wǎng)的基準數(shù)據(jù)基準數(shù)據(jù) 在三角測量中，要確定各三角點的平面坐標，必須先建立平面坐標系，只要已知任意任意一個點的坐標、任意任意一條邊的方位角和任意任意一條邊的邊長，那么，這個平面圖形在平面坐標系中的位置、大位置、大小和方向小和方向就唯一地確定了。因此，三角測量中的基準數(shù)據(jù)為：位置基

10、準 2個（任意一點的坐標 ）、方位基準 1個（任意一條邊的方位角 ）以及長度基準 1個（任意一條邊的邊長 ）。這四個基準數(shù)據(jù)等價于已知兩個點的坐標。00, yx00S空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang5、三角網(wǎng)中必要觀測數(shù)、三角網(wǎng)中必要觀測數(shù) t 的確定的確定 有足夠的基準數(shù)據(jù)：t =2m，m為待定點點數(shù)； 無足夠的基準數(shù)據(jù)：t =2（z - 2）, z為三角網(wǎng)中的總點數(shù)。6、三角網(wǎng)中條件方程的類型、三角網(wǎng)中條件方程的類型圖形條件（內角和條件）：圖形條件（內角和條件）：三角形三內角和等于180度；圓周條件（水平條件）：圓周條件（水平條件）：圓周角等于360度；極條件（邊長條

11、件）：極條件（邊長條件）：由不同推算路線得到的同一邊的邊長相等。教材：教材：54，55習題：習題：5.2.11， 5.2.12空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang7、三角網(wǎng)中條件方程的列立舉例、三角網(wǎng)中條件方程的列立舉例圖1中，n=3，t=2，r=1，即一個圖形條件。圖2中，n=8，t=4，r=4，即三個圖形條件，一個極條件（極點）?？臻g數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang 圖3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5個圖形條件，一個圓周條件，一個極條件。 由以上三例知，三角形只有圖形條件；大地四邊形有圖形條件和極條件兩類條件；只有中點多邊形才有全部的三類條

12、件。空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang用一般符號列出圖4的條件方程：n=33 t=14空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang三邊網(wǎng)(測邊網(wǎng))的條件方程1、三邊網(wǎng)的觀測值、三邊網(wǎng)的觀測值 三邊網(wǎng)的觀測值也很簡單，全部是邊長觀測值。2、三邊網(wǎng)的作用、三邊網(wǎng)的作用 也是確定待定點的平面坐標。3、三邊網(wǎng)的類型、三邊網(wǎng)的類型 單三邊形、大地四邊形、中點多邊形、組合圖形4、三邊網(wǎng)的基準數(shù)據(jù)、三邊網(wǎng)的基準數(shù)據(jù) 三邊網(wǎng)與三角網(wǎng)的區(qū)別是觀測值。由于在三邊測量中，觀測值中帶有長度基準。所以，三邊測量中不需要長度基準。因此三邊網(wǎng)的基準數(shù)據(jù)為：位置基準 2個（任意任意一點的坐標 ）

13、、方位基準 1個（任意任意一條邊的方位角 ），即三個基準。00, yx0空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang5、三邊網(wǎng)中必要觀測數(shù)、三邊網(wǎng)中必要觀測數(shù) t 的確定的確定 有足夠的基準數(shù)據(jù)：t =2m，m為待定點點數(shù)； 無足夠的基準數(shù)據(jù)：t =2z - 3, z為三角網(wǎng)中的總點數(shù)。 單三角形（無足夠）： t =2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四邊形（無足夠）：t =2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中點N邊形（無足夠） ： t =2（N+1） 3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式表明：在測邊網(wǎng)中，無足夠

14、情況下，單三角形不存在條件，大地四邊形和中點多邊形都只一個條件。故無足夠情況下，測邊網(wǎng)測邊網(wǎng)中條件方程的個數(shù)等于大地四邊形和中點多邊形的個數(shù)之和。6、三邊網(wǎng)中條件方程的列立、三邊網(wǎng)中條件方程的列立 可按角度閉合、也可按邊長閉合、還可按面積閉合列立。 按角度閉合：按角度閉合：0321空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang測邊網(wǎng)條件測邊網(wǎng)條件 在測邊網(wǎng)中，按角度閉合時條件方程為： 對于以上按角度表示的條件方程，可以用余弦定理解出各個角度，再按臺勞級數(shù)展開可到其線性形式。但習慣上卻是先導出角度改正數(shù)與邊長改正數(shù)的關系，然后代入 為此，下面來推導角度改正數(shù)與邊長改正數(shù)的關系。03210

15、321wvvv空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang如圖，由余弦定理知：微分得：由圖知ASSSSScbcbacos2222AdASSdSASSdSASSdSScbcbcbcbaasin2)cos22()cos22(2)cos()cos(sin1cbcbcbaacbdSASSdSASSdSSASSdABSASSCSASShShSASSabcacbaabbcbcoscoscoscossin空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang故有：將微分換成改正數(shù)，并將弧度換成角度，得：上式稱為角度改正數(shù)方程改正數(shù)方程。它具有明顯的規(guī)律： 任意角度的改正數(shù)，等于其對邊的改正數(shù)分別減

16、去兩鄰邊的改正數(shù)乘以其鄰角的余弦，然后再除以該角至其對邊的高，并乘以常數(shù) 。按此規(guī)律，可得：)coscos(1cbaaBdSCdSdShdA)coscos(cbaSSSaABvCvvhv 空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang大地四邊形大地四邊形將其代入 ，得)coscos()coscos()coscos(314332622151321SSSSSSSSSADBvABDvvhvADCvACDvvhvACBvABCvvhv 0321wvvv0coscoscoscoscoscos654321213232113 wvhvhvhvhADChADBvhACDhACBvhABChABDSSS

17、SSS空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang中點多邊形中點多邊形將其代入 ，得)coscos()coscos()coscos(463365225411321SSSSSSSSSDACvDCAvvhvDCBvDBCvvhvDBAvDABvvhv 0321wvvv0coscoscoscoscoscos654321322131321 wvhDCAhDCBvhDBChDBAvhDAChDABvhvhvhSSSSSS空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang 注意注意：在計算圖形條件圖形條件的系數(shù)和閉合差時，一般取邊長改正數(shù)的單位為cm，高的單位為km， 取2.0626，此時閉

18、合差w的單位為秒。由觀測邊長計算系數(shù)中的角值，可按余弦定理或下式計算式中高按下式計算 cbaSprCSprBSprA2tan,2tan,2tanpSpSpSprSSSpcbacba)()(,2/ )(ASBShASCShBSCShbaccabcbasinsin,sinsin,sinsin空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang三、非線性條件方程的線性化三、非線性條件方程的線性化 1、問題的提出 由前面列出的條件方程知，水準網(wǎng)平差、三維無約束平差中的條件方程，以及三角網(wǎng)平差中的圖形條件和圓周條件、單導線中的方位角條件等都是線性方程。而極條件、坐標條件等都是非線性條件。因為條件平差中

19、要求條件方程必須為線性形式，所以，平差前必須將非線性條件轉化為線性條件。這一轉化工作稱為非非線性條件方程的線性化。線性條件方程的線性化。 2、線性化方法 將非線性條件方程按臺勞級數(shù)展開，略去二階以上各項，即得條件方程的線性形式。空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang 不妨設非線性條件方程為： 為了將其按臺勞級數(shù)展開，將觀測值的平差值寫為觀測值加改正數(shù)的形式，即： 于是，有令0),(21nLLLiiivLL0),(),(),(221121221121nLLnLLLLnnnnvLvLvLLLLvLvLvLLLLLLiinLhLLLw21, ),(空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量

20、平差yjzhang 于是，非線性條件方程 的線性形式為： 3、幾種非線性條件方程的線性形式極條件：極條件：在圖5-4中，（邊長條件）極條件為線性化得：0),(21nLLL02211wvhvhvhnn1sinsinsinsinsinsin321321bbbaaa0cotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinsin1)sin()sin()sin()sin()si

21、n()sin(321321321321332132123213211321321332132123213211321321321321321321 bbbaaabbbaaavbbbbaaavbbbbaaavbbbbaaavabbbaaavabbbaaavabbbaaabbbaaavbvbvbvavava空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang兩邊同乘 ，得化簡后的線性形式為： 321321sinsinsinsinsinsinaaabbb0)sinsinsinsinsinsin1 (cotcotcotcotcotcot321321321321321321 aaabbbvbvbvbv

22、avavabbbaaa空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang四、精度評定四、精度評定目的：評定觀測值的實際精度、觀測值平差值函數(shù)的精度1、觀測值L的精度2、單位權方差的估值3、 的計算（1）、直接計算（2）、用常數(shù)項與聯(lián)系數(shù)12020PQDLLLLrPVVT20PVVT)0()(WAVKWKAVKQAPVPVVTTTTTT空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang4、觀測值函數(shù)的協(xié)因數(shù) 事實上，條件平差中的基本向量W、K、V、 都是觀測向量L的函數(shù)，且 由于觀測向量L的協(xié)因數(shù) 已知，所以應用協(xié)因數(shù)傳播律可得：L1 PQLL01101101110)(ANAQLANAQ

23、IVLLANAQALNAQKAQVANALNWNKAALWaaTLLaaTLLaaTLLaaTLLTLLaaaaaa空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhangLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLaaTLLVVaaaaaaaaaaTLLaaKKaaTTLLWWAQNAQQAQNAAQNAQAQNAQAQNAQQAQNAIQANAQIQAQNAQAQNAAQNAQQNNNNNAAQNQNAAPAAQQ1111111111111111)()(LLaaTLLLLLLaaTLLLLLLaaTLLLL

24、aaTLLLVaaTLLaaTLLLKTLLTLLLWAQNAQQAQNAIIQQAQNAQAQNAIQQNAQNAIQQAQAIQQ111111)(空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang0)(1111LLaaTLLLLLLaaTLLLWLLLLaaTLLWVaaTLLWKAQNAAQAQAQNAIAQQAQAQNAAQQINAAQQ0)(0)(1111111111111LLaaTLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLaaTLLLVLLaaTLLaaLLaaLLaaTLLaaLKLLaaLLaaTLLaaKVAQNAAQNAQAQNAQAQNAIAQNAQQAQNAAQNA

25、QNAQNAIAQNQAQNAQNAAQNQ空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang令則dLAQNAIAQNANAAIdYTLLaaTLLaaTaaTT111LLaaTLLLLLLaaTLLLLLLaaTLLLLaaTLLLLaaTLLLLaaaaLLaaLLaaLLLLaaTLLLLLLaaTLLaaTLLTLLLLLLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWLLLLVLKLWLLTLLYYAQNAQQAQNAQQAQNAQAQNAQAQNAQAQNNIAQNAQINAQAQNAQQAQNAQNAQAQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

26、QQQQFFQQ11111111111000000空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang5、平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù) 經(jīng)條件平差后得到了觀測值的平差值，但是但是，需要提交的卻是控制點的坐標或高程的平差值，他們都是觀測值的平差值的函數(shù)。因此，有必要研究平差值的函數(shù)的協(xié)因數(shù)的計算。 設平差值函數(shù)為： 對其全微分，得：NLLLf,21LdFLdfLdfLdfLdLfLdLfLdLfdTnnnn22110202101空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang式中 為用觀測值L算出的偏導數(shù)值。于是，應用協(xié)方差傳播律可得：所以，平差值的函數(shù)的中誤差為：0iiLffFAQNFAQFQFFQFQLLaaTLLLLTLLT1)(0Q教材：教材：58，57習題：習題：空間數(shù)據(jù)誤差處理空間數(shù)據(jù)誤差處理測量平差yjzhang舉例舉例 某平坦地區(qū)水準網(wǎng)如右圖所示，已知點A高程為10.000m，各獨立觀測值及其距離： m km求各點高程的平差值，單位權中誤差及A至C點間高差平差值的中誤差。TL216.