第十章_彈性力學(xué)的能量原理

1、第十章 彈性力學(xué)的能量原理彈性力學(xué)的解法之一為彈性力學(xué)邊值問(wèn)題求解體系靜力法。在前面各章中就圍繞平面問(wèn)題、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題和空間軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行了具體分析和研究。彈性力學(xué)問(wèn)題的解法還有另一種解法：以能量形來(lái)建立彈性力學(xué)求解方程能量法（從數(shù)學(xué)意義上說(shuō)也可認(rèn)為變分法）。本章主要介紹幾個(gè)基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介紹能量原理以前，先介紹幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)。第一節(jié) 幾個(gè)基本概念和術(shù)語(yǔ)edeijeijsijs1.1應(yīng)變能U和應(yīng)變余能Uc： 應(yīng)變能 U在第四章中已定義過(guò)：應(yīng)變能密度 彈性關(guān)系 如果將幾何關(guān)系引入應(yīng)變能, U、W為位移的函數(shù)。 應(yīng)變余能（類(lèi)似應(yīng)變能）定義 應(yīng)變余能密度 單位體積的應(yīng)變余

2、能Wc與積分路徑無(wú)關(guān)，只與終止?fàn)顟B(tài)和初始狀態(tài)有關(guān)。 dWc=eijdsij 為全微分 逆彈性關(guān)系且 W+Wc= eijsij 當(dāng)材料為線彈性時(shí) 但 , 在各向同性線性材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 徐芝綸的彈性力學(xué)上冊(cè)P.346（113）如在將幾何關(guān)系引入上式 U=U(ui) 應(yīng)變能是位移的函數(shù) 徐芝綸的彈性力學(xué)上冊(cè)P.346（115） 代入U(xiǎn)c表達(dá)式 徐芝綸的彈性力學(xué)上冊(cè)P.346（111）1.2可能位移 ui(k)和可能應(yīng)變 eij(k)：可能位移ui(k)：在V內(nèi)連續(xù)且可微，在 su上滿足 ?？赡軕?yīng)變eij(k)：由ui(k)通過(guò)幾何方程導(dǎo)出的 1.3可能應(yīng)力 sij(k)：可能應(yīng)力 sij(k)：

3、在V內(nèi)滿足 sij,j(k)+fi =0 在ss 上滿足 滿足靜力方程1.4虛位移 dui和虛應(yīng)變 deij ：兩種可能位移ui(k1)和ui(k2)之差稱為虛位移 dui，而由兩種可能位移狀態(tài)對(duì)應(yīng)的可能應(yīng)變 eij(k1)、eij(k2)之差 deij =(dui,j +duj,i )/2 在V內(nèi) dui =0 在su 上齊次位移邊界條件。1.5虛應(yīng)力 dsij ：dsij = sij(k1)-sij(k2) ；在V內(nèi)：dsij,j = 0； 在ss 上: njdsij = 0；滿足齊次靜力方程。第二節(jié) 虛功方程Su )Ss 2.1虛功方程在給定體力、面力和約束情況下，如果找到兩種狀態(tài): 第

4、一種狀態(tài)：在給定的體力 fi和面力 ，已知（找到）可能應(yīng)力狀態(tài)sij(k1)，在V內(nèi)：sij(k1)+fi =0 ; 在s =ss : 第二種狀態(tài)：彈性體處于可能變形狀態(tài)ui(k2) 、eij(k2) ; 在s =su: ;則第一種狀態(tài)外力在第二種狀態(tài)可能位移作的外力虛功等于第一種狀態(tài)可能應(yīng)力在第二種狀態(tài)可能應(yīng)變上作的虛變形功。虛功原理 2.2虛功方程的證明： 代入虛功方程左端，得并注意 ，則 We=Wi虛功方程未涉及本構(gòu)關(guān)系，所有在各種材料性質(zhì)虛功方程成立。虛功方程雖然對(duì)兩種不相干的可能狀態(tài)成立，但一般應(yīng)用是一種為真實(shí)狀態(tài)，另一種為虛設(shè)可能狀態(tài)（虛設(shè)狀態(tài)）。DqP=1第三節(jié) 功的互等定理將虛

5、功方程用于線彈性體可導(dǎo)出功的互等定理。同一彈性體處于兩種真實(shí)狀態(tài)。 第一種狀態(tài)：、滿足所有方程。 第二種狀態(tài)：、滿足所有方程。根據(jù)虛功方程第一種狀態(tài)的外力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上做功 第二種狀態(tài)外力在第一種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上做功 對(duì)于線彈性體本構(gòu)關(guān)系 W12=W21第一種狀態(tài)的外力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上所做的功等于第二種狀態(tài)外力在第一種狀態(tài)的相應(yīng)彈性位移上所做的功。QQxPPb功的互等定理優(yōu)點(diǎn)：可以避免求解物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場(chǎng)的復(fù)雜過(guò)程，而直接從整體變形的角度來(lái)處理問(wèn)題。第一：一對(duì)力P作用在直桿的垂直方向，局部效應(yīng)，在兩端點(diǎn)伸長(zhǎng) D？第二狀態(tài)：讓一對(duì)力Q作用同一桿兩端點(diǎn)，很易

6、求得一對(duì)力Q引起桿橫向縮短 d。對(duì)兩種狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理 Pd=QD Q第二狀態(tài)引起的d 易求 ： , 第四節(jié) 虛位移原理和最小勢(shì)能原理4.1虛位移原理運(yùn)用虛功原理，但一種狀態(tài)為與真實(shí)外力平衡的狀態(tài)，sij、fi、; 而第二狀態(tài)為可能變形狀態(tài)，為真實(shí)狀態(tài)位移的變分: dui 、 deij =(dui,j +duj,i )/2 在V內(nèi) dui =0 在su上 虛設(shè)狀態(tài)根據(jù)虛功方程，真實(shí)的外力與應(yīng)力狀態(tài)在虛設(shè)的齊次可能位移上做功 彈性體應(yīng)力與外力處于平衡狀態(tài)，對(duì)于任意虛設(shè)的齊次微小位移及應(yīng)變，則外力在虛位移上做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛功虛位移方程。將虛位移方程重新改寫(xiě) 代入原虛位移方程虛位

7、移方程為平衡方程和力的邊界條件的積分形式。4.2最小勢(shì)能原理1彈性體的總勢(shì)能 定義： P(k)=U(k)(ui(k)+V(k)(ui (k)= P(k)(ui(k) （1）和 給定;（2）已將幾何關(guān)系引入 eij =(ui,j +uj,i )/2 ;（3）ui(k)為可能位移： 在su上 ;（4）在各向同性線性材料應(yīng)變能U的表達(dá)式為徐芝綸（上冊(cè)）P.345（115）式。2由 P (k) 中尋求真實(shí)位移 ui(k)為可能位移,有無(wú)窮多。因此，與其對(duì)應(yīng)的勢(shì)能 P (k)也有無(wú)窮多。要從 P (k) 中找真實(shí)位移：（1）dP=0（2）引入本構(gòu)關(guān)系 真實(shí)位移應(yīng)滿足的方程。 取 dP=0 ， 得 虛位移

8、方程 或 ui(k)為可能位移，同時(shí)滿足本構(gòu)方程。而 dP=0，表明由ui(k)導(dǎo)出sij(k)滿足靜力方程，所以由dP=0 即為真解應(yīng)滿足的控制方程。最小勢(shì)能原理的表述：在位移滿足幾何方程和位移邊界條件的前提下，如果由位移導(dǎo)出的相應(yīng)應(yīng)力還滿足平衡微分方程和力的邊界條件，則該位移必使勢(shì)能 P 為駐值（極值）。如可能位移使P 的變分 dP=0，則該位移相應(yīng)應(yīng)力必滿足靜力方程。dP=0等價(jià)與靜力方程。第五節(jié) 虛應(yīng)力原理和最小余能原理5.1虛應(yīng)力原理1虛應(yīng)力方程 運(yùn)用虛功原理，但第一種狀態(tài)為真實(shí)變形狀態(tài)，ui和 eij 、fi、;第二狀態(tài)為自平衡狀態(tài)的可能應(yīng)力（或真實(shí)應(yīng)力的變分）dsij；Su )S

9、s ds ij dX i 滿足：dsij,j = 0 在 V內(nèi) njdsij = 0 在ss 上（在ss 上無(wú)面力） dsij在 su上產(chǎn)生 dXi（在su上有反力） 根據(jù)虛功方程 2虛應(yīng)力方程表達(dá)彈性體（變形體）的應(yīng)變與位移處于相容狀態(tài)，對(duì)于任意虛設(shè)的齊次容許應(yīng)力dsij及位移邊界上的虛反力dXi，虛應(yīng)力在應(yīng)變上做的虛功等于虛反力在給定位移 上做的虛功。5.2最小余能原理1變形體的總余能Pc(k) 已知變形體在體力 fi、面力 作用及在位移邊界上有給定位移 。 定義：由可能應(yīng)力狀態(tài)sij(k)表示 Pc(k)=U c(sij(k)+V c(Xi (k)= Pc(k)(sij(k)變形的總余能

10、而 Xi (k)=njsij(k) 在su上（位移邊界上的反力） 應(yīng)變余能 邊界位移的余能 由sij(k)導(dǎo)出的在su邊界上的反力結(jié)構(gòu)總余能 Pc(k)由可能應(yīng)力sij(k) 定義。sij(k) 滿足 在V內(nèi)：sij(k)+fi =0 在s =ss : ；2由sij(k)定義的總余能中找出真實(shí)應(yīng)力sij （1） dPc=0 （2） 引入 關(guān)系式逆彈性關(guān)系 dPc =0，即 虛應(yīng)力方程 由于dsij 滿足自平衡的應(yīng)力狀態(tài): dsij,j = 0 在 V內(nèi)， njdsij = 0 在ss 上；所以 dPc=0 為一個(gè)虛應(yīng)力方程。則 eij(k)為可能變形狀態(tài)，而sij(k)已滿足靜力方程，由sij

11、(k)導(dǎo)出的 eij(k)、ui(k) 滿足幾何方程及位移邊界條件。因此，由 dPc=0 表明由sij(k)中找出真實(shí)應(yīng)力sij。3最小余能原理表述：在應(yīng)力滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的前提下，如果由應(yīng)力導(dǎo)出的相應(yīng)應(yīng)變還滿足相容條件，則該應(yīng)力必使總余能 Pc 為極值；或可能應(yīng)力使得總余能的變分 dPc=0,則由該應(yīng)力導(dǎo)出相應(yīng)位移必滿足相容條件。4真實(shí)狀態(tài)總勢(shì)能 P 總余能 Pc關(guān)系： 對(duì)于真實(shí)狀態(tài)的 虛功方程 所以真實(shí)狀態(tài) P = -Pc第六節(jié) 基于最小勢(shì)能原理上的近似解法在前面幾節(jié)介紹了幾個(gè)最基本的能量原理，利用能量原理求問(wèn)題的解，從理論上看是明確的步驟規(guī)范,如最小勢(shì)能原理：（分兩步）1對(duì)

12、于給定的外力和邊界條件尋找滿足幾何方程和位移邊界條件的ui(k) 函數(shù)序列，并確定 P (k) 。2由dP =0尋求真解ui，即由ui(k)中找ui的控制方程，但由于問(wèn)題求解域復(fù)雜性及約束的變化，利用能量原理求解析解也是無(wú)法實(shí)際進(jìn)行的。但可由能量原理可以建立尋求問(wèn)題近似解的有效途徑。6.1李茲法（RayleighRitz）：Ritz法在最小勢(shì)能原理的運(yùn)用：是由有限個(gè)可能位移序列中找近似解，當(dāng)可能位移序列式越多，所得到的近似解也愈趨近于真解。1選取可能位移 (在給定的 條件下選可能位移) u(k) =u0+S Amum , v(k) =v0+S Bmvm , w(k) =w0+S Cmwm ,式

13、中u0 、um、v0、vm、w0、wm 均為已知連續(xù)可微函數(shù)，且u0 、v0、w0滿足Su 的位移邊界條件，、 在Su上而 um= 0 、vm= 0、wm = 0、 在Su上可能位移中的Am、Bm和Cm為待定系數(shù)。2結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能 P (k)及其變分 dP (k) P (k) =P (k)( Am、Bm、Cm)=U (Am、Bm、Cm)+V( Am、Bm、Cm）此時(shí)結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能不是泛函了，而是Am、Bm、Cm的函數(shù)。 3. 利用 dP = 0求解方程 dP = 0 由于Am、Bm、Cm的增量 dAm、dBm、dCm的任意性，則dP = 0 對(duì)于線彈性體的應(yīng)變能U為待定系數(shù)的二需要求 次式，荷載勢(shì)

14、能V為待定系數(shù)的一次式。 ， ， 各向同性線彈性體有關(guān)Am、Bm 和Cm 的線性方程組（3m個(gè) 方程）見(jiàn)徐芝綸彈性力學(xué)（上 冊(cè)） P.352（1110）式4Ritz法在平面問(wèn)題的應(yīng)用平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題均不考慮位移分量w，而u、v為x、y的函數(shù)，體積力分量 fz=0，面力分量 。 可能位移 u(k) =u0+S Amum , v(k) =v0+S Bmvm , u0 、v0滿足Su 的位移邊界條件, 而 um= 0、vm= 0 在Su上?？倓?shì)能 P =P（Am, Bm） 總勢(shì)能P 的變分 dP =0 ，得 平面應(yīng)力問(wèn)題，取薄板厚度 t=1。其應(yīng)變能為 徐芝綸彈性力學(xué)（上冊(cè)）P.355（111

15、3）式。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題（取t=1）將上式中 、替換，應(yīng)變能U 的表達(dá)式見(jiàn)徐芝綸彈性力學(xué)（上冊(cè)）P.354（1112）式。5Ritz法在平面桿件結(jié)構(gòu)問(wèn)題的應(yīng)用q(x)EIxx yv(x)l 梁彎曲問(wèn)題僅有位移（撓度）v為x的函數(shù)， 可能位移 v(k) =v0+S Bmvm v0滿足Su 的位移邊界條件, 而在Su上 ，vm= 0 。梁的總勢(shì)能 P =P（Bm）=U(Bm)+ V(Bm) 總勢(shì)能P 的變分 dP =0 ，得m個(gè)方程，確定Bm。 平面桁架問(wèn)題：P1P2P3 平面桁架結(jié)構(gòu)的位移為桁架的各結(jié)點(diǎn)位移, 第i 個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移為 ui 、vi。平面桁架結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U 為桁架各個(gè)桿件的應(yīng)變能之和

16、，即 而 為第i 個(gè)桿的應(yīng)變能。其中 Di 為第i 個(gè)桿的伸長(zhǎng)，Ei、Ai、li 分別為第i 個(gè)桿的彈性模量，桿的截面面積和桿長(zhǎng)。 第i 個(gè)桿的伸由桿兩端的位移確定。因此，應(yīng)變能U 為位移 ui 、vi的函數(shù)。平面桁架結(jié)構(gòu)的荷載勢(shì)能V 也是位移ui 、vi的函數(shù)。平面桁架的總勢(shì)能 P =U+V= P( ui、vi)由總勢(shì)能P 的變分 dP =0 ，得到求解結(jié)點(diǎn)位移ui 、vi 的方程。6Ritz法在平面問(wèn)題和平面桿件結(jié)構(gòu)問(wèn)題的應(yīng)用舉例例1:平面應(yīng)力問(wèn)題xq2yq1ab已知：a ´ b薄板（厚度t=1），無(wú)體積力作用，邊界條件 x = 0：, y = 0: , x = a：, y =

17、b: , 解：根據(jù)位移邊界設(shè) u0 = 0、v0 = 0 u =u0+S Amum =S Amum =x(A1+A2x+A3y+¼) v=v0+S Bmvm =S Bmvm =y(B1+B2x+B3y+¼) 當(dāng)項(xiàng)次取得越多，求解方程也就越多，解也越與真解接近，最簡(jiǎn)單取一次式 u = A1x , v=B1y ;位移分量的一次偏微分為 ， ，代入平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)變能表達(dá)式 ， 得 荷載勢(shì)能V為 求解方程 解得 ， ，代回 u = A1x , v=B1y ，得 ， 本題的近似解碰巧為真解。 qEI y x l例2:梁的彎曲問(wèn)題 簡(jiǎn)支梁受均布荷載 q 作用。 解：位移邊界條件： x

18、 = 0：v = 0 ； x = l：v = 0 ; 梁彎曲問(wèn)題的撓曲線為 v =v0+S Bmvm 根據(jù)邊界條件，可設(shè)v0= 0；且要求在x = 0和 x = l：vm=0。 設(shè) v=v0+S Bmvm =S Bmvm =x(x-l)(B1+B2 x+B3 x 2+¼) 取一項(xiàng)時(shí)，v =B1x(x-l)，則 v=B1(2x-l), v”=2B1 .代入勢(shì)能 P 表達(dá)式，的 由總勢(shì)能P 的變分 dP =0 ，得 ，代入梁彎曲的撓曲線方程，近似解 。當(dāng)x = l/2， （誤差17%），x yPEIPl/2l/2 材料力學(xué)解析解 。作業(yè)：利用Ritz法求解圖示lPCBAx ylC懸臂梁的

19、撓曲線。例3: 平面桁架問(wèn)題 已知圖示桁架各桿EA相同，材料的彈性關(guān)系為 s = Ee，試用勢(shì)能原理求各桿內(nèi)力。解：計(jì)算圖示桁架的勢(shì)能， P =U+V= P( ui、vi) 其中應(yīng)變能 而 ， 則 , 荷載勢(shì)能V為 由總勢(shì)能P 的變分 dP =0 ，得，解得 ， 。 各桿內(nèi)力為 ， 5最小勢(shì)能原理與Ritz法的比較最小勢(shì)能原理 Ritz法自變量 自變函數(shù)u、v、w 由自變量Am、Bm 、Cm 定義的u、v、w自變量的 幾何方程和位移 幾何方程和位移約束條件 邊界條件 邊界條件 總勢(shì)能 P P=P（u、v、w） P=P（Am、Bm、Cm） 泛函 多元（3m元）函數(shù) 變分等于零 積分方程 多元（線

20、性）方程組 dP =0 靜力方程的積分形式 滿足dP =0的解 解析解 近似解6.2伽遼金法（1915年）在最小勢(shì)能原理中，由可能位移ui(k) 定義的總勢(shì)能 P(k) ，并由 dP =0尋求真解ui。而 dP =0 本身表示為虛位移方程：，也可改寫(xiě)為靜力方程的積分形式 ， 等價(jià)于靜力方程。伽遼金法步驟：1設(shè)定滿足強(qiáng)約束條件的可能位移ui(k) ui(k) 需要滿足的強(qiáng)約束條件： 在Su上 ， ， ； 由u(k)、v(k)、w(k) 導(dǎo)出的應(yīng)力sij(k) 在Ss 上 ；可能位移ui(k) 滿足給定 和 條件，即滿足所有邊界條件強(qiáng)約束條件。2由結(jié)構(gòu)總勢(shì)能 P 的變分等于零導(dǎo)出求解方程 如果所設(shè)

21、可能位移ui(k) 的形式與Ritz法一樣 u(k) =u0+S Amum , v(k) =v0+S Bmvm , w(k) =w0+S Cmwm 但可能位移ui(k)滿足強(qiáng)約束條件。由 dP =0 得 這里 d u= S um d Am , d v= S vmdBm , d w= S wm d Cm 并注意dAm、dBm、dCm的任意性以及 ，由 可導(dǎo)出三組方程 3m個(gè)方程，或見(jiàn)徐 芝綸彈性力學(xué)上冊(cè) P.354（1111）式。3伽遼金法在平面問(wèn)題中應(yīng)用及例題與Ritz法類(lèi)似，不考慮w, 而 u、v為 x、y函數(shù)。伽遼金法在平面問(wèn)題的求解方程為2m個(gè)。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題為 見(jiàn)徐芝綸彈性力學(xué)（上冊(cè)）P.356（1117）式,x yaabbh對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題將上式中、；見(jiàn)徐芝綸彈性力學(xué)（上冊(cè)）P.355（1116）式 。例. 已知：2a ´ b薄板（厚度t=1），無(wú)體力作用。邊界條件 在x = ± a和 y = 0：u= 0, v = 0; 在y = b：u = 0 , ; 全部邊界為位移邊界條件， 無(wú)力的邊界條件。解：不管采用Ritz法或伽遼金法，選取的近似位