隨機(jī)過程知識點(diǎn)匯總情況

1、有用標(biāo)準(zhǔn)文檔第一章隨機(jī)過程的基本概念與基本類型一隨機(jī)變量及其分布1隨機(jī)變量 x ， 分布函數(shù)f xp xx離散型隨機(jī)變量x 的概率分布用分布列pkp xxk 分布函數(shù)f xpk連續(xù)型隨機(jī)變量x 的概率分布用概率密度f x分布函數(shù)f xxf t dt2n 維隨機(jī)變量 x x 1 , x 2 , x n 其聯(lián)合分布函數(shù)f xf x1 , x2 , xn p x 1x1 , x 2x2 , x nxn , 離散型聯(lián)合分布列連續(xù)型聯(lián)合概率密度隨機(jī)變量的數(shù)字特點(diǎn)數(shù)學(xué)期望：離散型隨機(jī)變量xexxk pk連續(xù)型隨機(jī)變量 xexxf xdx方差： dxe xex 2ex 2 ex 2反映隨機(jī)變量取值的離散程度

2、協(xié)方差（兩個(gè)隨機(jī)變量x ,y ）： b xye xex yey e xy exey相關(guān)系數(shù)（兩個(gè)隨機(jī)變量x , y ）：xyb xydxdy如0 ，就稱 x ,y 不相關(guān)；獨(dú)立不相關(guān)0文案大全1有用標(biāo)準(zhǔn)文檔特點(diǎn)函數(shù)gte eitx 離散gtitxekp連續(xù)kg teitx fxdx重要性質(zhì)：g 01 ， g t 1 ， g t g t ，g k 0i k ex k常見隨機(jī)變量的分布列或概率密度、期望、方差分布p x1p, p x0qexpdxpq二項(xiàng)分布p xk c k p k q n kexnpdxnpq泊松分布p xnkk ek.exdx勻稱分布略正態(tài)分布n a ,2 f x x1e22a

3、 22exadx2指數(shù)分布f xex , x00,x0ex1dx12維正態(tài)隨機(jī)變量x x 1 , x 2 , x n 的聯(lián)合概率密度x n a, b f x1 , x2 , xn 1n2 21| b | 2exp1 xa t b21 xaaa1 ,a 2 , a n ， xx1 , x2 , xn ， bbij nn 正定協(xié)方差陣二隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的一般定義設(shè) ,p 是概率空間， t 是給定的參數(shù)集，如對每個(gè)tt ，都有一個(gè)隨機(jī)變量 x 與之對應(yīng)，就稱隨機(jī)變量族x t ,e, tt是 ,p 上的隨機(jī)過程；簡記為x t, tt；文案大全2有用標(biāo)準(zhǔn)文檔含義：隨機(jī)過程是隨機(jī)現(xiàn)象的變化過程，

4、用一族隨機(jī)變量才能刻畫出這種隨機(jī)現(xiàn)象的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；另一方面，它是某種隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，而試驗(yàn)顯現(xiàn)的樣本函數(shù)是隨機(jī)的；當(dāng) t 固定時(shí)，x t,e 是隨機(jī)變量；當(dāng) e 固定時(shí)，x t ,e 時(shí)一般函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)或軌道；分類：依據(jù)參數(shù)集 t 和狀態(tài)空間 i 是否可列，分四類；也可以依據(jù)x t 之間的概率關(guān)系分類，如獨(dú)立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程等 ； 隨機(jī)過程的分布律和數(shù)字特點(diǎn)用有限維分布函數(shù)族來刻劃隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；隨機(jī)過程x t , tt的一維分布，二維分布， n 維分布的全體稱為有限維分布函數(shù)族；隨機(jī)過程的有限維分布函數(shù)族是隨機(jī)過程概率特點(diǎn)的完整描述；在實(shí)際中，要

5、知道隨機(jī)過程的全部有限維分布函數(shù)族是不行能的，因此用某些統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)來取代；（）均值函數(shù)mx t ex t表示隨機(jī)過程x t , tt在時(shí)刻 t 的平均值；（）方差函數(shù)d x t e x t 2mx t表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t 對均值的偏離程度；（）協(xié)方差函數(shù)bx s, te x smx sx t mx t且有e x s x t mx smxt 文案大全3有用標(biāo)準(zhǔn)文檔b x t ,t d x t（）相關(guān)函數(shù)rx s,t e x s x t3 和4 表示隨機(jī)過程在時(shí)刻s ，t 時(shí)的線性相關(guān)程度；（）相互關(guān)函數(shù)：x t, tt， yt, tt是兩個(gè)二階距過程，就下式稱為它們的互協(xié)方差函數(shù)；b x y s,

6、t e x smx sy t my t，那么rxy s, te x sy t ，稱為互e x sy tm x smy t相關(guān)函數(shù)；如 e x sy t mx smy t ，就稱兩個(gè)隨機(jī)過程不相關(guān)；復(fù)隨機(jī)過程z tx tjyt均值函數(shù)mz t ex tjey t方差函數(shù)dz t e| ztmt |2e z tmz t z tmz tz協(xié)方差函數(shù)bz s,te z smz s ztmz t 相關(guān)函數(shù)rz s, t ez s zt 常用的隨機(jī)過程e zs zt mz smz t （）二階距過程：實(shí)（或復(fù)）隨機(jī)過程x t, tt，如對每一個(gè) tt ，都有 e2x t（二階距存在），就稱該隨機(jī)過程為二階

7、距過程；（ 2）正交增量過程：設(shè)x t , tt是零均值的二階距過程，對任意的t1t 2t3t 4t ，有e x t 2 x t1 x t4 x t3 0 ，就稱該隨機(jī)過程為正交增量過程；文案大全4有用標(biāo)準(zhǔn)文檔其協(xié)方差函數(shù)b x s,t rx s, t 2 mins, tx（ 3）獨(dú)立增量過程：隨機(jī)過程x t, tt，如對任意正整數(shù) n2 ，以及任意的 t1t 2tnt，隨機(jī)變量x t 2 x t1 , x t 4 x t3 , x t n x t n1 是相互獨(dú)立的， 就稱x t , tt是獨(dú)立增量過程；進(jìn)一步，如x t, tt是獨(dú)立增量過程， 對任意 st ，隨機(jī)變量x t x s 的分布

8、僅依靠于 ts ，就稱x t , tt是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；（ 4）馬爾可夫過程：假如隨機(jī)過程x t, tt具有馬爾可夫性，即對任意正整數(shù) n 及 t1t 2tnt， p x t1 x1 , x tn 1 xn 1 0 ，都有p x t n xn x t1 x1 , x tn 1 xn 1p x tn xn x t n 1 xn 1，就就稱x t , tt是馬爾可夫過程；（ 5）正態(tài)過程： 隨機(jī)過程x t , tt，如對任意正整數(shù) n 及t1 , t 2 ,tnt ，（ x t1 , x t 2 x t n ）是 n 維正態(tài)隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)是n 維正態(tài)分布函數(shù)，就稱x t, tt是正態(tài)過

9、程或高斯過程；（ 6）維納過程：是正態(tài)過程的一種特別情形；設(shè) w t ,t為實(shí)隨機(jī)過程，假如，w 00 ；是平穩(wěn)獨(dú)立增量2過程；對任意s,t 增量 w tw s 聽從正態(tài)分布，即w tw s n 0,ts 20 ；就稱w t,t為維納過程， 或布朗運(yùn)動過程；文案大全5有用標(biāo)準(zhǔn)文檔另外：它是一個(gè)markov 過程；因此該過程的當(dāng)前值就是做出其將來猜測中所需的全部信息；維納過程具有獨(dú)立增量； 該過程在任一時(shí)間區(qū)間上變化的概率分布獨(dú)立于其在任一的其他時(shí)間區(qū)間上變化的概率；它在任何有限時(shí)間上的變化聽從正態(tài)分布，其方差隨時(shí)間區(qū)間的長度呈線性增加；（ 7）平穩(wěn)過程：嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)過程：x t, tt，假如

10、對任意常數(shù)和正整數(shù) n 及t1, t2 , t nt ， t1,t 2,t nt ，（x t1 , x t 2 x t n ）與（ x t1, x t 2x tn ）有相同的聯(lián)合分布，就稱x t , tt是嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)過程；廣義平穩(wěn)過程：隨機(jī)過程x t , tt，假如x t , tt是二階距過程；對任意的 tt ， mxt ex t常數(shù) ；對任意s，tt ，rx s, te x s x t rx ts) ，或僅與時(shí)間差 ts 有關(guān)；就滿意這三個(gè)條件的隨機(jī)過程就稱為廣義平穩(wěn)過程，或?qū)捚椒€(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程；第三章泊松過程一泊松過程的定義（兩種定義方法），設(shè)隨機(jī)計(jì)數(shù)過程x t, t0，其狀態(tài)僅取

11、非負(fù)整數(shù)值，如滿意以下三個(gè)條件，就稱：x t, tt是具有參數(shù)的泊松過程；x 00 ；獨(dú)立增量過程，對任意正整數(shù)n ，以及任意的文案大全6有用標(biāo)準(zhǔn)文檔t1t 2t ntx t 2 x t1 , x t3 x t 2 , x t n x tn1 相互獨(dú)立，即不同時(shí)間間隔的計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；在任一長度為t 的區(qū)間中，大事發(fā)生的次數(shù)聽從參數(shù)t0 的的泊松分布，即對任意t , s0 ，有px tsx snet t) nn .n0,1,e x tt ，e x tt，表示單位時(shí)間內(nèi)時(shí)間發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，也稱速率或強(qiáng)度；，設(shè)隨機(jī)計(jì)數(shù)過程x t, t0，其狀態(tài)僅取非負(fù)整數(shù)值，如滿意以下三個(gè)條件，就稱：x t, t0

12、 是具有參數(shù)的泊松過程；x 00 ；px thx t1hohpx thx t2oh獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程；第三個(gè)條件說明，在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多有一個(gè)大事發(fā)生，而不行能有兩個(gè)或兩個(gè)以上大事同時(shí)發(fā)生，也稱為單跳性；二基本性質(zhì) ，數(shù)字特點(diǎn)mx t e x ttd x trx s, t st1stt s1stbx s, trx s, tmx s mx tmin s, t推導(dǎo)過程要特別熟識，tn 表示第 n1 大事發(fā)生到第 n 次大事發(fā)生的時(shí)間間隔，tn ,n1 是時(shí)間序列，隨機(jī)變量tn 聽從參數(shù)為的指數(shù)分布；概率密度為f tet , t0,t0 ，分布函數(shù)0ft t1 et , t0,t0 均值為0

13、1et nn文案大全7有用標(biāo)準(zhǔn)文檔證明過程也要很熟識到達(dá)時(shí)間的分布略三非齊次泊松過程到達(dá)強(qiáng)度是 t 的函數(shù) x 00 ；獨(dú)立增量過程； px thx t1t hoh；不px thx t2oh具有平穩(wěn)增量性；均值函數(shù)m x tte x tsds0定理：x t, t0是具有均值為tmx t sds 的非齊次泊松過程，就有0 m tsmt npx tsx t nxxexp mx ts n .mx t 四復(fù)合泊松過程設(shè) n t ,t0是強(qiáng)度為的泊松過程，yk , k1,2,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且與n t , t0獨(dú)立，令x tn tyk就稱 x t, t0為復(fù)合k 1泊松過程；重要結(jié)論：x t

14、, t0 是獨(dú)立增量過程；如e y 2 ，就e x tte y1 ，d x t 12te y1 第四章馬爾可夫鏈泊松過程是時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程，維納過程是時(shí)間狀態(tài)都連續(xù)的馬氏過程；時(shí)間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈；馬爾可夫過程的特性： 馬爾可夫性或無后效性； 即：在過程時(shí)刻t0 所處的狀態(tài)為已知的條件下， 過程在時(shí)刻 tt0 所處狀態(tài)的條件分布與過程文案大全8有用標(biāo)準(zhǔn)文檔在時(shí)刻t0 之前所處的狀態(tài)無關(guān)；也就是說，將來只與現(xiàn)在有關(guān)，而與過去無關(guān)；表示為p x t n xn x t1 x1 , x tn 1 xn 1p x tn xn x t n 1 xn 1一馬爾可夫鏈的概念及

15、轉(zhuǎn)移概率1定義：設(shè)隨機(jī)過程x n , nt，對任意的整數(shù) nt 和任意的i0 , i1,i n 1i ，條件概率滿意px n 1in 1 x0i 0 , x1i1, x ninpx n 1in 1 x nin，就稱x n , nt為馬爾可夫鏈；馬爾可夫鏈的統(tǒng)計(jì)特性完全由條件概率px n 1in 1 x nin所打算；2轉(zhuǎn)移概率px n 1j xni相當(dāng)于隨機(jī)游動的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻n 處于狀態(tài)i 的條件下，下一步轉(zhuǎn)移到 j 的概率；記為pij n ； 就pijnpx n 1j x ni稱為馬爾可夫鏈在時(shí)刻n 的一步轉(zhuǎn)移概率；如齊次馬爾可夫鏈，就pij n與 n 無關(guān)，記為pij ；p pij i, j

16、ii1,2,稱為系統(tǒng)的一步轉(zhuǎn)移矩陣；性質(zhì)：每個(gè)元素 pij0 ，每行的和為1；3n 步轉(zhuǎn)移概率pijn = pxj xi；pn pijn i , jii1,2,m nm稱為 n 步轉(zhuǎn)移矩陣；重要性質(zhì)：p n p l pn l 稱為 ck 方程，證明中用到條件概率ijikkjk i的乘法公式、馬爾可夫性、齊次性；文案大全9有用標(biāo)準(zhǔn)文檔p npxj xipx mi , x m njijm nmpx mi把握證明方法：px mk tpx mi, xm lpx mi, xm lk, x m nik, x m njjpx mi, xm lkk tpx mi, x m lkpx mip n l ml pl

17、 mpl p n l kjikikkj k ik i pnpn說明 n 步轉(zhuǎn)移概率矩陣是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n 次乘方；4 x n ,nt是馬爾可夫鏈，稱p jpx 0j為初始概率，即0 時(shí)刻狀態(tài)為 j 的概率；稱p j npx nj為肯定概率，即 n 時(shí)刻狀態(tài)為 j 的概率；tp 0p , p ,為初始概率向量，p np n, pn,為肯定概率向t1212量；定理：p np p n矩陣形式：p t n pt 0 p n pnp n1 pjiiji ijiiji i定理：px1i1 , x 2i 2 , x ninpi piipii說明馬氏鏈的有限維分1n 1 ni i布完全由它的初始概率和一步

18、轉(zhuǎn)移概率所打算；二馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類1周期：自某狀態(tài)動身，再返回某狀態(tài)的全部可能步數(shù)最大公約數(shù)，ii即 dgc dn : pn 0；如 d1 ，就稱該狀態(tài)是周期的；如d1 ，就稱該狀態(tài)是非周期的； n2首中概率： fij表示由 i 動身經(jīng) n 步首次到達(dá) j 的概率；文案大全10有用標(biāo)準(zhǔn)文檔3 fij nfijn 1表示由 i 動身經(jīng)最終（遲早要）到達(dá)j 的概率；4假如fii1 ，就狀態(tài) i 是常返態(tài)；假如fii1 ，狀態(tài) i 是特別返（滑過）態(tài)；5nf n 表示由 i 動身再返回到 i 的平均返回時(shí)間；如，就稱 iiiiin 1是正常返態(tài)；如i，就稱 i 是零常返態(tài)；非周期的正常返態(tài)是遍歷

19、狀態(tài)；6狀態(tài) i 是常返充要條件是n piin 0；狀態(tài) i 是特別返充要條件是pn iin 01；1f ii7稱狀態(tài) i 與 j 互通，ij , 即ij 且ji；假如 ij ，就他們同為常返態(tài)或特別返態(tài)，；如 i ， j 同為常返態(tài)， 就他們同為正常返態(tài)或零常返態(tài)，且 i ， j 有相同的周期；8狀態(tài) i 是遍歷狀態(tài)的充要條件是limnn 1pii0 ；一個(gè)不行約的、非周i期的、有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的；9要求：熟識定義定理，能由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，從而識別各狀態(tài)；三狀態(tài)空間的分解1設(shè) c 是狀態(tài)空間 i 的一個(gè)閉集，假如對任意的狀態(tài)ic ，狀態(tài) jc ，文案大全11有用標(biāo)準(zhǔn)

20、文檔都有 pij0 （即從 i 動身經(jīng)一步轉(zhuǎn)移不能到達(dá)j ），就稱 c 為閉集；假如 c的狀態(tài)互通，就稱 c 是不行約的；假如狀態(tài)空間不行約，就馬爾可夫鏈x n , nt不行約；或者說除了 c 之外沒有其他閉集，就稱馬爾可夫鏈x n , nt不行約；2c 為閉集的充要條件是： 對任意的狀態(tài) ic ，狀態(tài) jc ，都有p0n ；ij所以閉集的意思是自c 的內(nèi)部不能到達(dá) c 的外部；意味著一旦質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入閉集 c 中，它將永久留在 c 中運(yùn)動；假如 pii1 ，就狀態(tài) i 為吸取的；等價(jià)于單點(diǎn)i為閉集；3馬爾可夫鏈的分解定理： 任一馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間i ，必可唯獨(dú)地分解成有限個(gè)互不相交的子集d ,

21、c1 ,c2 ,cn的和，每一個(gè)cn 都是常返態(tài)組成的不行約閉集；c n 中的狀態(tài)同類，或全是正常返態(tài)，或全是零常返態(tài)，有相同的周期，且fij1 ； d 是由全體特別返態(tài)組成；分解定理說明：狀態(tài)空間的狀態(tài)可按常返與特別返分為兩類，特別返態(tài)組成集合 d ，常返態(tài)組成一個(gè)閉集c ；閉集 c 又可按互通關(guān)系分為如干個(gè)互不相交的基本常返閉集c1, c2 ,cn；含義：一個(gè)馬爾可夫鏈如果從 d 中某個(gè)特別返態(tài)動身，它或者始終停留在d 中，或某一時(shí)刻進(jìn)入某個(gè)基本常返閉集c n ，一旦進(jìn)入就永不離開； 一個(gè)馬爾可夫鏈假如從某一常返態(tài)動身，必屬于某個(gè)基本常返閉集cn ，永久在該閉集cn 中運(yùn)動；4有限馬爾可夫

22、鏈：一個(gè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個(gè)有限集合；文案大全12有用標(biāo)準(zhǔn)文檔性質(zhì)：全部特別返態(tài)組成的集合不是閉集；沒有零常返態(tài)；必有正常返態(tài)；狀態(tài)空間idc1c2cn ，d 是特別返集合，c1 , c2 ,cn是正常返集合；不行約有限馬爾可夫鏈只有正常返態(tài)；ij四 p n 的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布ij1為什么要爭論轉(zhuǎn)移概率pn 的遍歷性？爭論 pn 當(dāng) n時(shí)的極限性質(zhì)，即 pxj xi的極限分布，包含兩ijn0個(gè)問題：一是limnp n 是否存在；二是假如存在，是否與初始狀態(tài)有關(guān)；ij這一類問題稱作遍歷性定理；假如對i , ji ，存在不依靠于 i 的極限limn n ppijj0 ，就稱馬爾可夫鏈具有遍

23、歷性；一個(gè)不行約的馬爾可夫鏈，假如它的狀態(tài)是非周期的 正常返態(tài)，就它就是一個(gè)遍歷鏈；具有遍歷性的馬爾可夫鏈，無論系統(tǒng)從哪個(gè)狀態(tài)動身，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)n 充分大時(shí)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j 的概率都近似等于p j ，這時(shí)可以用p j 作為p n 的近似值；ij2爭論平穩(wěn)分布有什么意義？判別一個(gè)不行約的、非周期的、常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v的，可以通過爭論limnpn 來解決，但求極限時(shí)困難的；所以，我們通過爭論平ij穩(wěn)分布是否存在來判別齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v鏈；一個(gè)不行約非周期常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且平穩(wěn)分布文案大全13有用標(biāo)準(zhǔn)文檔即極限分布limijnpn = 1 ,ji ；j3

24、 x n , n0是齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為i ，一步轉(zhuǎn)移概率為pij ，概率分布j , ji稱為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，滿意ji piji ij1ji4定理：不行約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布，且此平穩(wěn)分布就是極限分布1 ,jji ；推論：有限狀態(tài)的不行約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布； 5在工程技術(shù)中，當(dāng)馬爾可夫鏈極限分布存在，它的遍歷性表示一個(gè) 系統(tǒng)經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間后達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布不隨時(shí)間而變，也不依靠于初始狀態(tài)；ij6對有限馬爾可夫鏈，假如存在正整數(shù)k ，使 pk 0 ，即 k 步轉(zhuǎn)移矩陣中沒有零元素，就該鏈?zhǔn)潜闅v的；第六章平穩(wěn)隨機(jī)過程一定義（

25、第一章）嚴(yán)平穩(wěn)過程：有限維分布函數(shù)沿時(shí)間軸平移時(shí)不發(fā)生變化；寬平穩(wěn)過程：滿意三個(gè)條件：二階矩過程2e x t；均值為常數(shù)e x t 常數(shù)；相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，即rx t ,tex t x trx ；文案大全14有用標(biāo)準(zhǔn)文檔寬平穩(wěn)過程不肯定是嚴(yán)平穩(wěn)過程，而嚴(yán)平穩(wěn)過程肯定是寬平穩(wěn)過程；二聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1定義：設(shè)x t, tt和x t , tt是兩個(gè)平穩(wěn)過程，如它們的相互關(guān)函數(shù) ex t y t及 ey t x t僅與時(shí)間差有關(guān)，而與起點(diǎn) t 無關(guān)，就稱 x t 和 y t 是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程；即，rxy t, tex ty trxy ryx t,tey t x tryx 當(dāng)然，當(dāng)

26、兩個(gè)平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，其和也是平穩(wěn)過程；相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：rx 00 ；rx rx ，對于實(shí)平穩(wěn)過程，rx 是偶函數(shù)；rx rx 0 非負(fù)定；如x t 是周期的，就相關(guān)函數(shù) rx 也是周期的， 且周期相同； 假如x t 是不含周期重量的非周| |期過程，x t 與x t 相互獨(dú)立，就lim rx mx mx ；聯(lián)合平穩(wěn)過程x t 和 y t 的相互關(guān)函數(shù)，rxy rx 0 ry 0 ，ryx rx 0 ry 0 ； rxy ryx ；x t 和 y t 是實(shí)聯(lián)合平穩(wěn)過程時(shí)，就， rxy ryx ；三隨機(jī)分析略四平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性時(shí)間均值x t1l .i. mt2ttx tdtt時(shí)間相關(guān)函數(shù)x

27、 t x tl.i. m 1t2ttx t x ttdt文案大全15有用標(biāo)準(zhǔn)文檔假如x t e x tmx t 以概率成立，就稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值有各態(tài)歷經(jīng)性；假如x t x te x t x trx 以概率成立，就稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)有各態(tài)歷經(jīng)性；假如均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關(guān)函數(shù)都有各態(tài)歷經(jīng)性，就稱該平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的或遍歷的；一方面說明各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時(shí)間平均實(shí)際上可以認(rèn)為是相同的；另一方面也說明e x t 與 e x t x t 必定與 t 無關(guān)，即各態(tài)歷經(jīng)過程必是平穩(wěn)過程；爭論平穩(wěn)過程的歷經(jīng)性，就是爭論能否在較寬松的條件下，用一個(gè)樣本函數(shù)去近似運(yùn)算平穩(wěn)過

28、程的均值、協(xié)方差函數(shù)等數(shù)字特點(diǎn)，即用時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均；只在肯定條件下的平穩(wěn)過程，才具有各態(tài)歷經(jīng) 性 ； 均值各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是lim12t1 r2md0xxt2t2t2t相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是文案大全16有用標(biāo)準(zhǔn)文檔lim1t2t2t112t2t b 12rx d0b 1 e x t x t x t1 x t1 第七章平穩(wěn)過程的譜分析一平穩(wěn)過程的譜密度推導(dǎo)過程：隨機(jī)過程x t,t為均方連續(xù)過程，作截尾處理x t t x t, 0,tt ，由于ttx t t 均方可積，所以存在ft，得f ,t

29、 xt ej t dttx t ej t dt ，利用 paserval定理及 ift 定義得tttxt2 t dtxt2 t dt1f ,t 22d該式兩邊都是隨機(jī)變量，取平均值，這時(shí)不僅要對時(shí)間區(qū)間t ,t 取，仍要取概率意義下的統(tǒng)計(jì)平均，即1lim etx 2 tdt1 e12tf ,t d11ef ,t 2 dtt2ttlim2 2t2lim 2t定義21tlim e2ttx 2 ttdt 為x t,t平均功率；tsx lim12為ef ,t 2tx t,t功率譜密度，簡稱譜密度；可以推出當(dāng)x t ,t是均方連續(xù)平穩(wěn)過程時(shí)，有文案大全17有用標(biāo)準(zhǔn)文檔21ttlim e2tx 2 tdt

30、ttlim1t2ttex 2 tex 2 trx 021sd說明平穩(wěn)過程的平均功率等于過程的均方2x值，或等于譜密度在頻域上的積分；平穩(wěn)過程的譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成ft 對；1rse jdsrej dxxxx2如平穩(wěn)隨機(jī)序列x n , n0,1,2,，就其譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成ft 對rn 1se j n dsrn ej nxxxx2n二譜密度的性質(zhì) s 是 r 的 ft ； sr e jdxxxx假如x t ,t是均方連續(xù)的實(shí)平穩(wěn)過程， 有 rx rx ，sx 是也實(shí)的非負(fù)偶函數(shù)，就s2r cosdr1scdos x0xxx sx 是的有理分式，分母無實(shí)根；譜密度的物理含義，sx 是一個(gè)頻率函數(shù)

31、， 從頻率域來描畫x t 統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)字特點(diǎn)， 而 x t 是各種頻率簡諧波的疊加，sx 就反映了各種頻率成分所具有的能量大?。贿\(yùn)算可以依據(jù)定義運(yùn)算，也可以利用常用的變換對t 112e a2 aa02a 2文案大全18有用標(biāo)準(zhǔn)文檔22cos00 0 sin0j0 0 re j 0srt s e j tsin01,0 等xx0xx0,0三窄帶過程及白噪聲過程的功率譜密度窄帶隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的譜密度限制在很窄的一段頻率范疇內(nèi)；白噪聲過程：設(shè)x t,t 為實(shí)值平穩(wěn)過程，如它的均值為零，且譜密度在全部的頻率范疇內(nèi)為非零的常數(shù)，即sx n0 ，就稱x t ,t為白噪聲過程；是平穩(wěn)過程；其相關(guān)函數(shù)為rx

32、 n 0 ；說明在任意兩個(gè)時(shí)刻t1 和t2，x t1 和x t 2 不相關(guān)，即白噪聲隨時(shí)間的變換起伏極快，而過程的功率譜極寬，對不同輸入頻率的信號都有可能產(chǎn)生干擾；四聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度互譜密度沒有明確的物理意義，引入它主要是為了能在頻率域上描述兩個(gè)平穩(wěn)過程的相關(guān)性；互譜密度與相互關(guān)函數(shù)成對關(guān)系r1se jdsrj edxyxy2xyxyr1se jdsrjedyxyx2性質(zhì)yxy xsxy sxy sxy 的實(shí)部是的偶函數(shù)，虛部是的奇函數(shù)， syx 也文案大全19有用標(biāo)準(zhǔn)文檔是；2sxy sx sy ；如x t 和 yt 相互正交，有rxy 0 ，就sxy syx 0；五平穩(wěn)過程通過線性系

33、統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)h （也可以寫成h j ）一般是一個(gè)復(fù)值函數(shù)，是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的ft；h ht ej t dtht1 2h e j t d系統(tǒng)輸入x t 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，就輸出y t 也是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程；即輸出過程的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)是時(shí)間差的函數(shù)；且有ry rxy hrx hh說明輸出過程的相關(guān)函數(shù)可以通過兩次卷積產(chǎn)生；rxy rx h 的應(yīng)用：給系統(tǒng)一個(gè)白噪聲過程x t ，可以從實(shí)測的相互關(guān)資料估量線性系統(tǒng)的未知脈沖響應(yīng)；由于rx n 0 ，rxy rx hn0uhu dun 0h ，從而hrxy n 0輸入輸出譜密度之間的關(guān)系sy h2sx2h h h 稱為系統(tǒng)的頻率增益因子或

34、頻率傳輸函數(shù)；有時(shí)，采納時(shí)域卷積的方法運(yùn)算輸出的相關(guān)函數(shù)比較煩瑣，可以先運(yùn)算輸出過程的譜密度，然后反ft 運(yùn)算出相關(guān)函數(shù)；文案大全20有用標(biāo)準(zhǔn)文檔rx sy 2h sx ry 另外 rxy rx h ，所以sxy h sx ， syx h sx 補(bǔ)充：排隊(duì)輪平均間隔時(shí)間 =總時(shí)間 / 到達(dá)顧客總數(shù)平均服務(wù)時(shí)間 =服務(wù)時(shí)間總和 / 顧客總數(shù)平均到達(dá)率 =到達(dá)顧客總數(shù) / 總時(shí)間平均服務(wù)率 =顧客總數(shù)/ 服務(wù)時(shí)間總和一當(dāng)顧客到達(dá)符合泊松過程時(shí)，顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間t 必聽從負(fù)指數(shù)分布；對于泊松分布，表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)， 所以 1 表示顧客相繼到達(dá)的平均間隔時(shí)間；服務(wù)時(shí)間符合負(fù)指數(shù)分布時(shí)， 設(shè)它的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分f t et別為 f tptt