高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理課件2 蘇教版選修2-1

1、3.1.3 3.1.3 空間向量基本定理空間向量基本定理共線(xiàn)向量定理共線(xiàn)向量定理.,),0(,abababa使充要條件是存在實(shí)數(shù)共線(xiàn)的與對(duì)空間任意兩個(gè)向量 問(wèn)題問(wèn)題1 1abab共線(xiàn)向量定理表明，任意一個(gè)向量可以用與它共線(xiàn)向量定理表明，任意一個(gè)向量可以用與它共線(xiàn)的一個(gè)非零向量來(lái)線(xiàn)性表示，而且這種表共線(xiàn)的一個(gè)非零向量來(lái)線(xiàn)性表示，而且這種表示是惟一的示是惟一的平面向量基本定理平面向量基本定理aaonomoc 問(wèn)題問(wèn)題2 21ebcnm2e1e2e對(duì)向量對(duì)向量 進(jìn)行分解進(jìn)行分解：a2211eeao,21ee基底21,ee基向量如果 是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)

2、實(shí)數(shù) 使21,21,eea2211eeaa1ebnm2eaoc平面向量基本定理表明，任意一個(gè)平面向量可以平面向量基本定理表明，任意一個(gè)平面向量可以用與它在同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量來(lái)用與它在同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量來(lái)線(xiàn)性表示，而且這種表示是惟一的線(xiàn)性表示，而且這種表示是惟一的平面向量平面向量基本定理基本定理共線(xiàn)向共線(xiàn)向量定理量定理二維二維一維一維？ab2211eea2211eeadd1a1ab1c1cb 問(wèn)題問(wèn)題3 3在如圖所示的長(zhǎng)方體中，你能用向量在如圖所示的長(zhǎng)方體中，你能用向量,表示向量表示向量,嗎？嗎？abad1aaac1acadabac11ccacac1ccadab1aa

3、adab空間任一向量都能用三個(gè)不共面的向量來(lái)線(xiàn)性表空間任一向量都能用三個(gè)不共面的向量來(lái)線(xiàn)性表示嗎示嗎? ? 問(wèn)題問(wèn)題p2e1e3eoabcpabpppopeoceobeoa,321ocpp/oabpobap/,/,321ezoczppeyobyboexoaxaooczobyoaxppboaoop321ezeyexpp2e1e3e請(qǐng)嘗試通過(guò)平面向量基本定理來(lái)類(lèi)似地說(shuō)出空間請(qǐng)嘗試通過(guò)平面向量基本定理來(lái)類(lèi)似地說(shuō)出空間向量基本定理向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理空間向量基本定理空間向量基本定理平面內(nèi)平面內(nèi)不共線(xiàn)不共線(xiàn)平面內(nèi)的任一向量平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)基底基底基

4、向量基向量 21,ee321,eeea21,2211eea,21ee21,ee321ezeyexp空間中空間中不共面不共面p空間任一向量空間任一向量),(zyx存在惟一的有序?qū)崝?shù)組存在惟一的有序?qū)崝?shù)組321,eee基底基底321,eee基向量基向量如果三個(gè)向量 不共面,那么對(duì)空間任一向量 ,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組 ,使321,eeep),(zyx321ezeyexp空間向量的基本定理空間向量的基本定理321,eee基底基底321,eee基向量基向量(2)空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.不共面321,eee(1)0,321中不能有e

5、ee(3)如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫做正交基底 特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱(chēng)這個(gè)基底為單位正交基底，通常用 表示 ,kjiijk存在性存在性證明：證明：設(shè)設(shè) 不共面不共面，321,eee過(guò)點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)作opopeoceobeoa,321過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 作直線(xiàn)作直線(xiàn) ，交平面，交平面 于點(diǎn)于點(diǎn) ；pocpp/oabp在平面在平面 內(nèi)，過(guò)內(nèi)，過(guò) 點(diǎn)作直線(xiàn)點(diǎn)作直線(xiàn) 分別與直分別與直線(xiàn)線(xiàn) 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)oabpoabpobap/,/oboa,ba,根據(jù)向量共線(xiàn)的條件，存在三個(gè)確定的實(shí)數(shù)根據(jù)向量共線(xiàn)的條件，存在三個(gè)確定的實(shí)數(shù) ，使，使zyx,321ezocz

6、ppeyobyboexoaxao所以所以oczobyoaxppboaoop所以所以321ezeyexpoabcpabpp惟一性惟一性假設(shè)還存在 且不妨設(shè) 使zyx,xx 321ezeyexp321ezeyex321ezeyex那么即0)()()(321ezzeyyexx因?yàn)閤x 0 xx321exxzzexxyye所以從而 共面，與已知矛盾321,eee因此是惟一的zyx,a1ebnm2eaoc平面向量平面向量基本定理基本定理共線(xiàn)向共線(xiàn)向量定理量定理二維二維一維一維pppoabcab空間向量空間向量基本定理基本定理三維三維？ab2211eea321ezeyexp根據(jù)向量共線(xiàn)的條件，存在三個(gè)確定

7、的實(shí)數(shù)根據(jù)向量共線(xiàn)的條件，存在三個(gè)確定的實(shí)數(shù) ，使，使zyx,321ezoczppeyobyboexoaxao所以所以oczobyoaxppboaoop所以所以321ezeyexp推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)都存在惟一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)使 cbao,pzyx,oczobyoaxopcobapppoboaodocoboaddoddododmom3121ocoboaom313131解：(1)(2) 可得 所以 由omemcd例例1 1 如圖，在正方體如圖，在正方體 中，點(diǎn)中，點(diǎn) 是是 與與 的交點(diǎn)，的交點(diǎn)， 是是 與與 的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，mbdacoadbeaboddo ce(1)用向量用向量 表示向量表示向量oboa,odocoboa,om(2)用向量用向量 表示向量表