兩向量的混和積

1、三、兩向量的混和積三、兩向量的混和積1.定義定義2 稱 與 的向量積 再與向量 的數(shù)量積為向量, , ( ) 即的混合積，記作 設(shè)有三個(gè)向量, , ,則有設(shè)向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混合積的坐標(biāo)表示式混合積的坐標(biāo)表示式zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaaijk ,)(zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaacxcycz,zyxzyxbbbaaaijk )(.cccbbbaaazyxzyxzyx混合積性質(zhì)：混合積性質(zhì)：(1) = = = = = 整理發(fā)布整理發(fā)布事實(shí)上，若 , , 在同一

2、個(gè)平面上，則 垂直于它們所在的平面，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 混合積( ) 的絕對值等于以 , , 為棱的平行六面體的體積 v 的數(shù)值。h平行六面體所以，= |( ) | 3、混合積、混合積 ( ) 的幾何意義的幾何意義| ijphv = s h = |ijp|s底面積高 h 為 在 上的投影的絕對值a b = |a| prjab例例5:已知空間內(nèi)不在一個(gè)平面上的四點(diǎn) a (x 1 , y 1 , z 1), b ( x 2 , y 2 , z 2), c (x 3 , y 3 , z 3), d (x 4 , y 4 , z 4) 求四面體 abcd 的體

3、積。解：解：四面體 abcd 的體積等于以 ab, ac 和 ad 為棱的平行六面體體積的六分之一，. | |61adacabv ab = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),ac = (x3 x1, y3 y1, z3 z1),ad = (x4 x1, y4 y1, z4 z1),即即所以，v = ,61141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx其中行列式前的符號(hào)必須與行列式的符號(hào)一致。3 3平面及其方程平面及其方程(一一) 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程1. 法向量:若一非零向量n垂直于一平面. 則稱向量n為平面 的法向量.注: 1 對平面, 法向量

4、n不唯一;2 平面 的法向量n與 上任一向量垂直.一、平面方程一、平面方程2. 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面 過定點(diǎn) m0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(a,b, c).對于平面上任一點(diǎn)m(x, y, z), 向量m0m與n垂直. yxzm0mnon m0 m = 0而m0 m =(x x0, y y0, z z0),得:a(x x0) +b( y y0) +c( z z0) = 0稱方程(1) 為平面的點(diǎn)法式方程.(1)例例1: 求過點(diǎn)(2, 3, 0)且以 n = (1, 2, 3)為法向量的平面的方程.解解:根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1), 可得平面方程為:1 (x 2

5、) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即即: x 2y + 3z 8 = 0 nm3m2m1解解: 先找出該平面的法向量n.由于n與向量m1m2, m1m3都垂直.而m1m2=(3, 4, 6) m1m3=(2, 3, 1)可取n = m1m2 m1m3132643kji= 14i + 9j k例例2: 求過三點(diǎn)m1(2, 1, 4), m2( 1, 3, 2)和m3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程為:14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 m1m3m1m2，共面m1m，, 0)(31211mmmmm

6、m即(二二) 平面的三點(diǎn)式方程平面的三點(diǎn)式方程設(shè)平面 過不共線的三點(diǎn)m2 ( x 2 , y 2 , z 2),m3 (x 3 , y 3 , z 3),m1 (x 1 , y 1 , z 1),對于平面上任一點(diǎn) m (x , y , z),. 0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三點(diǎn)式方程.(2)設(shè)平面與x, y, z 軸的交點(diǎn)依次為p(a, 0, 0), q(0, b, 0), r(0, 0, c)三點(diǎn)oypxzqr(三三) 平面的截距式方程平面的截距式方程. 000 cabazyax則abcabzacybcx有得1czbyax當(dāng)cba,非零時(shí)(3)(

7、四四)平面的一般方程平面的一般方程1、定理、定理1: 任何x, y, z的一次方程. ax +by +cz +d = 0都表示平面,且此平面的一個(gè)法向量是: n = (a, b, c )證證: a, b, c不能全為0, 不妨設(shè)a 0, 則方程可以化為0)0()0()(zcybadxa它表示過定點(diǎn) , 且 法向量為 n = (a, b, c ) 的平面.)0,0,(0adm注：注：一次方程: ax + by + cz + d = 0 (4)稱為平面的一般方程.例例3:已知平面過點(diǎn)m0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解解: 所求平面與已知平面有相同的

8、法向量n =(2 3, 4)2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即即: 2x 3y + 4z 4 = 02. 平面方程的幾種特殊情形平面方程的幾種特殊情形(1) 過原點(diǎn)的平面方程由于o (0, 0, 0)滿足方程, 所以d = 0. 于是, 過原點(diǎn)的平面方程為:a x + b y + c z = 0ax +by +cz +d = 0(2) 平行于坐標(biāo)軸的平面方程考慮平行于x軸的平面ax + by + cz + d = 0, 它的法向量n =(a, b, c)與x 軸上的單位向量 i =(1, 0, 0)垂直, 所以n i = a 1 + b 0 + c 0 = a = 0于是

9、:平行于x 軸的平面方程是 by + cz + d = 0;平行于y 軸的平面方程是 ax + cz + d = 0; 平行于z 軸的平面方程是 ax + by + d = 0.特別: d = 0時(shí), 平面過坐標(biāo)軸.(3) 平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xoy 面的平面方程是 cz + d = 0;平行于xoz 面的平面方程是 by + d = 0; 平行于yoz 面的平面方程是 ax + d = 0.(即z = k)(即y = k)(即x = k)例例4: 求通過x 軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平面方程.解解: 由于平面過x 軸, 所以 a = d = 0.設(shè)所求平面的方程是 by + cz =

10、 0又點(diǎn)(4, 3, 1)在平面上, 所以3b c = 0 c = 3b所求平面方程為 by 3bz = 0即即: y 3z = 0 1n1n22若已知兩平面方程是:1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0法向量 n1 = (a1, b1, c1)2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0法向量 n2 = (a2, b2, c2)1.定義定義1 兩平面的法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.二、兩平面的夾角二、兩平面的夾角,),(),(),( 21212121兩者中的銳角和應(yīng)是的夾角與平面nnnnnn),cos(21nn|2121nnnn222222212121

11、212121|cbacbaccbbaacos所以1n1n22平面1與2 相互平行212121ccbbaa規(guī)定規(guī)定: 若比例式中某個(gè)分母為0, 則相應(yīng)的分子也為0.平面1與2 相互垂直a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0特別特別:例例5:5: 一平面通過兩點(diǎn)m1(1, 1, 1)和m2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.解解: : 設(shè)所求平面的一個(gè)法向量 n = ( a, b, c )已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1, 1, 1) 所以: n m1m2 且n n1 而m1m2 = ( 1, 0, 2)于是:a ( 1) + b 0

12、+ c (2) = 0 a 1 + b 1 + c 1 = 0解得: b=ca= 2c取c = 1, 得平面的一個(gè)法向量n = (2, 1, 1)所以, 所求平面方程是2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0即: 2x y z = 0m1(1, 1, 1) , m2(0, 1, 1) 設(shè) p0(x0, y0, z0)是平面 ax+by+cz+d = 0外一點(diǎn), 求 p0到這平面的距離d.在平面上任取一點(diǎn)p1(x1, y1, z1)p0p1nn則 p1p0 =(x0 x1, y0 y1, z0 z1)過p0點(diǎn)作一法向量 n =(a, b, c)于是:01jprppdn|01

13、nnpp222101010)()()(cbazzcyybxxa三、點(diǎn)到平面的距離三、點(diǎn)到平面的距離又a(x0 x1)+b(y0y1)+c(z0z1) = ax0+by0+cz0+d(ax1+by1+cz1+d) = ax0+by0+cz0+d所以, 得點(diǎn)p0到平面ax+by+cz+d=0的距離:222000cbadczbyaxd(5)例例6:6:求點(diǎn)a (1, 2, 1)到平面:x + 2y +2z 10=0的距離13322110122211222d(一一)空間直線的一般方程空間直線的一般方程已知平面1: a1x + b1y + c1z + d1 = 02: a2x + b2y + c2z +

14、 d2 = 0那末, 交線l上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)滿足:a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0不在交線l上的點(diǎn)不滿足方程組(1)(1)稱方程組(1)空間直線的一般方程.xyzo12l4 4空間直線及其方程空間直線及其方程一一. 空間直線的方程空間直線的方程空間直線可看成是兩個(gè)不平行平面與的交線12而s 的坐標(biāo) m, n, p 稱為直線l的一組方向數(shù).sl1.定義定義1 與空間直線l平行的向量 s = (m, n, p), 稱為該直線的方向向量.2. 2. 直線的對稱式方程直線的對稱式方程已知直線l過m0(x0, y0, z0)點(diǎn)方向向量 s

15、=(m, n, p)在l上任取一點(diǎn)m(x, y, z), 有m0 m/s.而m0 m=(xx0, yy0, zz0)所以得比例式pzznyymxx000(2)稱為空間直線的對稱式方程或點(diǎn)向式方程.sm0lmtpzznyymxx000 令得:x = x0 + m ty = y0 + n tz = z0 + p t稱為空間直線的參數(shù)方程.(3)(三三) 空間直線的參數(shù)式方程空間直線的參數(shù)式方程例例1: 寫出直線x + y + z +1 = 02x y + 3z + 4 = 0的對稱式方程.解解: (1) 先找出直線上的一點(diǎn) m0(x0, y0, z0)令 z0 = 0, 代入方程組, 得x + y

16、 +1 = 02x y + 4 = 0解得: 32 ,3500yx)0,32,35(0m所以, 點(diǎn)在直線上.(2) 再找直線的方向向量 s .由于平面1: x + y + z +1 = 0的法線向量 n1=(1, 1, 1)平面2: 2x y+3z+4 = 0的法線向量 n2=(2,1, 3)所以, 可取312111kji= 4i j 3k于是, 得直線的對稱式方程:3132435zyx21nns例例2: 求通過點(diǎn) a(2, 3, 4)與 b(4, 1, 3)的直線方程.所以, 直線的對稱式方程為142322zyx解解: 直線的方向向量可取 ab = (2, 2, 1)s1s2已知直線l1,

17、l2的方程, :1111111pzznyymxxls1 =(m1, n1, p1), :2222222pzznyymxxls2 =(m2, n2, p2)定義定義2 兩直線的方向向量間的夾角稱為兩直線的夾角, 常指銳角.二二. 兩直線的夾角兩直線的夾角1. l1與 l2的夾角 的余弦為:cos| )cos(|21,ss2222222121212121212121|pnmpnmppnnmmssss2. l1垂直于 l2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 03. l1平行于l2 .212121ppnnmm.1222:13411:21的夾角和求直線zyxlzyxl解解: 直線l1, l

18、2的方向向量 s1=(1, 4, 1 )s2=(2, 2, 1)有:|2121ssss22)1()2(21)4(1| )1(1)2()4(21 |2222224 所以:cos| ),cos(|21ss例例3:當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定夾角.2已知: 直線的方向向量 s =( m, n, p )平面的法向量 n =( a, b, c )那末, 2)(ns,llns稱為l與平面 的夾角.定義定義3 直線l與它在平面)20(上投影直線l的夾角,三三. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角(1) l與 的夾角 的正弦為: sin| ),cos(|sn222222|pnmcbacpbnampcnbma :即

19、即: am + bn + cp = 0|n|s|s|n (2) l與 垂直s / n(3) l與 平行s與n垂直例例4. 判定下列各組直線與平面的關(guān)系. 3224:37423:)1(zyxzyxl和解解: l的方向向量 s =(2, 7, 3) 的法向量 n =(4, 2, 2)s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又m0(3, 4, 0)在直線 l上, 但不滿足平面方程,所以l與 平行, 但不重合.81446:723:)2(zyxzyxl和解解: l的方向向量 s =( 3, 2, 7 ) 的法向量 n =( 6, 4, 14 ) l 與 垂直. 3:431232

20、:)3(zyxzyxl和解解: l的方向向量 s =( 3, 1, 4 ) 的法向量 n =( 1, 1, 1 )s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又l上的點(diǎn) m0(2, 2, 3)滿足平面方程,所以 , l 與 重合.1. 點(diǎn)到直線的距離例例5. 求點(diǎn)p0(1, 2, 1)到直線 141322:zyxl的距離d .p0slp1分析：分析：過 p0 作 l 的垂線，垂足為 p1, 則 d=| p0 p1|關(guān)鍵：關(guān)鍵：求出 p1 的坐標(biāo)方法：方法：過點(diǎn)p0作平面與l垂直，設(shè)l與平面的交點(diǎn)為p1，則線段 p0 p1 與 l 垂直。 p1即為垂足。四四. 點(diǎn)到直線的距離及平面束方

21、程點(diǎn)到直線的距離及平面束方程解解: (1) 直線 l 的方向向量 s = (2, 1, 1)過 p0(1, 2, 1), 以s為法向量作平面: 2(x1) + (y2) + (z1) = 0即: 2x + y + z 5 = 0(2) 求 l 與 的交點(diǎn)將直線 l 方程寫出參數(shù)方程形式：x = 2 + 2ty = 3 + tz = 4 + t, 代入平面的方程：2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) 5 = 0即 6t + 6 =0, t = 1, 交點(diǎn) p1(0, 2, 3)520) 1(|22210ppdslp1p0(1, 2, 1)141322:zyxl2. 平面束方

22、程設(shè)直線 l ：1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 (1)2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0 (2)其中 a1, b1, c1與 a2, b2, c2不成比例，即1/2建立三元一次方程: : (a1x+b1y+c1z+d1 )+(a2x+b2y+c2z+d2 )=0 (3).)( 為任意實(shí)數(shù) l ：1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 (1)2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0 (2).)( 為任意實(shí)數(shù) : (a1x+b1y+c1z+d1 ) +(a2x+b2y+c2z+d2 )=0 (3)考查直線 l 與平面 的關(guān)系：(1) 直線 l 上的任何點(diǎn)p(x,

23、y, z)滿足方程(1)、(2)，也滿足方程(3)。故：方程(3)表示通過直線 l 的平面，且對于不同的 值，方程(3)表示通過直線 l 的不同平面。(2) 通過直線 l 的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面內(nèi)。這是因?yàn)椋簩τ谥本€ l 外任意一點(diǎn)p0(x0, y0, z0)若不在2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0 上令：202020210101010dzcybxadzcybxal ： 1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 (1) 2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0 (2)p0(x0, y0, z0)過直線 l 與點(diǎn) p0 的平面為:022222020202101