信號(hào)的屬性分析方法初探-談貓狗分離思想在信號(hào)濾波中的應(yīng)用

1、 27 注：本文檔為關(guān)于論文“ADWA: A Filtering Paradigm for Signal's Noise Removal and Feature Preservation”的學(xué)術(shù)報(bào)告PPT。我將為大家介紹四大部分內(nèi)容。一是濾波理論的回顧分析，這其中我會(huì)將濾波問(wèn)題與貓狗分離問(wèn)題類比，指出我所理解的現(xiàn)有濾波理論的缺陷所在；二是為大家介紹一種叫做ADWA的濾波范式，通過(guò)該濾波范式來(lái)講解如何將貓狗分離的思想運(yùn)用到信號(hào)的濾波問(wèn)題中來(lái)，從而以此克服現(xiàn)有濾波理論所面臨的困境；三是通過(guò)實(shí)驗(yàn)介紹運(yùn)用了貓狗分離思想的ADWA濾波范式的實(shí)際濾波效果；最后進(jìn)行總結(jié)，這其中我不僅僅對(duì)信號(hào)的濾波問(wèn)

2、題進(jìn)行總結(jié)，還會(huì)談到如何將日常生活中的一些思路運(yùn)用到科學(xué)研究中去的一些感悟。可能有個(gè)別人對(duì)報(bào)告中提及的某些信號(hào)處理理論不了解，但別緊張，這不影響對(duì)本講座核心思想的理解，同時(shí)，我也會(huì)用盡量淺顯易懂的語(yǔ)言為大家說(shuō)明這些理論是怎么回事；另外，我還會(huì)穿插一些日常生活中富有哲學(xué)意義的一些事例，希望不僅對(duì)大家科學(xué)研究方面，而且對(duì)大家社會(huì)生活方面都有一定的啟發(fā)意義。1、求目標(biāo)光斑的像素位置坐標(biāo)時(shí)，若用其峰值對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)表示，將只能得到整像素的定位精度；同時(shí)，目標(biāo)光斑的（形狀）各異，加上噪聲的影響，用其峰值坐標(biāo)表示光斑的像素位置也會(huì)帶來(lái)極大的誤差，因此，為獲得高精度的亞像素級(jí)光斑定位結(jié)果，需要用光斑的灰度質(zhì)

3、心來(lái)表示其像素位置坐標(biāo)。2、具體做法是用光斑幅度的一定比例作為閾值來(lái)截取光斑圖像，再在下截止點(diǎn)CPF和上截止點(diǎn)CPR之間進(jìn)行灰度積分求質(zhì)心。但噪聲的存在既影響上下截止點(diǎn)的穩(wěn)定性和精度，也影響光斑圖像的形狀包絡(luò)，因此在進(jìn)行光斑的亞像素定位前必須進(jìn)行濾波預(yù)處理。1、但濾波操作在去除噪聲的同時(shí)，通常會(huì)使光斑幅度降低，峰形變寬；若為了盡量保持光斑形狀特征不受破壞，通常噪聲去除效果又不理想，光斑的濾波結(jié)果曲線又不夠光滑，這兩種情況都限制了光斑亞像素定位精度的提高。2、 在濾波結(jié)果光滑的情況下，除幅度降低、邊緣變緩等特征破壞外，不同的濾波方法還會(huì)出現(xiàn)其他的特征破壞情況。1、。這些特征破壞情況如圖所示。這些

4、光斑特征的破壞，都會(huì)降低光斑定位精度，是我們不希望的。2、濾波過(guò)程中這種噪聲去除和信號(hào)特征保持之間的矛盾是目前所有濾波方法所面臨的共同問(wèn)題，在遇到這種矛盾時(shí)，現(xiàn)有方法只能在這兩個(gè)方面作一個(gè)平衡折衷，即讓信號(hào)特征也損失一點(diǎn)，噪聲也容忍一點(diǎn)，而無(wú)法進(jìn)一步緩解這種矛盾。3、因此，濾波理論在當(dāng)前的一個(gè)重要任務(wù)就是想法克服這種折衷，以便進(jìn)一步緩解這種矛盾，使濾波結(jié)果在噪聲去除和特征保持兩方面都取得滿意的效果，。*目標(biāo)是在保持（這種）良好噪聲去除效果不變的前提下，尋求辦法進(jìn)一步提高信號(hào)的特征保持能力，而不是以犧牲噪聲去除效果作代價(jià)。1、比如，對(duì)這樣的含噪信號(hào)，獲得這樣的濾波效果：在保證濾波結(jié)果光滑的情況下

5、，還要保持有用信號(hào)的特征不受損壞。2、因此，我們?cè)趯?duì)信號(hào)進(jìn)行濾波去噪時(shí)，千萬(wàn)別只想到“噪聲去除”，而忘了“特征保持”。為了解決現(xiàn)有問(wèn)題，需要回顧一下現(xiàn)有濾波理論體系現(xiàn)有濾波理論體系非常豐富，總體上可分為三大類。第一大類是基于頻率域的濾波理論。線性濾波就主要屬于這一類。第二大類是基于非頻率分析的濾波方法。各種非線性濾波方法是這一類的主力軍。*第三大類是各種各樣的混合濾波方法?；诜穷l率分析的濾波理論：有很多是專針對(duì)圖像信號(hào)；有的又針對(duì)一維信號(hào)，如基于曲線擬合思想的濾波（多項(xiàng)式、樣條）對(duì)現(xiàn)有濾波理論體系，如果單從不足的方面看，我認(rèn)為可用三個(gè)詞來(lái)概括其現(xiàn)狀。第一是困惑。方法如此之多，哪個(gè)方法才最合適

6、呢？我們會(huì)覺(jué)得，選擇一個(gè)合適的方法真的很難！第二是無(wú)奈，包括實(shí)踐上的無(wú)奈和理論上的無(wú)奈。實(shí)踐上，用現(xiàn)有方法進(jìn)行信號(hào)去噪處理，若想得到非常光滑的濾波結(jié)果，必然會(huì)出現(xiàn)信號(hào)幅度衰減、邊緣變緩等問(wèn)題；因此“要想去除更多的噪聲，必然損失更多的信號(hào)特征”。若想盡量保持原有的信號(hào)幅度和原有的邊緣陡度，則濾波結(jié)果中必然出現(xiàn)我們不愿看到的起伏波動(dòng)；因此，要想更完整地保留信號(hào)特征，必然保留更多的噪聲。總之，噪聲去除和特征保持之間，就像坐蹺蹺板的兩個(gè)人，大家都想更高一些，但誰(shuí)也別想高到哪兒去。沒(méi)辦法，只好將蹺蹺板擺平，大家都倒高不高，將就吧。所以，現(xiàn)有濾波理論都只能在噪聲去除和特征保持之間折衷妥協(xié)。其次是理論上的無(wú)

7、奈。理論上的先天局限性在后面將頻域?yàn)V波理論與貓狗分離對(duì)比時(shí)說(shuō)明。第三是期盼。鑒于前兩種狀況，我們自然會(huì)問(wèn)：能否建立一種通用的、簡(jiǎn)單的、能盡量多地包含現(xiàn)有方法優(yōu)點(diǎn)的、又能克服噪聲去除和特征保持之間折衷狀態(tài)的濾波方法呢？要是能打造一把濾波方法的瑞士軍刀，那該多好！可能嗎？愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：如果一個(gè)想法在一開(kāi)始不是荒謬的，那它就是沒(méi)有希望的。（If at first the idea is not absurd, then there is no hope for it.）“會(huì)吹的故事-香皂空盒在線檢測(cè)問(wèn)題”這三種狀況中，第二種是最關(guān)鍵的，因?yàn)樵肼暼コ吞卣鞅３种g的矛盾已經(jīng)在很多領(lǐng)域嚴(yán)重制約了我們技術(shù)

8、水平的提高。因此，我們就以目前發(fā)展最為完善的頻域?yàn)V波理論為例，來(lái)仔細(xì)看看這種矛盾的具體情況。對(duì)于基于傅立葉分析的濾波方法，它們發(fā)現(xiàn)，信號(hào)的頻譜主要集中在低頻段，而噪聲的頻譜主要集中在高頻段；于是就在頻域設(shè)計(jì)一個(gè)窗口，將低于這個(gè)窗口截止頻率的作為信號(hào)留下，而將高于這個(gè)窗口截止頻率的作為噪聲去掉。這種思想就好比在貓狗分離任務(wù)當(dāng)中，鑒于貓的體重通常比狗的體重要輕，于是就用一桿秤對(duì)一個(gè)不知是貓還是狗的動(dòng)物進(jìn)行稱重；若體重小于某個(gè)閾值，就將其當(dāng)做貓留下；當(dāng)體重超過(guò)這個(gè)閾值時(shí)，就將其當(dāng)做狗扔開(kāi)。而且，基于傅里葉分析的濾波理論在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，其目標(biāo)就是將濾波器在截止頻率附近的衰減特性設(shè)計(jì)得越陡越好，這就好比

9、在貓狗分離任務(wù)中將稱的稱重精度設(shè)計(jì)得越精密越好。基于時(shí)頻分析的濾波方法又是怎么回事呢？若對(duì)信號(hào)分段處理會(huì)發(fā)現(xiàn)，有的區(qū)段信號(hào)頻率很低，這時(shí)可用截止頻率較低的濾波器來(lái)濾波，以便去除更多的噪聲；而有的區(qū)段信號(hào)頻率很高，這時(shí)可用截止頻率較高的濾波器來(lái)處理，從而保留更多的信號(hào)特征。于是乎，整個(gè)信號(hào)的去噪處理就需要用一系列截止頻率和頻率分辨精度都不同的的濾波器，所以，時(shí)頻分析理論中出現(xiàn)了一個(gè)“濾波器組”的概念。對(duì)應(yīng)到貓狗分離任務(wù)當(dāng)中，就相當(dāng)于將所有貓狗分成很多小組，在有的小組中貓總體上要輕一些，就用稱量精度較高而閾值較低的秤來(lái)稱；而有的小組中貓總體上要重一些，就用精度較低而閾值較高的秤來(lái)稱。這時(shí)，有人覺(jué)得

10、，設(shè)計(jì)一系列的濾波器太費(fèi)事了！干脆還是只設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，而這個(gè)濾波器的截止頻率和頻率分辨精度可隨信號(hào)的頻率變化自適應(yīng)地調(diào)整，從而獲得與時(shí)頻濾波相同的效果，這就是自適應(yīng)濾波。顯然，這在貓狗分離任務(wù)中就相當(dāng)于設(shè)計(jì)了一桿稱量范圍、精度和閾值都可自適應(yīng)調(diào)整的秤。頻域?yàn)V波方法發(fā)展到自適應(yīng)濾波，應(yīng)該說(shuō)很完美了，但有人發(fā)現(xiàn)了還有問(wèn)題（是誰(shuí)呢？天津大學(xué)王兆華教授和侯正信教授 ）我們?cè)谧黝l域?yàn)V波的時(shí)候，必須通過(guò)傅立葉變換將信號(hào)從時(shí)域變到頻域中去。這其中包含了對(duì)無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)作局部采樣，再作周期擴(kuò)展的過(guò)程。由于我們不可能對(duì)所有頻率成分都做到整周期采樣，因此在周期擴(kuò)展時(shí)，信號(hào)接頭處就會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)，從而在信號(hào)的頻譜中產(chǎn)生

11、額外的頻率成分，這就是 “譜泄漏”問(wèn)題。而基于全相位譜分析的濾波方法就解決了這個(gè)問(wèn)題。全相位譜：天津大學(xué)王兆華教授和侯正信教授 .黃翔東 。4項(xiàng)國(guó)家自然科學(xué)基金的資助 這在貓狗分離任務(wù)中，就相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)原來(lái)所用那桿秤的稱重傳感器有問(wèn)題、或者說(shuō)有的貓狗被主人穿了衣服，所稱重量不是貓狗的真實(shí)體重。而現(xiàn)在我們校正了稱重傳感器問(wèn)題，也讓秤具備了辨別貓狗是否穿了衣服并拔掉其衣服的功能。到目前為止，我們圍繞這桿秤做了很多工作。但仍然有個(gè)重要問(wèn)題，那就是：不管這桿秤做得如何高精尖，貓狗的體重始終有重疊；始終有部分小狗被這桿秤分到了貓中，也始終有部分體壯肥胖的貓被這桿秤當(dāng)做了狗。（這就是前面在講現(xiàn)有理論的“無(wú)奈

12、”時(shí)提到過(guò)的“理論上的先天局限”）怎么辦呢？貓狗分離任務(wù)似乎陷入了僵局！這時(shí)，一個(gè)小孩跑出來(lái)說(shuō)：你們這桿秤，或者說(shuō)這個(gè)分離裝置，不應(yīng)當(dāng)只具備稱重功能，同時(shí)也應(yīng)當(dāng)具備對(duì)頭型、耳朵形態(tài)、叫聲、甚至爬樹(shù)能力進(jìn)行辨別的功能；當(dāng)僅靠體重不能準(zhǔn)確區(qū)分時(shí)，應(yīng)當(dāng)依靠耳朵形態(tài)來(lái)區(qū)分（因?yàn)楣返亩涠际寝抢?，而貓的耳朵都呈三角豎立狀） ；當(dāng)依靠耳朵形態(tài)都還不能完全區(qū)分的時(shí)候，就應(yīng)當(dāng)依靠辨別頭型、叫聲、甚至爬樹(shù)能力等等來(lái)區(qū)分小孩子這么隨便一說(shuō)就跑了，也不知道姓啥名誰(shuí)。但人們對(duì)他都非常佩服，因?yàn)樗坏f(shuō)出了濾波的本質(zhì)（那就是濾波就是不同信號(hào)成分的分離，或者說(shuō)有用信號(hào)和噪聲的分離），不但點(diǎn)中了我們之前犯的錯(cuò)誤（那就是

13、。），而且說(shuō)出了解決問(wèn)題的思路（那就是。）。鑒于這小孩喜歡用貓狗的很多屬性來(lái)解決貓狗分離問(wèn)題，所以大家都稱其為“愛(ài)多娃”?！靶盘?hào)分離”與“事物的分離”有本質(zhì)區(qū)別嗎？沒(méi)有！（“噪聲”與“有用信號(hào)”就是兩個(gè)不同的信號(hào)）為什么貓狗這樣的事物分離這么簡(jiǎn)單？信號(hào)的分離這么難呢？可是，說(shuō)歸說(shuō)，但什么是信號(hào)的頭型、耳朵形狀、叫聲？清華的一句校訓(xùn)叫做“行勝于言”，因此關(guān)鍵的問(wèn)題是：我們?cè)撛趺醋觯吭谧鲋?，我們?yīng)當(dāng)分析一下各種濾波方法的思想本質(zhì)。從該式可見(jiàn)，濾波后的yi實(shí)質(zhì)就是興趣點(diǎn)xi的前端采樣數(shù)據(jù)xi-j(j=0,1,2,i)的單端非對(duì)稱加權(quán)平均。任何IIR濾波器的時(shí)域表達(dá)形式都可推導(dǎo)出類似的形式，因此II

14、R濾波器的實(shí)質(zhì)都是單端非對(duì)稱的加權(quán)平均；其頻域設(shè)計(jì)思想只不過(guò)是從頻域分析的角度來(lái)優(yōu)化權(quán)系數(shù)而已。我覺(jué)得，各種濾波方法的思想本質(zhì)可歸結(jié)為六個(gè)字：鄰域加權(quán)平均。當(dāng)然，我這個(gè)歸納不一定完全對(duì)，但我認(rèn)為這樣歸納也不離譜，所以我們要解決目前濾波理論的問(wèn)題，我覺(jué)得也應(yīng)當(dāng)從這個(gè)思想本質(zhì)出發(fā)?；炯訖?quán)滑動(dòng)平均就是這種思想本質(zhì)的最直接體現(xiàn)，所以我們從它開(kāi)始。WMA就是對(duì)鄰域內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)求和，再進(jìn)行歸一化。其常見(jiàn)權(quán)函數(shù)有這么四種形式，它們都有一個(gè)相同的因子k/sigmaL，其中sigmaL決定濾波窗口主體寬度。鑒于信號(hào)物理意義的多樣性，這里將信號(hào)的橫坐標(biāo)統(tǒng)稱為信號(hào)出現(xiàn)的位置Location，而將縱坐標(biāo)統(tǒng)稱為幅

15、值Value。在WMA中，權(quán)函數(shù)的自變量k實(shí)際上表示了某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與興趣點(diǎn)之間在L方向的距離。以L方向上數(shù)據(jù)點(diǎn)離中心點(diǎn)的距離來(lái)決定權(quán)的大??；越遠(yuǎn)，差異越大，權(quán)越小；越近，差異越小，權(quán)越大。這就好比對(duì)人的相似性判斷，認(rèn)為兩個(gè)人在空間上越近則越相似（比如重慶人語(yǔ)言、習(xí)氣方面都較接近），越遠(yuǎn)就越不相似（比如南方人和北方人，亞洲人和美洲人，區(qū)別就很大）。為了明確這種距離的概念，我們將k記為dL.k，而將k/sigmaL記為DL.k，再將xi改記為Vi，WMA就變成了這種形式。（接右欄）即除了考慮數(shù)據(jù)點(diǎn)與中心點(diǎn)間在L方向上的距離（差異），也要考慮它們?cè)诜瞪系木嚯x（差異）。就像考慮兩個(gè)人的相似性，不僅要考

16、慮其空間差異，還應(yīng)考慮其性別差異，就和你不能說(shuō)站得很近的男人和女人很相似一樣。但L和V分屬兩個(gè)不同的量綱，沒(méi)有可比性，如何度量L-V平面上兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度呢？用WMA對(duì)信號(hào)濾波，通過(guò)設(shè)定較大的sigmaL可以獲得很好的去噪性能，從而得到一條如藍(lán)線所示的光滑曲線。對(duì)這條濾波結(jié)果曲線進(jìn)行觀察后發(fā)現(xiàn)，只有在信號(hào)的這些平直區(qū)域，濾波結(jié)果曲線才能很好地和原始信號(hào)重合在一起，噪聲去除和特征保持都獲得了滿意的效果。實(shí)際上，信號(hào)的這種平直性，正是眾多濾波方法對(duì)信號(hào)的平穩(wěn)性條件要求。而在信號(hào)的轉(zhuǎn)折區(qū)域，濾波結(jié)果與原始信號(hào)發(fā)生了很大的偏離，使信號(hào)特征受到了很大的影響。現(xiàn)在分析一下其中原因。比如對(duì)于含噪信號(hào)的A點(diǎn)，前

17、方點(diǎn)AF和后方點(diǎn)AR在L方向離它的距離相等，所以在WMA中這兩點(diǎn)的權(quán)值相等。由于AF與A的幅值基本相等，而AR的幅值明顯大于A，因此加權(quán)平均的結(jié)果必將A點(diǎn)抬高到A，從而造成信號(hào)特征的破壞。事實(shí)上，由于連線ARA遠(yuǎn)比連線AFA要長(zhǎng)，顯然AR離A更遠(yuǎn)，因此AR的權(quán)值應(yīng)當(dāng)比AF要小，而不應(yīng)當(dāng)相等，這樣才能減小濾波結(jié)果對(duì)原始信號(hào)的偏離。由此看來(lái)，要在保持良好去噪性能的條件下，提高WMA的信號(hào)特征保持能力，不應(yīng)當(dāng)調(diào)小sigmaL，而應(yīng)當(dāng)使數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)值由其與興趣點(diǎn)間的連線在L-V平面上的長(zhǎng)度來(lái)決定。（轉(zhuǎn)左欄下）這好辦，將L和V分別除以一個(gè)正規(guī)化系數(shù)sigmaL和sigmaV，使其具備可比性，從而形成一個(gè)正

18、規(guī)化的L-V平面。在這個(gè)平面上，任意的A、B兩點(diǎn)之間的距離就可用這樣的歐氏距離來(lái)表示，我們稱這個(gè)距離為基于“L-V”的二元正規(guī)化屬性距離。以此距離作為權(quán)函數(shù)自變量形成的加權(quán)平均濾波，就稱為基于L-V的二元ADWA。經(jīng)過(guò)L、V的正規(guī)化后，權(quán)函數(shù)由原來(lái)的瓦片狀變成了草帽狀。它在正規(guī)化L-V平面上投影形成的濾波窗口也變成了圓形。在圖中高斯信號(hào)的A點(diǎn)附近，原來(lái)濾波窗口覆蓋的信號(hào)段為AFAR，現(xiàn)在圓形濾波窗口覆蓋的信號(hào)段變成AFAR了，也就是說(shuō)，通過(guò)增加“幅值”屬性，濾波窗口覆蓋的信號(hào)段總體上更直了些，信號(hào)局部平穩(wěn)性得到了提高，這必將使信號(hào)的特征保持效果得到改善。但是，高斯信號(hào)的幅度衰減還會(huì)存在。因?yàn)樵?/p>

19、B點(diǎn)附近的濾波窗口內(nèi)，還有很多數(shù)據(jù)點(diǎn)的幅值明顯小于B點(diǎn)，加權(quán)平均的結(jié)果會(huì)將B點(diǎn)拉低。對(duì)比A、B兩點(diǎn)的濾波窗口可知，由于AF離A與BR離B的二元正規(guī)化屬性距離相等，所以AF和BR在這兩個(gè)窗口中的權(quán)值相等。但對(duì)比高斯信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)（這里稱其為梯度），對(duì)比其梯度會(huì)發(fā)現(xiàn)，BR與B在梯度方向的距離比AF與A在梯度方向的距離要大得多，因此BR的權(quán)值應(yīng)當(dāng)比AF的權(quán)值小，而不應(yīng)當(dāng)相等。當(dāng)BR的權(quán)值減小后，它對(duì)B點(diǎn)的影響減小，這就有利于解決信號(hào)幅度衰減的問(wèn)題。由此可見(jiàn)，為了在繼續(xù)保持良好去噪性能的條件下，進(jìn)一步提高信號(hào)特征保持能力，不應(yīng)當(dāng)調(diào)小sigmaL和sigmaV，而應(yīng)當(dāng)使權(quán)函數(shù)的自變量同時(shí)反映數(shù)據(jù)點(diǎn)與興趣

20、點(diǎn)之間在梯度方向上的距離（差異）。這就好比考慮兩個(gè)人的相似性時(shí)，除了考慮空間距離和性別差異外，還需考慮年齡差異。為了達(dá)到這樣的目的，我們將信號(hào)的梯度也除以一個(gè)正規(guī)化系數(shù)sigmaG，與正規(guī)化的位置和幅值一起，構(gòu)成正規(guī)化的L-V-G空間。在這個(gè)空間中，任意的A、B兩點(diǎn)的距離就可用這樣的歐氏距離來(lái)表示，稱其為基于LVG的三元正規(guī)化屬性距離。以此距離作為權(quán)函數(shù)的自變量，由此形成的加權(quán)平均濾波方法稱其為基于LVG的三元ADWA。在正規(guī)化LVG空間中，平面高斯曲線變成了立體螺旋線，濾波窗口變成了球形窗口，原來(lái)B點(diǎn)附近很彎曲的平面曲線現(xiàn)在也在三維空間中被拉直了，這必然使球形濾波窗口所覆蓋信號(hào)段的平穩(wěn)性得到

21、進(jìn)一步的提高，因此基于LVG的三元ADWA可以獲得更好的信號(hào)特征保持性能。推到這一步，我們得對(duì)前面三步回顧一下。*在基本加權(quán)滑動(dòng)平均中，僅考慮位置屬性，為和后兩者名稱統(tǒng)一，稱其為1-ADWA/L，其權(quán)函數(shù)的自變量為，濾波窗口內(nèi)權(quán)系數(shù)的分布為關(guān)于窗口中心對(duì)稱的條帶；當(dāng)增加考慮幅值屬性時(shí)，這時(shí)就構(gòu)成2-ADWA/LV，其權(quán)函數(shù)的自變量為，這實(shí)際上是一個(gè)圓的表達(dá)式，因此在正規(guī)化LV平面上，濾波窗口也從原來(lái)的條帶裝變成了圓，原來(lái)的含噪信號(hào)也在L和V兩個(gè)方向上發(fā)生了伸縮調(diào)整；若同時(shí)考慮位置、幅值、梯度這三個(gè)屬性時(shí)，就構(gòu)成了3-ADWA/LVG，權(quán)函數(shù)的自變量中將增加梯度距離的正規(guī)化項(xiàng)，這時(shí)的濾波窗口將變

22、成正規(guī)化LVG空間中的球體，并且最初的平面高斯含噪信號(hào)也在這個(gè)空間中變成了空間螺旋線。從這三個(gè)圖可以看出，隨著屬性數(shù)量的增加，濾波窗口所覆蓋的局部信號(hào)段將變得越來(lái)越平直；而這種平直性，正是信號(hào)處理中所說(shuō)的平穩(wěn)性；根據(jù)信號(hào)處理理論可知，只有當(dāng)濾波窗口內(nèi)的局部信號(hào)段滿足平穩(wěn)性要求時(shí)，加權(quán)平均的結(jié)果才能在噪聲去除和特征保持兩方面同時(shí)取得滿意效果。因此，對(duì)這三種考慮信號(hào)的L、V、G屬性的三種加權(quán)平均方法來(lái)說(shuō)，從理論分析上就可預(yù)期他們的濾波效果會(huì)一個(gè)比一個(gè)要好?，F(xiàn)在，加入梯度屬性后，高斯曲線變成螺旋線了，是不是覺(jué)得這個(gè)世界變得有點(diǎn)精彩了？精彩還沒(méi)停止，精彩還將繼續(xù)！因?yàn)?，信?hào)的屬性遠(yuǎn)不止位置、幅值和梯度

23、這三個(gè)不管什么屬性，總之一句話：為了使濾波窗口覆蓋的局部信號(hào)段變得更加平直以提高其平穩(wěn)性，從而同時(shí)獲得良好的噪聲去除和特征保持性能，權(quán)函數(shù)的自變量應(yīng)當(dāng)能夠同時(shí)反映數(shù)據(jù)點(diǎn)之間在多種屬性上的差異，即應(yīng)當(dāng)使用多元正規(guī)化屬性距離，并由此構(gòu)成多元屬性距離加權(quán)平均。為簡(jiǎn)單，我們?nèi)サ簟岸嘣倍?，就統(tǒng)稱為“屬性距離加權(quán)平均”，即ADWA，就是剛才給大家介紹過(guò)的“愛(ài)多娃”。剛才針對(duì)一維標(biāo)量信號(hào)對(duì)Adwa的濾波思想進(jìn)行了推導(dǎo)，顯然，這種思想也可很容易地推廣到多維信號(hào)、向量信號(hào)以及動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)信號(hào)的濾波處理。不管什么信號(hào)，它都只表現(xiàn)為一個(gè)加權(quán)平均的形式而已，其權(quán)函數(shù)的自變量也就是一個(gè)多元正規(guī)化屬性距離。由此可見(jiàn)，Ad

24、wa濾波方法是不是特別簡(jiǎn)單呢？在用Adwa實(shí)施濾波時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)首先用一個(gè)低屬性元次的Adwa對(duì)信號(hào)濾波，并保證充分滿意的噪聲去除效果；再觀察信號(hào)特征保持性能是否滿足要求。若不滿足要求，則應(yīng)當(dāng)引入一個(gè)新的屬性，構(gòu)成高一個(gè)屬性元次的Adwa再次進(jìn)行濾波，直到信號(hào)特征保持性能滿足要求為止。這正如愛(ài)多娃所說(shuō)，如果利用體重不能準(zhǔn)確區(qū)分貓和狗，再利用其頭型、耳朵形態(tài)等區(qū)分，如果還不能正確區(qū)分，再增加叫聲、爬樹(shù)能力等屬性來(lái)區(qū)分，直到區(qū)分結(jié)果滿意為止?，F(xiàn)在我們來(lái)看看Adwa的一些特點(diǎn)。首先，信號(hào)的屬性是無(wú)窮的。任何變量，只要能反映信號(hào)(點(diǎn))或數(shù)據(jù)(點(diǎn))的任何特征，并用來(lái)描述不同數(shù)據(jù)點(diǎn)之間(或者信號(hào)與噪聲之間)

25、的任何差異性或區(qū)分性，這種變量都是信號(hào)的屬性。對(duì)于任何含噪信號(hào)，既然噪聲成其為噪聲，它必定在某種屬性上和信號(hào)之間存在差異。就像兩個(gè)相同的杯子，也會(huì)有不同的屬性（至少空間位置屬性是不一樣的）。若真的所有屬性都一樣了，那必定就成一個(gè)東西了，而不是兩個(gè)東西。屬性的無(wú)窮性使我們總有可能找到信號(hào)和噪聲間具有明顯區(qū)分性的屬性（我們稱其為顯著性屬性）。其次，屬性對(duì)濾波性能的貢獻(xiàn)是獨(dú)立的。也就是說(shuō)，用Adwa實(shí)施濾波，不同屬性是在信號(hào)的不同區(qū)域?qū)V波性能獨(dú)立地產(chǎn)生貢獻(xiàn)作用。比如說(shuō)，當(dāng)利用基于LVG的三元Adwa濾波時(shí)， 在信號(hào)的平坦區(qū)，幅值和梯度的波動(dòng)都接近于0，即dV和dG趨于0；這時(shí)，基于LVG的三元Ad

26、wa將退化為基于L的一元Adwa，因此，這時(shí)主要是位置屬性對(duì)濾波結(jié)果產(chǎn)生作用。同樣的道理，在信號(hào)的陡峭區(qū)主要是幅值屬性產(chǎn)生作用；在信號(hào)的轉(zhuǎn)折區(qū)主要由梯度屬性產(chǎn)生作用。屬性貢獻(xiàn)的獨(dú)立性使我們?cè)黾有聦傩砸蕴岣呔C合濾波性能時(shí)，不用擔(dān)心已經(jīng)取得的濾波成果會(huì)受到影響。 （接右欄）丹尼爾.塔曼特：我一直以視覺(jué)化、動(dòng)態(tài)化的方式去想象諸如數(shù)字類的抽象信息。在我的大腦中數(shù)字呈現(xiàn)出復(fù)雜、多面的形狀，所以我能從個(gè)別到整體熟練操控，在做對(duì)比時(shí)也能決定他們是否重要。 在我看來(lái)，數(shù)字和文字的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)紙上用墨水書(shū)寫(xiě)出來(lái)的字體。它們有形式，顏色，紋理，等等。第三，Adwa對(duì)屬性是開(kāi)放的。任何屬性，任意多的屬性都可引入到A

27、dwa中去實(shí)施濾波任務(wù)。中國(guó)有句古話叫有容乃大；Adwa顯然是非?！坝腥荨钡?。信號(hào)屬性的無(wú)窮性、屬性貢獻(xiàn)的獨(dú)立性、 Adwa的屬性開(kāi)放性這三點(diǎn)從理論上共同決定了：對(duì)任何含噪信號(hào)，Adwa總可通過(guò)引入顯著性屬性來(lái)同時(shí)將噪聲去除和特征保持性能提高到充分理想的程度。由此來(lái)看，Adwa是不是具有很強(qiáng)的通用性呢？這一點(diǎn)其實(shí)從前面推導(dǎo)過(guò)程中的曲線變化過(guò)程也能看出來(lái)：ADWA中屬性的增加過(guò)程，實(shí)際上是在權(quán)函數(shù)保持不變的條件下，采樣信號(hào)完成伸縮扭曲等形狀調(diào)整，使濾波窗口覆蓋的局部信號(hào)段變得更加平直的過(guò)程，因此在ADWA的體系下，可以通過(guò)引入新屬性的方式來(lái)進(jìn)一步改善信噪分離效果，從而避免在遇到噪聲去除和特征保持

28、間的矛盾時(shí)只能做折衷處理的局面。有人可能會(huì)覺(jué)得，高斯信號(hào)可變成空間螺旋線來(lái)提高局部線段的平直性，那這樣的信號(hào)也能變成局部線段平直的空間曲線嗎？（舉高斯螺旋線和三角信號(hào)對(duì)應(yīng)的空間螺旋線實(shí)例）27歲的英國(guó)男子丹尼爾·塔曼特堪稱天才，他精通多國(guó)語(yǔ)言，擁有驚人的數(shù)字記憶能力，能將圓周率背誦到小數(shù)點(diǎn)后面第22514位，創(chuàng)立了一家記憶技巧公司，專門(mén)教人如何更快更有效地學(xué)習(xí)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)。 （轉(zhuǎn)左欄下）下面我們講講Adwa與其他方法的關(guān)系。首先分析一下基于LV的二元Adwa。如果我們將其幅值正規(guī)化系數(shù)、位置正規(guī)化系數(shù)、權(quán)函數(shù)、加權(quán)求和范圍分別取為不同的值，它可以分別演化為WMA濾波、FIR濾波、IIR

29、濾波、鄰域?yàn)V波和雙邊濾波。由此可見(jiàn)，上述這些濾波方法其實(shí)都是基于LV的二元Adwa的特例。我們仔細(xì)看看雙邊濾波，他的綜合權(quán)函數(shù)是位置距離權(quán)函數(shù)fL和幅值距離權(quán)函數(shù)fV的乘積但在信號(hào)的長(zhǎng)直斜坡段，這樣的乘積會(huì)使濾波窗口的寬度由L壓縮到dL，從而使濾波器對(duì)低頻噪聲的抑制能力降低。而三邊濾波器在這種地方能將濾波窗口斜切，從而增強(qiáng)對(duì)低頻噪聲的抑制能力。Adwa能否具備這樣的性能呢？下面我們分析一下基于LG的二元Adwa。對(duì)于這種Adwa，其濾波窗口在正規(guī)化位置和梯度平面上是圓形，濾波窗口覆蓋的信號(hào)段如圖中下半部分所示。由此圖可見(jiàn)，基于LG的二元Adwa：能在信號(hào)的長(zhǎng)直斜坡區(qū)自動(dòng)將濾波窗口寬度最大化，這

30、與三邊濾波將濾波窗口斜切效果完全一致。另外，該圖還表明，基于LG的二元Adwa：能根據(jù)信號(hào)特征自適應(yīng)調(diào)整濾波窗口在“L”方向的尺度，這包含了自適應(yīng)濾波、多尺度或多分辨率分析的思想。第三，盡管整個(gè)信號(hào)是彎曲的，但每個(gè)濾波窗口所覆蓋的局部信號(hào)都是平直的，這表明Adwa對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)具有自平穩(wěn)能力。第四，從頻率的角度來(lái)說(shuō)，信號(hào)越平直，頻率就越低；越彎曲，頻率就越高。而該圖表明，Adwa：能在平直的低頻區(qū)展寬濾波窗口，而在彎曲的高頻區(qū)收縮濾波窗口，因此它包含了時(shí)頻分析的思想。上面只針對(duì)LVG這三種屬性分析了Adwa所具有的各種特點(diǎn)實(shí)際上，任何屬性，只要能定義其屬性度量值，就能將其應(yīng)用于Adwa中。比如說(shuō)

31、，如果用信號(hào)的短時(shí)分形維數(shù)來(lái)度量其分形特征，就可以將分形屬性引入到Adwa中。類似的擴(kuò)展可以讓Adwa共享眾多的其他理論成果。對(duì)于不便直接定義其度量值的屬性，也可定義能反映這種屬性差異的屬性距離來(lái)將該屬性引入到Adwa中。信號(hào)的形狀屬性就很難給出一個(gè)合適的度量值，但若將兩個(gè)不同點(diǎn)處的局部信號(hào)進(jìn)行相減，并對(duì)其差值求均方根，得到的結(jié)果就可以作為這兩點(diǎn)之間的形狀距離。用這個(gè)距離構(gòu)成基于S的一元Adwa，我們發(fā)現(xiàn)，它居然和非局部均值濾波方法完全一樣。因此，非局部均值也是Adwa的一個(gè)特例。很容易證明，若所用屬性與幅值不相關(guān)時(shí)，Adwa是線性的；否則是非線性的。因此Adwa也將線性濾波與非線性濾波融為了

32、一體。另外，Adwa和支持向量機(jī)在本質(zhì)思想上也具有驚人的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以Adwa也包含了支持向量機(jī)的思想。*具有異曲同工之妙，總之，前述這些方法或理論都可融入到Adwa中。剛才講Adwa的算法時(shí)，覺(jué)得非常簡(jiǎn)單，現(xiàn)在是不是覺(jué)得它又非常不簡(jiǎn)單了呢？是不是覺(jué)得它有點(diǎn)像一把濾波方法的瑞士軍刀了呢？馬克思：事物的發(fā)展是螺旋式上升過(guò)程。*也就是說(shuō)，就信號(hào)的整體而言，優(yōu)異的濾波性能指標(biāo)并不一定代表很好的噪聲去除能力或很好的特征保持效果，而很差的濾波性能指標(biāo)卻可以代表很強(qiáng)的噪聲去除能力或很好的特征保持能力。比如這幾個(gè)圖所示。這就好像一個(gè)人的綜合體質(zhì)很好并不意味著其短跑能力強(qiáng)，但綜合體質(zhì)較差的人完全有可能具備

33、很強(qiáng)的短跑能力。但對(duì)信號(hào)的局部區(qū)域而言，這種情況就不同了。在信號(hào)的平坦區(qū)域，可以說(shuō)沒(méi)有細(xì)節(jié)或特征可言；因此，信號(hào)平坦區(qū)域的濾波性能指標(biāo)就只反映了濾波方法的噪聲去除能力。相應(yīng)地，在信號(hào)的細(xì)節(jié)密集區(qū)域，濾波性能指標(biāo)則主要反映了濾波方法對(duì)信號(hào)特征的保持能力。因此，在后面的實(shí)驗(yàn)中，為了獨(dú)立地考查不同方法在噪聲去除和特征保持兩方面的能力，我們并不追求整個(gè)信號(hào)的RMSE最小化和IOSNR最大化，而是在相同的噪聲去除能力條件下，比較不同方法對(duì)信號(hào)特征的保持能力。（這就像讓兩個(gè)人跑相同的距離，看誰(shuí)跑的時(shí)間更短）為了實(shí)現(xiàn)這樣的目的，我們?cè)谛盘?hào)中定義三個(gè)參考區(qū)域，即平坦區(qū)、細(xì)節(jié)密集區(qū)和全局信號(hào)區(qū)。對(duì)這三個(gè)區(qū)域的濾

34、波性能指標(biāo)，分別以后綴“_F”、“_D”和“_G”區(qū)分，即“RMSE_F”和“IOSNR_F”對(duì)應(yīng)于平坦區(qū)，“RMSE_D”和“IOSNR_D”對(duì)應(yīng)于細(xì)節(jié)密集區(qū)，而“RMSE_G”和“IOSNR_G”對(duì)應(yīng)于全局信號(hào)。對(duì)不同的濾波方法，通過(guò)參數(shù)設(shè)定來(lái)使它們獲得同樣低的“RMSE_F”和同樣高的“IOSNR_F”，從而保證它們都具備相同的強(qiáng)去噪能力；在這種條件下，再通過(guò)比較它們各自的RMSE_D, IOSNR_D, RMSE_G和IOSNR_G來(lái)評(píng)估各種方法對(duì)信號(hào)特征的保持能力。顯然，在相同去噪能力條件下，更強(qiáng)的信號(hào)特征保持能力意味著更好的綜合濾波性能，也意味著更強(qiáng)的緩解濾波矛盾的能力。 在矩形子

35、信號(hào)的前后兩個(gè)階躍邊緣對(duì)應(yīng)位置，“梯度”中分別存在一個(gè)正脈沖和一個(gè)負(fù)脈沖。為了仔細(xì)考查梯度脈沖對(duì)濾波結(jié)果的作用效果，我們?nèi)サ袅似渲械恼}沖，而只保留了負(fù)脈沖。這可通過(guò)對(duì)位于信號(hào)正階躍之前和之后的含噪信號(hào)分別計(jì)算梯度來(lái)實(shí)現(xiàn)，或者將梯度正脈沖視作梯度噪聲給濾掉來(lái)得到。 小波閾值收縮濾波器中的分解級(jí)數(shù)以及小波長(zhǎng)度都只能是整數(shù)，這樣其去噪性能參數(shù)不能連續(xù)可調(diào)。然而如果像表1中那樣設(shè)置參數(shù)，也可以得到一個(gè)相對(duì)滿意的去噪結(jié)果，其指標(biāo)RMSE_F =1.3436 、SNR_F= 31.4137 dB。因此為了保證相同的去噪能力，我們?nèi)⌒〔ㄩ撝凳湛s濾波器中的RMSE_F和SNR_F的值為參考值。由于Savit

36、zky-Golay濾波器以及中位值濾波器的RMSE_F值和SNR_F值不能達(dá)到設(shè)定的參考值范圍之內(nèi)，因此調(diào)整參數(shù)使其得到最小的RMSE_F值和最大的SNR_F值。盡管SavitzkyGolay過(guò)濾器和中位值過(guò)濾器的RMSE_F值高于其他方法，但是它們的SNR_G值卻低于其他方法。 對(duì)于其他的方法，該圖展示了當(dāng)它們保持大體相當(dāng)?shù)腞MSE_F值和SNR_F值時(shí)，三元ADWA濾波器可以獲得最低的RMSE_G、RMSE_D值和最高的SNR_G、SNR_D值。 對(duì)于ADWA法，當(dāng)RMSE_F值和SNR_F值保持不變時(shí)，隨著屬性元次的增加，其RMSE_G、RMSE_D值不斷減小，SNR_G、SNR_D的值

37、不斷增加。雖然一元ADWA法在特征保持上不如LMS AF法，但是二元ADWA法通過(guò)增加“幅值”屬性后，特征保持性能超過(guò)了LMS AF。同樣，在信號(hào)細(xì)節(jié)集中區(qū)域的特征保持上二元ADWA法不如NA diffusion法和wavelet TS法，但是，通過(guò)增加“梯度”屬性，三元ADWA也同樣超過(guò)了他們。 （接右欄）特別是在Chirp信號(hào)的高頻區(qū)，3-ADWA/LVG的濾波結(jié)果曲線幾乎保持了和原始無(wú)噪信號(hào)相同的幅度。事實(shí)上，在信號(hào)轉(zhuǎn)折越劇烈的區(qū)域，3-ADWA/LVG的濾波結(jié)果就越靠近原始信號(hào)。這正是由于在這些區(qū)域，濾波窗口所覆蓋信號(hào)采樣點(diǎn)之間的“梯度”距離更大，因而“梯度”屬性對(duì)濾波性能的貢獻(xiàn)也更大

38、。當(dāng)濾波曲線在平坦區(qū)域不變、整體濾波曲線大體保持相似的平滑度時(shí)，ADWA法的過(guò)濾結(jié)果曲線隨著其元次的增加越來(lái)越接近原始信號(hào)曲線。表明對(duì)于ADWA法，當(dāng)保持幾乎相同的除噪能力時(shí)，它的特征保持能力隨著特征屬性元次的增加而變得越來(lái)越強(qiáng)大。 在信號(hào)的局部平直區(qū)域，比如信號(hào)的平坦區(qū)、第一個(gè)三角信號(hào)的上下斜坡中部、矩形波信號(hào)底部和頂部平坦區(qū)域中部、Chirp信號(hào)的前方低頻區(qū)，所有三個(gè)屬性元次的ADWA的濾波結(jié)果曲線都是相互重疊在一起的。這表明，在這些局部平直區(qū)域，濾波成果已由1-ADWA/L獲得；對(duì)于“位置”屬性所獲得的這種濾波成果，“幅值”和“梯度”的引入并沒(méi)有產(chǎn)生什么影響和作用，只是保持了這種濾波成果

39、而已。 對(duì)于2-ADWA/LV和3-ADWA/LVG，在1-ADWA/L的基礎(chǔ)上引入“幅值”屬性后，它們的噪聲去除性能都得到了保持（即濾波結(jié)果曲線保持幾乎同樣的平滑度）；同時(shí)，在信號(hào)的陡峭區(qū)域，比如第二個(gè)三角信號(hào)的下降沿、矩形信號(hào)的兩個(gè)階躍邊緣，Chirp信號(hào)后部高頻區(qū)的上升下降沿，它們的信號(hào)特征保持性能也都立即得到了明顯的提高。在信號(hào)的這些陡峭區(qū)域，這兩個(gè)屬性元次的ADWA的濾波結(jié)果曲線也都很好地重合在了一起。 對(duì)于3-ADWA/LVG，在2-ADWA/LV的基礎(chǔ)上引入“梯度”屬性后，前兩個(gè)屬性元次的ADWA所獲得的噪聲去除效果繼續(xù)得到了保持；而在諸如圖517中標(biāo)記了“A”、“B”和“D”的

40、這類信號(hào)梯度快速變化的轉(zhuǎn)折區(qū)域，它的濾波結(jié)果又更進(jìn)一步地向原始無(wú)噪信號(hào)靠近了，信號(hào)特征保持性能由此得到了更進(jìn)一步的提高。（轉(zhuǎn)左欄下）由于ADWA對(duì)屬性具有開(kāi)放性，只要有合適的、充分的顯著性屬性能被挖掘出來(lái)并引入到ADWA中，綜合濾波性能就有望被提高到充分理想的程度。 最后，我們考查一下圖515中“梯度”脈沖對(duì)濾波結(jié)果的影響。圖517表明，在3-ADWA/LVG的濾波結(jié)果中，有一個(gè)“毛刺”出現(xiàn)在矩形信號(hào)頂部靠近負(fù)階躍的位置。出現(xiàn)這個(gè)“毛刺”的原因是，正如圖515中“梯度”脈沖所示，靠近負(fù)階躍的各數(shù)據(jù)點(diǎn)之間在“梯度”方向相互離得都很遠(yuǎn)，它們之間的“梯度”距離遠(yuǎn)大于“梯度”正規(guī)化系數(shù)；在這種情況下，濾波窗口只能覆蓋極少量的信號(hào)點(diǎn)，導(dǎo)致噪聲無(wú)法被加權(quán)平均掉，因而噪聲本身形成了這個(gè)“毛刺”。但對(duì)于圖517中正階躍附近的信號(hào)點(diǎn)，由于“梯度”脈沖被去掉而使這些點(diǎn)的“梯度”近于相等，如圖515所示，它們之間的接近于0并遠(yuǎn)小于G ；這樣，3-ADWA/LVG的濾波窗口可以覆蓋很多的信號(hào)點(diǎn)，從而使