定積分的概念與性質97895

1、2021-11-221第五章 定積分及其應用（definite integrals and its application）積分學積分學不定積分不定積分定積分定積分2021-11-222主 要 內 容第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質定積分的概念與性質 第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分2021-11-223第一節(jié) 定積分的概念與性質 第五章第五章 （conceptions and properties of definite integrals）一、一、 引例引例二、二、 定積分的定義定積

2、分的定義三、三、 定積分的性質定積分的性質2021-11-224一、引 例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 a .?a( )yf x矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah2021-11-2251xix1ixxabyo1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的窄矩形, 并以此窄矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形

3、面積,ia得1()() ,1,2,iiiiiiafxxxxini解決步驟 :2021-11-226niiaa1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiaa10lim01lim()niiifx3) 近似和近似和.1xix1ixxabyoi2021-11-227設某物體作直線運動, ,)(21ttctvv且,0)(tv求在運動時間內物體所經過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在

4、ntt),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 個小段過的路程為2. 變速直線運動的路程2021-11-228iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同：“大化小大化小 , 常代變常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ” 所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限3) 近似和近似和.2021-11-229abxo二、定積分定義,)(上定義在設函數baxf的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi11max0,()niii

5、i nixsfx 只要總趨于確定的極限 i , 則稱此極限 i 為函數)(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作2021-11-2210baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積分變量 積分和積分和稱為積分區(qū)間,ba注：定積分僅與被積函數及積分區(qū)間有關注：定積分僅與被積函數及積分區(qū)間有關, 而與積分而與積分變量用什么字母表示無關變量用什么字母表示無關 , 即即baxxfd)(battfd)(

6、bauufd)(2021-11-2211定理定理1 上連續(xù)在函數,)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2 ,)(上有界在函數baxf且只有有限個間斷點且只有有限個間斷點 .,)(可積在baxf可積的充分條件:注注1：注注2：定積分的定義很重要，：定積分的定義很重要，今后學習二重、三重積分、今后學習二重、三重積分、 曲線與曲面積分時，曲線與曲面積分時， 還會遇到結構上與表述上都類似的定義，還會遇到結構上與表述上都類似的定義， 它們統稱為它們統稱為黎曼積分黎曼積分.2021-11-2212o1 xyni例例1（p227） 利用定義計算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點為

7、niix ), 1 ,0(ni2xy nix1,nii取),2, 1(niiiiixxf2)(則32niiinixf)(12311nini31(1)(21)61n nnn)12)(11 (61nn122001dlimniiixxx故nlim31)12)(11 (61nn2021-11-2213axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值abyx1a2a3a4a5a54321d)(aaaaaxxfba各部分面積的代數和各部分面積的代數和a定積分的幾何意義:2021-11-22141oxy 12 01(1)dxxx24111 12 142yx2021-1

8、1-2215三、定積分的性質（設所列定積分都存在）（設所列定積分都存在）abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab2021-11-2216bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠取 c 為分點 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciix

9、fabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(2021-11-2217abc,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)( )dbaf xx故cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(當當 a, b, c 的相對位置任意時的相對位置任意時, ,例如例如2021-11-22181()0niiifx則.0d)(xxfba證證:,0)(xf( )dbaf xx故0)(lim10iinixf推論推論1 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)( )d()bag xxab6. 6. 若在若在a , b上上2021-11-2219xxfba

10、d)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設, )(min, )(max,xfmxfmbaba則)(d)()(abmxxfabmba)(ba 推論2 積分估值積分估值定理定理2021-11-2220101xe dxe 證證:( )xf xe 例3 試證試證:在區(qū)間0,10,1上單調遞增，01( )ef xe 101 1 01 0 xe dxe 即利用積分估值定理積分估值定理，得1110001( )dxdf xexdxdbaxba101xe dxe 即2021-11-2221, ,)(b

11、acxf若則至少存在一點, ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設則由性質性質7 可得mxxfabmbad)(1根據閉區(qū)間上連續(xù)函數介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.8. 積分中值定理2021-11-2222oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數的平均值概念的推廣故它是有限個數的平均值概念的推廣. 積分中值定理對abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn說明:2021-11-2223內容小結1. 定積分定積分定義定義 乘積和式的極限乘積和式的極限2. 定積分的定積分的幾何意義幾何意義3. 定積分存在的定積分存在的充分性條件充分性條件4. 定積分的定積分的基本性質基本性質2021-11-2224思考與練習01xn1n2nn 11. 用定積分表示下述極限用定積分表示下述極限 :nnnnnin) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnki1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或