人教A版數(shù)學(xué)必修四2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料§2.4平面向量的數(shù)量積第7課時(shí)一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：   本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律,然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積

2、的認(rèn)識(shí).主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù),使=.2平面向量基本定理：如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo),記作4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若,則,.若,則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點(diǎn)及 p1

3、, p2是直線l上的兩點(diǎn),p是l上不同于p1, p2的任一點(diǎn),存在實(shí)數(shù),使 =,叫做點(diǎn)p分所成的比,有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)p(x1,y1) ,(x2,y2),為實(shí)數(shù),且,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（）,我們稱為點(diǎn)p分所成的比.8. 點(diǎn)p的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時(shí),與同向共線,這時(shí)稱點(diǎn)p為的內(nèi)分點(diǎn).當(dāng)()時(shí),與反向共線,這時(shí)稱點(diǎn)p為的外分點(diǎn).9.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,設(shè),可得=.10力做的功：w = |f|×|s|cosq,q是f與s的夾角.二

4、、講解新課：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與,作,則（）叫與的夾角.說明：（1）當(dāng)時(shí),與同向；（2）當(dāng)時(shí),與反向；（3）當(dāng)時(shí),與垂直,記；（4）注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°c2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角是,則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積,記作a×b,即有a×b = |a|b|cosq,（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱

5、為內(nèi)積,寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b,而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積,書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中,若a¹0,且a×b=0,則b=0；但是在數(shù)量積中,若a¹0,且a×b=0,不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0),則ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|oa|,b&

6、#215;c = |b|c|cosa = |b|oa|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實(shí)數(shù)中,有(a×b)c = a(b×c),但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然,這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量,不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -

7、|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時(shí),a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí),a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：例1 已知|a|=5, |b|=4,

8、a與b的夾角=120o,求a·b.例2 已知|a|=6, |b|=4, a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a|=3, |b|=4, 且a與b不共線,k為何值時(shí),向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤,并簡(jiǎn)要說明理由.·00；0·；0；·；若0,則對(duì)任一非零有·；·,則與中至少有一個(gè)為0；對(duì)任意向量,都有（·）（·）；與是兩個(gè)單位向量,則.解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),應(yīng)有0·；對(duì)于：應(yīng)有·0；對(duì)于：由數(shù)量積定義有&#

9、183;··cos,這里是與的夾角,只有或時(shí),才有··；對(duì)于：若非零向量、垂直,有·；對(duì)于：由·可知可以都非零；對(duì)于：若與共線,記.則·（）·（·）（·）,（·）·（·）（·）（·）若與不共線,則(·)（·）.評(píng)述：這一類型題,要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.例6 已知,當(dāng),與的夾角是60°時(shí),分別求·.解：當(dāng)時(shí),若與同向,則它們的夾角°,··cos0°

10、3×6×118；若與反向,則它們的夾角180°,·cos180°3×6×（-1）18；當(dāng)時(shí),它們的夾角90°,·；當(dāng)與的夾角是60°時(shí),有·cos60°3×6×9評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān),其范圍是0°,180°,因此,當(dāng)時(shí),有0°或180°兩種可能.四、課堂練習(xí)：1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直,則a與b的夾角是（ ）a.60° b.30° c.135°

11、d.°2.已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為,那么向量m=a-4b的模為（ ）a.2 b.2 c.6 d.123.已知a、b是非零向量,則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）a.充分但不必要條件 b.必要但不充分條件c.充要條件 d.既不充分也不必要條件4.已知向量a、b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b|·|a-b|= .5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量,那么a·b= .6.已知ab、c與a、b的夾角均為60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)_.7.已知|a|=1,|b|=,