2022年七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)整式的乘除與因式分解知識(shí)點(diǎn)+習(xí)題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)整 式 的乘 除 與 因 式 分 解1、單項(xiàng)式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。bca22的 系數(shù)為，次數(shù)為，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是。2、多項(xiàng)式： 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。122xaba，項(xiàng)有，二次項(xiàng)為，一次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為，各項(xiàng)次數(shù)分別為，系數(shù)分別為，叫次項(xiàng)式。3、整式： 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。注意 ：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。4、多項(xiàng)式按字母的升（降）冪排列：122322

2、3yxyyxx按x的升冪排列：按y的升冪排列：按x的降冪排列：按y的降冪排列：5、同底數(shù)冪的乘法法則：mnm naaa（nm,都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。例 1.若6422a，則 a= ；若8)3(327n，則 n= . 例 2.若125512x，則xx2009)2(的值為。例 3 .設(shè) 4x=8y-1,且 9y=27x-1,則 x-y 等于。6、冪的乘方法則：mnnmaa )(（nm,都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：10253)3(冪的乘方法則可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(47、積的乘方法則：nn

3、nbaab)(（n是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。（523)2zyx= 8、同底數(shù)冪的除法法則：nmnmaaa（nma,0都是正整數(shù)，且)mn同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：3334)()()(baababab9、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；10a，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。ppaa1（pa,0是正整數(shù)），即一個(gè)不等于零的數(shù)的p次方等于這個(gè)數(shù)的p次方的倒數(shù)。如：81)21(23310、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注意： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。相同字

4、母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。如：xyzyx323211、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即mcmbmacb

5、am)(cbam,都是單項(xiàng)式 ) 注意 ：積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。如：)(3)32(2yxyyxx= 12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則: 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。如：(32 )(3 )ab ab13、單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。如：bamba242497= 14、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把

6、這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。即：()ambmcmmammbmmcmmabc例 1.（ a61b） （2a31b） （3a2121b2） ；例 2.（a b） （a b）2（ a22abb2） 2ab例 3.已知 x2x10，求 x32x23 的值15、平方差公式：22)(bababa注意平方差公式展開只有兩項(xiàng)如：)(zyxzyx= 16、完全平方公式：2222)(bababaabbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()()(bababa222)()()(bababa完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2 倍。17、三項(xiàng)式的

7、完全平方公式：bcacabcbacba222)(2222例 1.利用平方差公式計(jì)算：22007200720082006精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)例 2.廣場(chǎng)內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2a 米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3 米，東西方向要加長(zhǎng)3 米，則改造后的長(zhǎng)方形草坪的面積是多少？例 3.（ 1）,21xx求22

8、1xx的值。（ 2）,16)(2yx4)(2yx，求 xy 的值。18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法a.提公因式法：式子中有公因式時(shí)，先提公因式。例 1.把2105axaybybx分解因式分析： 把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降冪排列， 然后從兩組分別提出公因式2a與b，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是5xy，這樣可以繼續(xù)提取公因式解：2105axaybybx說明： 用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試?yán)?2.把2222()()ab cdabcd分解因式

9、分析： 按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號(hào)打開后重新分組，然后再分解因式解：2222()()ab cdabcd= 說明： 由例 2、例 1 可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用。b. 公式法： 根據(jù)平方差和完全平方公式分解因式22925xyc.配方法： 分解因式2616xx說明： 這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)d.十字相乘法：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

10、 - - - - - - - - 第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（1） 2()xpq xpq型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxpxq因此，2()()()xpq xpqxpxq運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式分

11、解因式例 1.把下列各式因式分解：(1) 276xx(2) 21336xx說明： 此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同例 2.把下列各式因式分解：(1) 2524xx(2) 2215xx說明： 此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同例 3.把下列各式因式分解：(1) 226xxyy(2) 222()8()12xxxx分析： (1) 把226xxyy看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是26y，一次項(xiàng)系數(shù)是y，把26y分解成3y與2y的積，而3( 2 )yyy，正好是一次項(xiàng)系數(shù)(2) 由換元思想，

12、 只要把2xx整體看作一個(gè)字母a， 可不必寫出， 只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式2812aa（2）一般二次三項(xiàng)式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a xca xca a xa ca c xc c反過來，就得到：2121221121122()()()a a xa ca cxc ca xca xc我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成12a a，常數(shù)項(xiàng)c分解成12c c，把1212,a ac c寫成1122acac，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c，如果它正好等于2axbxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么2axbxc就可以分解成1122()()a xca xc，其中1

13、1,a c位于上一行，22,ac位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)例 4.把下列各式因式分解：(1) 21252xx(2) 22568xxyy說明： 用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1 時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，

14、可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法” 湊” ，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法” 湊” ，先 ”湊” 絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)提高練習(xí)1 （2x24x10 xy） （）21x 125y2若 xy8，x2y24，則 x2y2_3代數(shù)式4x23mx9 是完全平方式 ,則 m_4.2013201421.53_ 5. 若22210abb，則22a bab= 。6. （ a1） （a1） （a21）=。7. 一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加4cm ，面積就增加56cm2，原來正方形的邊長(zhǎng)為。8 （3+1） （ 32+1） （34+1）（32008+1）401632= 。9 （1） （4x3y）2（4x3y）2（ 2） （x22x1） （x22x1） ；10求（ 1221） （1231） （1241）（1291） （12011）的值11已知 xx12，求 x221x，x441x的值12已知（ a1） （ b2） a（b3） 3，求代數(shù)式222baab 的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -