第六章空間解析幾何要求與練習(xí)(含答案)

1、第六章要求與練習(xí)一、學(xué)習(xí)要求1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示.2、掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），兩個(gè)向量垂直、平行的條件. 掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.3 、掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題 .7 、了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，會(huì)求其方程.二、練習(xí)1、一向量起點(diǎn)為A （ 2， 2， 5），終點(diǎn)為B（ 1， 6， 7），求（1） AB 分別在x 軸、 y 軸上的投影，以及在z 軸上的分向量；（2） AB 的模；（ 3 ） AB 的方向余弦；（4）

2、AB 方向上的單位向量.解：（ 1） AB3,8,2， AB 分別在x 軸的投影為-3 ，在 y 軸上的投影為8，在 z 軸上的分向量 2k ；（ 2） AB77382；（ 3） AB 的方向余弦為,；777777（4） AB 方向上的單位向量1 ( 3i 8 j 2k ) .772、設(shè)向量a 和 b 夾角為60o，且 | a | 5 ， | b | 8 ，求 | ab |， | a b | .2| a | 2| b |2 2 | a |b | cos60 0解： | ab |ab= 129，2| a |2|b |22 | a | b | cos60 0 =7.| a b |ab3、已知向量

3、a2,2,1 ， b8, 4,1 ，求（1）平行于向量a 的單位向量；（ 2）向量 b 的方向余弦.解（ 1） a2222 123 平行于向量 a 的單位向量2 2 1, ,；333（2） b8242129 ，向量 b 的方向余弦為： 8,4,1 .9994、一向量的終點(diǎn)為B（ 2， 1， 7），該向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影依次為4、 4 和 7.求該向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解： AB =(4 ， -4， 7)=(2 ， -1，7)-(x ， y， z), 所以 (x ， y， z)= （ 2， 3， 0）；5、已知 a2, 2,1 ， b 3,2,2，求（1）垂直于a 和 b 的單位向量；（2）向

4、量 a 在 b 上的投影；1（3）以 a 、 b為邊的平行四邊形的面積以及夾角余弦 .解（ 1） ca b6, 1,10 , c137， c 01 (6, 1,10)；137（2） cos a, ba b4；ab17（3） Sa bab sina, b137， cos a,b417 ；516、設(shè) a b c0 ， | a |3 ， | b | 2 ， |c | 4，求 a b b c c a .2a 2b 2c 2解： a bc2 a bb c c a0，所以 a bb c c a = 29 / 2 ；7、求參數(shù)k ，使得平面xky2z9 分別適合下列條件：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,4,6) ；（ 2

5、）與平面2 x4y3z3 垂直；（3）與平面2x3 yz0 成的角；（4）與原點(diǎn)相距3 個(gè)單位；4解： 7、（ 1） 2； （2） 1； （3）70 ；（4） 2；28、已知平面平行于y 軸，且過(guò)點(diǎn)P(1, 5,1) 和 Q (3,2, 1) ，求平面的方程.解 ： 設(shè) 平 面 方 程 為 ： AxByD0，將 P(1,5 ,和1 Q(3,2,1)代入求得A 1,B1, D2. 該平面方程為：xz20 .9、已知平面過(guò)O (0,0,0)、 A(1,0,1) 、 B(2,1,0)三點(diǎn)，求該平面方程.解：設(shè)平面方程為：AxByCz0 ，將 A(1,0,1) 、 B(2,1,0)代入平面方程得，A

6、1,B2, C1,，該平面方程為x2 y z0 .10 、求過(guò)點(diǎn)M (1,2,1) ，且垂直于已知兩平面xy0 與 5 y z10 的平面方程 .解 ： 兩 平 面 的 法 向 量 為 ： n1 1,1,0 , n 20,5,1 ，所示平面的法向量為：nnn1,1,00,5,11, 1,5，則所示的平面方程為：12xyz111 、把直線化為對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程.x y5z 40 .2xyz42解 ： 兩 平 面 的 法 向 量 為 ： n11, 1,1 ,n 22,1,1，則直線的方向向量為：sn1n21, 1,12,1,12,1,3 ，取直線上一點(diǎn)為：(1， 1， 1)，則直線對(duì)稱(chēng)式方程為：

7、 x 1x12ty1z 1t , 參數(shù)方程為 : y1t .213z13t解二：若取點(diǎn)為：(0， -3/2,5/2) , 則直線對(duì)稱(chēng)式方程為：xy 3 / 2z 5 / 2參數(shù)，213方程為 : x2t, yt3/ 2, z3t5/2 .12 、求過(guò)點(diǎn)(0,2,4) 且與平面x2z 1 及 y3z2 都平行的直線方程.解 ： 兩 平 面 的 法 向 量 為 ： n1,2,2 , n0,1, 3，則直線的方向向量為：12sn1n1 1,2,20,1, 3xy 2z 42,3,1 ，則直線方程為：3t ，或21x2ty23tz4t13 、一直線過(guò)點(diǎn)A(2,3,4) 且和 y 軸垂直相交，求其方程.

8、解：過(guò)點(diǎn)A(2,3,4) 的直線與y 軸垂直相交的交點(diǎn)為(0， -3，0)，直線的方向向量為：x 2y 3z 1y30，即 x2z 1 .(2 ， 0 ， 4) ，所以直線方程為：20424將 xoz 坐標(biāo)面上的拋物線2繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方14z5x程。解：由坐標(biāo)面上的曲線繞一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)生成的曲面方程的規(guī)律，所得的旋y 2z22轉(zhuǎn)曲面的方程為5x ，即 y2z25x 。15畫(huà)出下列各方程所表示的曲面：322(1) x ay 2a；(2) x2z21 ； (3) z 2 x 2 。2294zz2oyy3a/2x(2)xz(1)Oy2x（3）16指出下列方程在平面解析幾何中

9、和空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1) x2 ；(2) yx1；(3) x 2y 24 ；(4) x 2y21 。方程在平面解幾中表示在空間解幾中表示與平面平行且過(guò)x2平行于 y 軸的一直線yoz2,0,0的平面yx 1斜率為 1，在 y 軸截距為1 的直線平行于 z 軸，過(guò) (0,1,0) ， (-1,0,1) 的平面x 2y2 4圓心在原點(diǎn)，半徑為2 的圓以過(guò) z 軸的直線為軸，半徑為2 的圓柱面x2y21雙曲線母線平行于z 軸的雙曲柱面17 說(shuō)明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？(1)x2y 2z21； (2) z a 2x 2y2 。44解： (1) 由 xoy 坐標(biāo)面上的雙曲線 x2y 2

10、1 ，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周或是yoz 坐標(biāo)4面上的雙曲線y2z21 ，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到。42(2) 是 yoz 坐標(biāo)面上關(guān)于z 軸對(duì)稱(chēng)的一對(duì)相交直線z ay 2 ，即 zy a 和z y a 中之一條繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周；或是 xoz 坐標(biāo)上關(guān)于 z 軸對(duì)稱(chēng)的一對(duì)相交直線 za 2x 2 ，即 zxa 和 zxa 中之一條，繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周。18指出下列方程組在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么圖形？1 ；(2)x2y 2(1) y5x49 1.y2x3y3解： (1) 在平面解析幾何中表示兩直線的交點(diǎn)；在空間解析幾何中表示兩平面的交線；(2) 在平面解析幾何中表示橢圓與其一切線的交點(diǎn)；在空間解析幾何中表示橢圓柱面x2y 21 與其切平面 y3 的交線。492x 2y 2z21619 分別求母線平行于 x 軸及 y 軸而且通過(guò)曲線的柱面方x2z2y20程。解： 10從方程組中消去x 得： 3 y22z216 ，此方程即母線平行于x 軸且通過(guò)已知曲線的柱面方程；20從方程組中消去y 得： 3x 22z 216 ，此方程即母線平行于y 軸且通過(guò)此曲線的柱面方程。20 求球面 x2y 2z29 與平面 xz