定積分的概念與性質(zhì)97895

1、2021-11-221第五章 定積分及其應(yīng)用（definite integrals and its application）積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分2021-11-222主 要 內(nèi) 容第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分2021-11-223第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 第五章第五章 （conceptions and properties of definite integrals）一、一、 引例引例二、二、 定積分的定義定積

2、分的定義三、三、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)2021-11-224一、引 例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 a .?a( )yf x矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah2021-11-2251xix1ixxabyo1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個(gè)窄曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的窄矩形, 并以此窄矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形

3、面積,ia得1()() ,1,2,iiiiiiafxxxxini解決步驟 :2021-11-226niiaa1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiaa10lim01lim()niiifx3) 近似和近似和.1xix1ixxabyoi2021-11-227設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng), ,)(21ttctvv且,0)(tv求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個(gè)分點(diǎn)中任意插入在

4、ntt),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 個(gè)小段過的路程為2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程2021-11-228iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個(gè)問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同：“大化小大化小 , 常代變常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限3) 近似和近似和.2021-11-229abxo二、定積分定義,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對(duì),ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi11max0,()niii

5、i nixsfx 只要總趨于確定的極限 i , 則稱此極限 i 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作2021-11-2210baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量 積分和積分和稱為積分區(qū)間,ba注：定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)注：定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分而與積分變量用什么字母表示無關(guān)變量用什么字母表示無關(guān) , 即即baxxfd)(battfd)(

6、bauufd)(2021-11-2211定理定理1 上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2 ,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) .,)(可積在baxf可積的充分條件:注注1：注注2：定積分的定義很重要，：定積分的定義很重要，今后學(xué)習(xí)二重、三重積分、今后學(xué)習(xí)二重、三重積分、 曲線與曲面積分時(shí)，曲線與曲面積分時(shí)， 還會(huì)遇到結(jié)構(gòu)上與表述上都類似的定義，還會(huì)遇到結(jié)構(gòu)上與表述上都類似的定義， 它們統(tǒng)稱為它們統(tǒng)稱為黎曼積分黎曼積分.2021-11-2212o1 xyni例例1（p227） 利用定義計(jì)算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為

7、niix ), 1 ,0(ni2xy nix1,nii取),2, 1(niiiiixxf2)(則32niiinixf)(12311nini31(1)(21)61n nnn)12)(11 (61nn122001dlimniiixxx故nlim31)12)(11 (61nn2021-11-2213axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1a2a3a4a5a54321d)(aaaaaxxfba各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和a定積分的幾何意義:2021-11-22141oxy 12 01(1)dxxx24111 12 142yx2021-1

8、1-2215三、定積分的性質(zhì)（設(shè)所列定積分都存在）（設(shè)所列定積分都存在）abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab2021-11-2216bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當(dāng)bca時(shí),因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時(shí), 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciix

9、fabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(2021-11-2217abc,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)( )dbaf xx故cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(當(dāng)當(dāng) a, b, c 的相對(duì)位置任意時(shí)的相對(duì)位置任意時(shí), ,例如例如2021-11-22181()0niiifx則.0d)(xxfba證證:,0)(xf( )dbaf xx故0)(lim10iinixf推論推論1 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)( )d()bag xxab6. 6. 若在若在a , b上上2021-11-2219xxfba

10、d)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設(shè), )(min, )(max,xfmxfmbaba則)(d)()(abmxxfabmba)(ba 推論2 積分估值積分估值定理定理2021-11-2220101xe dxe 證證:( )xf xe 例3 試證試證:在區(qū)間0,10,1上單調(diào)遞增，01( )ef xe 101 1 01 0 xe dxe 即利用積分估值定理積分估值定理，得1110001( )dxdf xexdxdbaxba101xe dxe 即2021-11-2221, ,)(b

11、acxf若則至少存在一點(diǎn), ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)性質(zhì)7 可得mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點(diǎn)使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.8. 積分中值定理2021-11-2222oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對(duì)abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn說明:2021-11-2223內(nèi)容小結(jié)1. 定積分定積分定義定義 乘積和式的極限乘積和式的極限2. 定積分的定積分的幾何意義幾何意義3. 定積分存在的定積分存在的充分性條件充分性條件4. 定積分的定積分的基本性質(zhì)基本性質(zhì)2021-11-2224思考與練習(xí)01xn1n2nn 11. 用定積分表示下述極限用定積分表示下述極限 :nnnnnin) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnki1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或