第一章集合與命題

1、第一章集合與命題（一）集合的概念與運(yùn)算【集合的基本概念】? 知識點(diǎn)歸納1. 集合的定義 :2. 集合的特征 :3. 集合的表示法 :4. 集合的分類 :5. 數(shù)集 :6. 集合的關(guān)系 :7. 集合的運(yùn)算 :8. 集合的運(yùn)算性質(zhì) :? 例題講解例 1(1) 已知集合Mx x3n， nZ， Nx x3n1， nZ， Px x3n 1， n Z ，且 aM ， bN ，c P ，設(shè) da b c ，則().A. d MB.dNC.dPD. 以上都不正確(2) 若集合 Ak， kZ ，Bx xk，kZ ，則().x x4242A.ABB.BAC.ABD.AIB例 2寫出滿足 Ma , b的所有集合 M

2、.例 3已知集合Ax x23x40，xR ，求 A I N 的真子集的個(gè)數(shù).例 4已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8,9， A I B2， ? U ( A U B )1,9， ? U A I B4,6,8，求集合A、 B.例 5已知下列兩集合A、B，求 AI B；(1) A y y x22x 3，x R ， B y yx22 x 13， xR ；(2) A(x, y) yx22 x3，xR ， B(x, y) yx22x13， xR ；(3) Ay yx22x3， xZ ， By yx22 x13， xZ.例 6同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件 : M1,2,3,4,5 ，若 aM，則6a M ，

3、這樣的集合M 有多少個(gè) ? 寫出這些集合 .例 7已知集合 Ax x22 x 8 0， xR ， Bx x23ax 2a 20， x R(1) 實(shí)數(shù) a 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，B A ?(2) 實(shí)數(shù) a 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，A IB.? 回顧反思1. 主要方法 : 解決集合問題，首先要分析集合中的元素是什么； 抓住集合中元素的3 個(gè)性質(zhì)，對互異性要注意檢驗(yàn)； 弄清集合元素的本質(zhì)屬性，正確進(jìn)行“集合語言”和“文字語言”的相互轉(zhuǎn)化； 了解空集的意義，在解題中強(qiáng)化空集的意識； 借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解.2. 易錯(cuò)、易漏點(diǎn) : 辨清 : 子集、真子集、非空真子集的區(qū)別。數(shù)集與點(diǎn)集的區(qū)別； 進(jìn)行集合的運(yùn)算

4、時(shí)，不要忘了全集和空集的特殊情況； 解決集合與方程有關(guān)的問題時(shí)要注意檢驗(yàn).? 課后練習(xí)1. 設(shè) U 為全集， A、 B 是兩個(gè)非空集合，以下命題中正確的有_(1)若AI BU，則AB U(2)若AI BA，則A B(3)若AI B，則 A? U B(4)若AUBU，則?UA B2.已知集合 Mx x24， Nx x22 x3 0，則集合 MI N等于().A.x x2B. x x3C. x 1 x 2D. x 2 x 33.設(shè)集合 P1,2,3,4,5,6， Q2,6 ，那么下列結(jié)論正確的是().A. PIQ PB. PIQ QC. PUQ QD.PIQ P4.若非空集合 Ax 2 a1 x

5、3a 5， Bx 3x22 ，則能使 AB 成立的所有實(shí)數(shù)a 的集合是().A. a 1 a 9B. a 6a 9C. a a 9D.5.已知 S、 T 是兩個(gè)非空集合，定義集合STx xS， xT ，則S( ST ) 為().A.TB.SC.S I TD.S U T6.已知集合 Mx xm1 ，mZ ， Nx xn1 ，nZ ， Px xp1 ， pZ ，則 M、N、P 的關(guān)系62326是().A.MNPB.MNPC.MNPD.NPM7. 如圖， U 為全集， M、 P、 S是 U 的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是().PA. (MI P)I SB. (M I P)USSMC. (M I

6、 P)I ?USD. (M I P)U?USI8.設(shè)全集UR，集合Ax f ( x) 0， x R ， Bx g( x) 0， x R， Cx h(x ) 0， xR ，則方程f 2 (x )g2 ( x)的解集是 _( 用 A、 B、C 表示 ).h( x)09.(1) 滿足條件2,3U A2,3,6 的集合 A 的個(gè)數(shù)是 _ ；(2) 滿足關(guān)系a, bU Aa, b, c, d的集合 A 的個(gè)數(shù)是 _.10.設(shè)集合 Mx6Z，用列舉法寫出 M_.N， xx311.(1)若My yx2R ， Nx x t 1， tR，求MI N；1，x(2) 若 M(x, y) yx21，xR ， N(x

7、, y) yx1， xR，求 M I N .12.設(shè)集合 Ax x2x60 ， Bx mx10 ，滿足 BA ，求實(shí)數(shù)m 的值 .13.設(shè)集合 A5,log 2 ( a3) ， Ba , b，若 A IB2，求 A U B .14.已知集合M1,2,( a23a1)(a25a6)i ， N1,3，其中 i 為虛數(shù)單位，且M IN3，求實(shí)數(shù)a 的值 .15. 已知集合A x x2x 2 0，B，2mx n 0，滿足 (AUB)I C(AU B)UC Rx 1 x 1 4 Cx x求實(shí)數(shù) m、 n 的值 .【集合的運(yùn)算】? 知識點(diǎn)歸納9. 集合的有關(guān)運(yùn)算 :10. 點(diǎn)集與解析幾何有關(guān)的問題 :11

8、. 集合語言的運(yùn)用 :? 例題講解例 8若集合 A2,3 ， B a,2 a 1 . 若 AB ，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍； 若 AB，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍； 若 A IB，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .例 9已知集合Aa, ad , a2 d， Ba, aq, aq 2， a 為非零常數(shù)，若AB ，求 d、 q 的值 .例 10設(shè)集合 Ax x24 x0 ， Bx x22( a1)xa210 ，若 BA ，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .例 11若集合 M( x, y) ( x 2)2( y 3)24 ， N( x, y) ( x 1)2( y a)2 1 ，且 NM ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .4例 12設(shè)

9、全集 U( x, y) x、 yy2， N(x, y ) y x 4 ，求 ? U M I ? U N .R ，集合 M( x, y)1x2例 13設(shè)集合 A(x, y ) yax1 ， B(x , y) yx，若 A I B 是單元素集合，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .例 14設(shè) A ( x, y) y1 x2 ， B ( x, y) y x m . 若 A I B 是單元素集合，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍； 若 A I B 是含有兩個(gè)元素的集合，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 .例 15已知集合M( x, y) y11， N(x, y ) (a1) ya(a1) x1 ，且 M IN，求實(shí)數(shù)a 的值 .x22?

10、 回顧反思1. 主要方法 : 解決集合與不等式問題，要借助于數(shù)軸進(jìn)行交、并、補(bǔ)的運(yùn)算； 與點(diǎn)集有關(guān)的問題，可以用數(shù)形結(jié)合的思想或方程組的方法； 集合語言的理解 .2. 易錯(cuò)、易漏點(diǎn) : 集合與不等式問題中，區(qū)間的開、閉容易出錯(cuò)，要特別注意檢驗(yàn)區(qū)間的端點(diǎn)； 集合運(yùn)算時(shí)，要注意同解變形問題以及空集這一特殊情況.? 課后練習(xí)16.已知集合A( x, y) y9x2， x3 ， B( x, y) yxb，若 A I B，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍 .17.已知集合A1, a, b， Ba, a2 , ab，且 AB ，求實(shí)數(shù)a、 b 的值 .18.已知集合Ax ax23x10， xR. 若 A 中只有一個(gè)元

11、素，求實(shí)數(shù)a 的值； 若 A 中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .19.已知集合Ax x23 x20 ， Bx x2ax40， xR ，若 BA ，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .20.已知集合Ax x2x20 ， Bx x24 xp0 ，且 A U BA ，求實(shí)數(shù)p 的取值范圍 .21.已知集合Ax x2axa2190 ， Bx log2 (x25x8)1 ， Cx x22x62， xR，若 A I B，A I C，求實(shí)數(shù)a 的值 .22. 已知集合 A ( x, y) y31 ， B( x, y) y ax 2 ，且 A I B，求實(shí)數(shù) a 的值 .x223. 對集合 A、B，定義 AB A

12、 I? U B ，其中 U 表示全集，而A、B 的對稱差記為 A B ( A B) U (BA) ，若集21，0 x3 ， B23，求AB.合 A y y (x 1)y y x 1， 1 xy3R ， B2R ，且AIB，求實(shí)數(shù) a24. 若集合 A ( x, y)a 1， x、y( x, y) (a 1)x (a 1)y 15，x、 yx2的值 .? 增補(bǔ)習(xí)題25.已知集合 Ax x2(m3) x2( m1)0， m R ，Bx 2x2(3n 1)x 2 0， n R.求 m、 n 分使(1) AIBA (2) AUBA 時(shí)的值。26.(1) 已知集合 A2,4,8,16，令 (X ) 表示

13、 A 的非空子集X 中所有元素之積，求所有這些(X ) 的積；(2) 已知集合 Bx xn2， n10， nN* ，令 (Y) 表示 B 的非空子集Y 中所有元素之和，求這些(Y) 的和 .27.設(shè)集合 M1,2,3,4,5,6，s 、s 、 、 s都是 M 的含有兩個(gè)元素的子集，且滿足對任意的,bi， jj,bj12ksiaisaij 且 i j1,2,3, ,k ，都有 minabmina j,b jminx, y 表示 x、y 中較小 ，則 k 的最大值是i, ibja jbiaiA.10B. 11C. 12D. 1328. 已知集合 A 滿足以下條件 : 若 a A (aN ) ，則

14、f (a)aA且 f f (a )A ， ，依此類推 .2a1(1) 若集合 A 為單元素集，求 a 與集合 A；(2) 請用描述法寫出一個(gè)滿足條件的集合A，要求集合A 不是單元素集，且不含字母a.（二）命題和充要條件? 知識點(diǎn)歸納1. 命題 :2. 命題的四種形式 :3. 等價(jià)命題 :4. 充分條件和必要條件 :5. 子集與推出關(guān)系 :? 例題講解例 1寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假:(1) 若 ab 0 ，則 a 0 或 b 0 ；(2) 兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù) .例 2有下列四個(gè)命題 : 命題 “若 xy1 ，則 x、 y 互為倒數(shù) ” 的逆命題是假命題； 命題

15、 “面積相等的三角形全等” 的否命題是假命題； 命題 “若 m1，則 x22x3 0 有實(shí)根 ” 的逆否命題是真命題； 命題“若 AIBB，則 AB ” 的逆否命題是真命題 .其中是真命題的是_( 填上你認(rèn)為正確命題的序號 ).例 3命題 : tan( A B )0 ，命題 : tan A tanB 0 ，則 是 的().A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C.充要條件D. 既不充分又不必要條件例 4設(shè)函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?R ，有下列三個(gè)命題 :若存在常數(shù)M，使得對任意 xR ，有 f (x)M ，則 M 是函數(shù) f (x) 的最大值；若存在 x0R ，使得對任意 xR ， x

16、 x0 ，有 f ( x) f (x0 ) ，則 f ( x0 ) 是函數(shù) f ( x)的最大值；若存在 x0R ，使得對任意 xR ，有 f (x)f (x 0 ) ，則 f (x0 ) 是函數(shù) f ( x) 的最大值 .這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是().A.0B.1C.2D. 3例 5下列各題中， 是 的什么條件 ?(1) :xy ； : x y 0(2) : xy0 ； :xyxy .例 6(1) 寫出 x3 一個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件；(2) 寫出 ax22x10 至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.例 7在ABC 中， “ AB ” 是 “ sin Asin B ” 的什么條件 ?例 8已知

17、 c 0 ，設(shè)命題 P: 函數(shù) y c x 在 R 上單調(diào)遞減， 命題 Q: 不等式 xx 2 c 1 的解集為 R，如果命題 P 和 Q 有且僅有一個(gè)正確，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍 .? 回顧反思1. 主要方法 : 邏輯聯(lián)結(jié)詞 “ 或” 、“且 ”、“ 非” 與集合中的并集、交集、補(bǔ)集有著密切的關(guān)系，解題時(shí)注意類比； 通常復(fù)合命題 “ p 或 q”的否定為 “ p 且 q ”、“ p 且 q”的否定為 “ p 或 q ”、“ 注意” 的否定是 “ 存在 ” 、 “ 都是 ” 的否定為 “不都是 ” 等等； 有時(shí)一個(gè)命題的敘述方式比較簡略，應(yīng)先分清條件和結(jié)論，再改寫成“若 p，則的形式； 原命題與

18、它的逆否命題同真同假，原命題的逆命題與否命題同真同假，所以對一些命題的真假判斷(或推證 ) ，我們可通過對與它同真同假的命題 (具有逆否關(guān)系的命題)來判斷 (或推證 )；q” 判斷充要條件的關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論；說明不充分或不必要時(shí)，只要舉出反例即可.2. 易錯(cuò)、易漏點(diǎn) : 判斷復(fù)合命題的真假首先應(yīng)看清該復(fù)合命題的構(gòu)成形式，然后判斷構(gòu)成它的簡單命題的真假，再由真值表判斷復(fù)合命題的真假； 寫四種命題時(shí)應(yīng)先分清題設(shè)和結(jié)論； 要注意一些常用的“ 結(jié)論的否定形式”，如 “至少有一個(gè) ” 、“ 至多有一個(gè) ”、“ 都是” 的否定形式是“一個(gè)也沒有 ”、“ 至少有兩個(gè) ”、“不都是 ”；復(fù)合命題中“ 且

19、”、 “ 或 ”的否定； “ 不都是 ” 與 “ 至多 ” 、“至少 ” 的關(guān)系 .? 課后練習(xí)1. 下列說法 : 若一個(gè)命題的否命題是真命題，則這個(gè)命題不一定是真命題； 若一個(gè)命題的逆否命題是真命題，則這個(gè)命題是真命題； 若一個(gè)命題的逆命題是真命題，則這個(gè)命題不一定是真命題； 若一個(gè)命題的逆命題和否命題都是真命題，則這個(gè)命題一定是真命題.其中正確的說法是().A. B. C. D.2.設(shè)集合 Mx x2， Px x 3 ，那么 “ x M 或 xP ” 是“ xMI P”的().A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件3.函數(shù) f ( x )x 2bxc

20、 ( x0) 是單調(diào)函數(shù)的充要條件是().A. b 0B.b 0C. b 0D. b04.“ a、 bR ” 是“ a b2 ab ” 的().A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件5.下列判斷中正確的是().A. “12 是偶數(shù)且是 18 的約數(shù) ”是真命題B. “方程 x2x 10 沒有實(shí)數(shù)根 ”是假命題C. “存在實(shí)數(shù) x，使得 x23 且 x216 ”是真命題D. “三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于或等于120 ”是假命題6.命題 “ 若 xy ，則 x 2y2 ”的逆命題、否命題和逆否命題中，假命題的個(gè)數(shù)為().A. 0B.1C.2D.37.“ 1 a

21、b4且 0ab3”是“ 0a1且 1 b3” 成立的().A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件8.命題甲為 :0x 5，命題乙為 : x23 ，則甲是乙的 ().A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件9.下列命題中，與命題“ a 是一個(gè)有理數(shù) ”是等價(jià)命題的是 ().A. a2 是一個(gè)有理數(shù)B.a3 是一個(gè)有理數(shù)C.1 是一個(gè)有理數(shù)D.a 是一個(gè)有理數(shù)a10.如果 A 是 B 的必要條件， B 是 C 的充要條件， D 是 C 的充分條件，則D是A的().A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件

22、D. 既不充分又不必要條件11.對任意實(shí)數(shù) a、 b、 c，給出下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是(). “ ab ” 是 “ acbc ” 的充要條件； “ a5 是無理數(shù) ”是 “ a 是無理數(shù) ” 的充要條件； “ ab ” 是 “ a2b2 ” 的充分條件； “ a5 ” 是 “ a3 ” 的必要條件 .A. 1B.2C.3D.412.“ x y2 ” 的_條件是 “ x1 且 y1 ” .13.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假:(1) 如果 a0 ，那么 ab0 ；(2) 對頂角相等 .14. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 mx24x4 0 ， x 24 mx 4 m24 m 5 0 ( m Z ) ，求方程和都有整數(shù)解的充要條件.? 增補(bǔ)習(xí)題15. 對于非零實(shí)數(shù) a、 b，以下四個(gè)命題都成立 : a10 ； (ab)