材料力學(xué)第07章受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

1、第七受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)中北大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念 第二節(jié)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力臨界應(yīng)力總圖 壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì) 提高壓桿穩(wěn)定性的措施總結(jié)與討論第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念在第三章討論桿件軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算中，對(duì)于爰 壓桿件，當(dāng)最大壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力(屈服極限或強(qiáng)度極限) 時(shí)，會(huì)發(fā)生強(qiáng)度失效(出現(xiàn)塑性變形或破裂)。只要其最大壓 應(yīng)力小于或等于許用應(yīng)力，即滿足強(qiáng)度條件時(shí)，桿件就能安全 正常工作。然而,在實(shí)際工程中的一些細(xì)長(zhǎng)桿件受壓時(shí)，桿件 可能發(fā)生突然彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生很大的彎曲變形而導(dǎo)致最后折斷， /而桿件的

2、壓應(yīng)力卻遠(yuǎn)低于屈服極限或強(qiáng)度極限。顯然，此時(shí)桿 件的失效不是由于強(qiáng)度不夠而引起的，而是與桿件在一定壓力 作用下突然彎曲，不能保持其原有的平衡形態(tài)有關(guān)。我們把構(gòu) 件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)的能力稱為構(gòu)件的穩(wěn)定性 (stability)。受壓直桿在壓力作用下保持其直線平衡形態(tài)的 能力稱為壓桿的穩(wěn)定性。可見，細(xì)長(zhǎng)壓桿的失效是由于桿件喪 失穩(wěn)定性而引起的，屬于穩(wěn)定性失效(failure by lostJ stability) o工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的i支承桿（圖7.1），在起吊重物時(shí)，該支承桿就受到壓力作用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖7.2）,可以簡(jiǎn)化為桁架結(jié)構(gòu)

3、，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機(jī)床絲杠.起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。圖71起重機(jī)圖7. 2腳手架1穩(wěn)定平衡的概念深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是 穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，處 于平衡的構(gòu)件，受到一微小的干擾力后，構(gòu)件會(huì)偏離原平衡 位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，這種平 衡稱為穩(wěn)定平衡。當(dāng)載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡狀態(tài) 的構(gòu)件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能 回到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡。而介于穩(wěn)定 平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為隨遇平衡。如圖7-3

4、所示。穩(wěn)定平衡當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)F 都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為屈曲 (buckling)或失穩(wěn)(lost stability) o很多情形下，屈曲將導(dǎo) 致構(gòu)件失效，這種失效稱為屈曲失效(failure by buckling) o (由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此 )工程設(shè)計(jì)中需要認(rèn)真加以考慮。如20世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀?Theodore Cooper)在加拿大 離魁北克城14. 4公里，圣勞倫斯河上建造長(zhǎng)548米的魁北克大橋(Quebec Bridge), 不幸的是，1907年8月29日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞(

5、圖7-4),災(zāi)變發(fā)生在當(dāng)日收 工前15分鐘，85位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側(cè)的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn) 所致，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一 O2臨界壓力的概念F干擾力(b)圖7-5不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài)當(dāng)壓力彳II小時(shí)，壓桿能夠保持 平衡狀態(tài)，此時(shí)加一微小側(cè)崗干擾 力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置 重新處于平衡狀態(tài)，如圖7-5 (b)。 若解除干擾力，則壓桿重新回到原 直線平衡狀態(tài)，如圖7-5 (c)，因 此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的 平衡狀態(tài)?，F(xiàn)以圖7. 5 (a) 所示一端固定一端自 f 由細(xì)長(zhǎng)壓桿來說明壓 ) 桿的穩(wěn)定性。若壓桿 為中心受壓的理想直 桿，即假設(shè)：桿是絕 J 對(duì)直桿，

6、無初曲率； 壓力與桿的軸線重合， I 無偏心；材料絕對(duì)均 勻。則在壓力的作用 下，無論壓力有多大, 也沒有理由往旁邊彎 曲。當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡! 狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干 擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線 (狀態(tài)下保持平衡，如圖7-5 (d),則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇 平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其 直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿件離開直線平衡 1 狀態(tài)后，就會(huì)一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖7-5 (e)， 則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為

7、 臨界壓力(或臨界載荷)(critical load),用表示。 顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定壓桿的臨界壓力值。 桿件失去了保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為喪失穩(wěn)定， J 簡(jiǎn)稱失穩(wěn)，或屈曲。除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓 柱形薄殼外部受到均勻壓力時(shí)，壁內(nèi)應(yīng)力為壓應(yīng)力，如果 外壓達(dá)到臨界值時(shí)，薄殼將會(huì)失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而 喪失穩(wěn)定，如圖7-6所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎 剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)，載荷過大也會(huì)發(fā)生突然的側(cè)彎現(xiàn)象， 如圖7-7所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部 皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題， 有關(guān)其他的穩(wěn)定問題可參考有關(guān)專著。圖

8、76圓柱形薄殼圖77窄梁第二節(jié) 壓桿的臨壓力和臨界應(yīng)力1兩端較支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力如圖7-8所示，兩端約束為球較支座的細(xì)長(zhǎng)壓桿，壓桿 軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當(dāng)壓力達(dá)到臨界 力時(shí)，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然， 使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。 假設(shè)桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設(shè)桿件的彎曲剛!度為EL韋.Fci圖7-8兩端較支細(xì)長(zhǎng)壓桿受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)龍4受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)WH一兀一I1Mx)圖7-6兩端餃支細(xì)長(zhǎng)壓桿為了求解方便，令則有選取如圖所示坐標(biāo)系xAw。 設(shè)距原點(diǎn)為x距離的任意截面的 撓度為w，彎矩M的絕對(duì)值為 Fwo若撓度

9、w為負(fù)時(shí)，M為正。 即M與w的符號(hào)相反，于是有M(x) = -Fw將其代入撓曲線近似微分方程，得EIw" =M(x) = -FwEI1/+/：% = 0該微分方程的通解為 w = Ccoskx + Dsinkx 式中G D為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。壓桿兩端約束為球較支座，其邊界條件為 將邊界條件代入通解式，可解得 c=o兀=0時(shí)，w = 0 兀=/時(shí)，w = 0Dsin刃=0則可得到D = 0或sinkl = 0如果0=0,則有W三0,即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保 持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)前提相矛盾。因 此2)丸,則只有 sin kl = 0滿足上式的刃值

10、為kl = n7r (心0,1,2,3,)Y17T所以k = -，于是，桿件所受的壓力為F = k2EI = -(心 0丄2,3,)I2由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理 論上是多值的。但實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小 壓力才是臨界壓力。顯然只有恥/ =4才有實(shí)際意義，于是可 得臨界壓力為f _兀中(7T)=蟲cr72(7-1)上式即為兩端較支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：E為彈 性模量，ET為彎曲剛度，Z為壓桿長(zhǎng)度。刃應(yīng)取最小值，在材 料給定的情況下，慣性矩/應(yīng)取最小值，這是因?yàn)闂U件總是在 抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)。當(dāng)n =19t,相應(yīng)的撓曲線方程為w = Ds

11、in 竺可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后, 軸線變成了半個(gè)正弦曲線。D為桿件中點(diǎn)處的撓度。該式是由瑞士科學(xué)家歐拉(L. Euler)于1744年提出的, 故也稱為兩端較支細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉公式。歐拉早在18世紀(jì)， (就對(duì)理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但是，同 其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展 的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里之所 以未被認(rèn)識(shí)和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中使用 的木樁、石柱都不是細(xì)長(zhǎng)的。到1788年熟鐵軋制的型材開始 生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。有了金屬結(jié)構(gòu)，細(xì)長(zhǎng)桿才逐漸成 為重要議題。特別是19世紀(jì)，隨著鐵路建設(shè)和

12、發(fā)展而來的鐵 路金屬橋梁的大量建造，促使人們對(duì)壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行深入研究。受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);2其他支承形式下的臨界壓力從上面的推導(dǎo)過程可以 3 看出，桿件壓彎后的撓曲 / 線形式與桿件兩端的支承 : 形式密切相關(guān)，積分常數(shù) : 是通過邊界條件來確定的， 不同的邊界條件得到不同 A 的結(jié)果。壓和兩端的支座（小圖7-7不同支承形式的細(xì)長(zhǎng)壓桿除較支外，還有其他情況，工程上較常見的桿端支承形式主要有四種，如圖7-7所示。各種支承情況下 壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端較支形式的方式進(jìn)行 推導(dǎo)，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端較支形 式下的彈性曲線進(jìn)行類比來獲得臨界力公式。例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7

13、-8所示，下 端可簡(jiǎn)化為固定端，上端可簡(jiǎn)化為自由 端。這樣就可以簡(jiǎn)化為下端固定上端自 由的細(xì)長(zhǎng)壓桿如圖7-7 (b)。假設(shè)在臨 界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平 衡，由于固定端截面不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可以 看出，其彎曲曲線與一長(zhǎng)2?為的兩端較 支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的, 也就是說，如果把撓曲線對(duì)稱向下延伸 一倍，就相當(dāng)于如圖7-7 (a)所示的兩 端絞支細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線，所以，一端 固定另一端自由，長(zhǎng)度為的細(xì)長(zhǎng)壓桿的 臨界壓力，尊于兩端較支長(zhǎng)為22的細(xì) 長(zhǎng)壓桿的臨界力，即9Fc絲桿圖7-8千斤頂(7-2)cr (2/)2(7-3)對(duì)于圖7-7(c )所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后 的撓曲線形狀關(guān)

14、于桿件的中間截面對(duì)稱，根據(jù)桿 件彎曲變形的特點(diǎn)，可知距離上下端點(diǎn)四分之一 桿長(zhǎng)處的兩點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相 當(dāng)于較鏈，故兩端固定長(zhǎng)為?的壓桿的臨界壓力與 一長(zhǎng)為0.5Z的較支壓桿的臨界壓力相等，則有 口tt2EIFcrFcr(7-4)而圖7-7 (d)所示一端固定，一端絞支的壓 桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點(diǎn)，可 知距離下端點(diǎn)約0. 3/桿長(zhǎng)處為撓曲線的拐點(diǎn)， 其彎矩為零，相當(dāng)于較鏈，故其臨界壓力為 F _兀遼1cr _ (0.7Z)2根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公 式統(tǒng)一寫成卅EIF-=Wg)上式為歐拉公式的普遍形式。式中“稱為長(zhǎng)度系數(shù) (coeffici

15、ent of length),它衰示桿端約束對(duì)臨界壓力 的影響，不同的桿端約束形式有不同的長(zhǎng)度系數(shù)，顯然桿端 的約策越強(qiáng)，長(zhǎng)度系數(shù)越小。幾種支承情況的“值列于下表。 “/表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端較支壓桿時(shí)的長(zhǎng)度，稱為 相當(dāng)長(zhǎng)度(effective length)。表7-1壓桿長(zhǎng)度系數(shù)支承情況一端固定 一端自由兩端餃支一端固定 一端枝支兩端固定i210.70.5受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì) 例7-1 如圖7-11所示細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定， 另一端自由。已知其彈性模量E=10GPa，長(zhǎng) 度Z=2m。試求/z=160mm, =90mm和 h =b =120m m兩種情況下壓桿的臨界壓力。魚丄圖 7-11解：

16、（1）計(jì)算情況下的臨界壓力 截面對(duì)y, z軸的慣性矩分別為r hb3 160 x 903 c”4Iv = 9-72x10 mm）12 12/ =坐=90x1603 =3 072x07 口口彳 、12 12由于Iy<Iz>所以壓桿必然繞丿軸彎曲失穩(wěn)，應(yīng)將代入計(jì)算 公式（7.2）計(jì)算臨界壓力，根據(jù)桿端約束取“=2,即廠 71-El 7T2x10x109 x 9.72x106x10_12 XT(2x2)2Fcr 二T2 =乂= 60kN（M）(2)計(jì)算情況下的臨界壓力，截面對(duì) z軸的慣性矩相 等，均為人=4= = 120xl203=1 728xl()7mm412 121打=時(shí)=龍2 xl

17、OxlO9 x 1.728x1()7 xio2=1065kN(2x2)2由計(jì)算結(jié)果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況的 臨界力是情況的1.78倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提 高桿件穩(wěn)定性的措施之一 O受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì) 1壓桿的臨界應(yīng)力第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖 當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓力臨除以壓桿的 橫截面面積A,則可得到臨界壓力下的應(yīng)力，務(wù)為臨界應(yīng)力 (critical stress ),用 表示，即7T2E_町_亍ei A (/z/)2 A5=可7T2E將7 =如2代入臨界應(yīng)力公式中，則有 令九=匕 于是，臨界應(yīng)力可以寫成如下形式1(J這里人是與壓桿的長(zhǎng)度.約束情況.截面形狀 和

18、尺寸有關(guān)的系數(shù)，稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比(slenderness radio )，是一個(gè)無量綱的量，集 中反映了桿長(zhǎng).約束情況、截面形狀和尺寸等因 素對(duì)臨界應(yīng)力的影響。受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);2歐拉公式的適用范圍由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著柔度的減小,臨界應(yīng)力增大，當(dāng)柔度很小接近于零時(shí)，臨界應(yīng)力會(huì)趨于無窮大，這顯然 是不符合實(shí)際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿 的臨界應(yīng)力的計(jì)算。下面討論歐拉公式的適用范圍。歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來的, 而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ) 上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐 拉公式才能成立，故有

19、(7-8)7T2Ebp切是當(dāng)臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)所對(duì)應(yīng)的柔度值，常稱為極 限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為(7-9)/I > Xp將柔度2大于或等于權(quán)限柔度幾的壓桿稱為大柔度桿，或細(xì)長(zhǎng) 桿。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力 和臨界應(yīng)力。由式(7.8)可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性 模量有關(guān)。不同的材料，的數(shù)值也不同。3臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式工程實(shí)際中的壓桿，其柔度確往會(huì)小于極限柔度加，由 于其臨界應(yīng)力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式 不再適用。臨界應(yīng)力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非 線彈性失穩(wěn)問題，對(duì)于這類問題

20、，也有理論分析結(jié)果，但在 實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)或是在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上 的經(jīng)驗(yàn)公式，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。1) 直線公式(7-10)直線公式是把臨界應(yīng)力與柔度2表示成如下的線性關(guān)系acr=a-bA式中是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。例如：Q235鋼a = 304MPa b = 1.12MPa如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng) 壓力達(dá)到材料的屈服極限q （或強(qiáng)度極限5）時(shí)，壓桿由于 強(qiáng)度不夠而失效，不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對(duì)于這種情況，應(yīng) 按強(qiáng)度問題處理，其臨界應(yīng)力為屈服極限込（或強(qiáng)度極限 5 ）,即J = s （或）顯然使用直線公式的最大應(yīng)力為q 、于是有 cycr=

21、a-bX<cys(7-12)b'5 b將的壓桿稱為中柔度壓桿，即直線公式適用于中 柔度壓桿。而對(duì)于2入的壓桿稱為小柔度壓桿。如果以柔度2作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力作為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則式（7.7）.(7.10)及(7.11)可表受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);示成如圖7. 10所示的曲線。圖7-10臨界應(yīng)力總圖（直線公式）上圖表示出了臨界應(yīng)力隨壓桿的柔度2的變化情況，稱 為壓桿的臨界應(yīng)力總圖（figures of critical stresses ）。 臨界應(yīng)力總圖是壓桿設(shè)計(jì)的重要依據(jù)o2) 拋物線公式1對(duì)于柔度加幾的桿件，除了上述直線公式外，還有拋物線公式。拋物線公式是把臨界應(yīng)

22、力與柔度2表示成如下 的二次拋物線形式(ycr - % - 乞汩(7-13 )式中幻、久是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)?？刹殚営嘘P(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。7-11臨界應(yīng)力總圖(拋物線公式)受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)*4-不論是用直線公式還是用拋物線公式，求得臨界應(yīng)力后， 再乘以壓桿的橫截面面積兒即得壓桿的臨界壓力即(7-14)/需要特別注意的是，在穩(wěn)定計(jì)算中,無論是歐拉公式還是經(jīng)驗(yàn)公式，均是以桿件的整體變形為基礎(chǔ)的，局部的削 弱（如螺釘孔等）對(duì)桿件整體變形影響很小。因此，在計(jì) 算臨界壓力和臨界應(yīng)力時(shí)，可不考庭局部削弱，均采用未 經(jīng)削弱的橫截面面積和慣性矩進(jìn)行計(jì)算。至于強(qiáng)度問題， 則應(yīng)考慮局部削弱的影響，使用削弱以后的橫截

23、面面積來“I?計(jì)算應(yīng)力。-A_a*受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);第四節(jié) 壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)以上分析表明，臨界壓力是壓桿不發(fā)生失穩(wěn)的最大壓力。因 此，臨界壓力即為穩(wěn)定問題的極限壓力(臨界應(yīng)力即為穩(wěn)定問 題的極限應(yīng)力)。為保證壓桿不致發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，必須使壓桿 I實(shí)際承受的壓力低于臨界壓力。但要使壓桿安全可靠地工作， 必須使壓桿具有一定的安全儲(chǔ)備，即考慮穩(wěn)定的妥全系數(shù)心 I.故壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則(criterion of design for I stability)為(7-15)F<-nst或者心萬譏(7-16)其中為壓桿的工作安全系數(shù)。上式說明，壓桿的工作安 )全系數(shù)應(yīng)該大于或等于規(guī)定的穩(wěn)定安全系

24、數(shù)。該方法一般稱 tr Fcr.一般情況下，穩(wěn)定安全系數(shù)均高于強(qiáng)度安全系數(shù)。這 是因?yàn)閷?duì)壓桿來講，一些難以避免的因素如桿的初曲率、 壓力不對(duì)中.材料不均勻以及支座的缺陷等將嚴(yán)重影響壓 a桿的穩(wěn)定性。而這些因素對(duì)強(qiáng)度問題的影響就不像對(duì)穩(wěn)定 問題那樣嚴(yán)重。關(guān)于穩(wěn)定妥全系數(shù)，可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè) 和規(guī)范。受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì);解：（1）柔度計(jì)算由于連桿在不同平面內(nèi)的約束條件不相同，因此必須計(jì)算兩個(gè)方向的I柔度。2300例7-2 如圖7-12所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的連桿（正視圖和 俯視圖）。已知連桿材料為Q2 35鋼，連桿承受軸向壓力為 100kN,穩(wěn)定安全系數(shù)心=3,試校核連桿的穩(wěn)定性。P柔度為如果連桿

25、在巧平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為較支座，長(zhǎng)度系 （數(shù)“=1。此時(shí)中性軸為Z軸，慣性半徑為如果連桿在M平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為固定端，長(zhǎng)度 系數(shù)“=0.5。此時(shí)中性軸為y軸，慣性半徑為柔度為由于故壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定性大于在xz平面內(nèi)的穩(wěn) 定性。所以應(yīng)以4計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力。(2)臨界壓力計(jì)算對(duì)于Q235鋼制成的壓桿，其極限柔JUP=100, 2=61.6,A <A<AP,壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力% =a b入查表可得a=304MPa,方=l12MPa代入上式有q =304 12x78.9 = 216MPa臨界壓力為 Fcr =込 / = 216 x 1x 60

26、x 25 x 10" = 324kN川=位=空=3 24>3F 100"(3 )穩(wěn)定性校核 由式(7-15),有 故滿足穩(wěn)定條件。(4 )討論由于；I/；連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性不相等。欲使連 桿在今和VZ兩平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。則必須有心=為，即受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)5于是有5*本例中，由于厶與慶致相等，因此上式表明，欲使連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等，在設(shè)計(jì)截面 時(shí)，應(yīng)保持/尹40對(duì)于本例中的矩形截面，則須有bh3 , hb2u 412 12h = 2b此時(shí)，可保證連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì) 例7-3圖7-15 (a)、(b)中所示壓桿，其直徑均

27、為d,材 料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件各不相同。兩桿長(zhǎng)度 分別為5m和9m。(1) 分析哪一根桿的臨界應(yīng)力較大。III!(2) 計(jì)算厶 160mm，E=206GPa時(shí)， 二桿的臨界載荷。解：(1)計(jì)算柔度圖7-15例7-3圖因?yàn)?quot;吐,其中心石，而二者均為圓截面飪直徑相同，故有d泌 2/44龍d°/64因二者約束條件和桿長(zhǎng)都不相同，所以柔度也不_定相同。受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)對(duì)于圖7T3 ( a )所示兩端餃支的壓桿，/= 1, I =5000mm_ 上 _ 1 x 5 _ 20a i d d4對(duì)于圖7-13 (b)所示兩端固定的壓桿，“ =0.5, Z=9000mm

28、/j!0.5x918人TP4由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式，可見本例中兩端較支壓桿的臨界應(yīng) 力小于兩端固定壓桿的臨界應(yīng)力。(2)計(jì)算各桿的臨界載荷 對(duì)于兩端較支的壓桿/zZ = lx5 = 20 = 2L = i25<2 =132 61 i d d 0.16卩4屬于中長(zhǎng)桿，利用直線公式3297kNFacr = trf/.A = (304-1.12X125)X106 X 宀"打 xl°對(duì)于兩端固定的壓桿，132受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)也屬于中長(zhǎng)桿=3579kNFbcr = crcrA = (304-1.12x112.5)xl06x 宀豊燈。y7例7-4圖7-14所

29、示的結(jié)構(gòu)中，梁A為No14普通熱軋工字鋼， CD為圓截面直桿，其直徑為J=20mm,二者材料均為Q235鋼 結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A. C、D三處均為球較約束。若已知 F=25kN, h=l25m, Z2=0.55m, q=235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù) n=1.45,穩(wěn)定安全因數(shù)比廠18。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全？/1a07.14 例7-4圖解：在給定的結(jié)構(gòu)中共 有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB,承 受拉伸與彎曲的組合作 用，屬于強(qiáng)度問題；桿 CD承受壓縮載荷，屬于 穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核 如下：(1)大梁A的強(qiáng)度校核j1:1大梁4在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，該( 截面的彎矩和軸力分別為MC=(F sin

30、 30°)1, = (25 x 103 x 0.5 x 1.25) = 15.63 x IO3N m = 15.63kN m Fn = Feos 30° = 25xl03 xcos30° = 21.65kN 由型鋼表查得No. 14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為由此得到址 + 竺=15.63xia + 21.65x10- = 163.2 X106 Pa = 163,2MPa 叱 A 102x10“21.5x10"Q235鋼的許用應(yīng)力235bmax =Wz = 102cm3 A = 21.5cm2=162MPa億 1.45J略大于6,但并沒有超出許用應(yīng)力的5%,工

31、程上仍認(rèn) 為是安全的。(2 )壓桿仞的穩(wěn)定校核由平衡方程求得壓桿仞 的軸向壓力Fncd = 2Fp sin 30° = Fp = 25kNr因?yàn)槭菆A截面桿，故慣性半徑i = =i = 5mm又因?yàn)閮啥藶榍蜉^約束，“=1,所以生學(xué)110" = 132i 5x10='這表明，壓桿CD為非細(xì)長(zhǎng)桿，采用直線公式計(jì)算其臨界應(yīng)力1b” =304-1.12xllO=181MPa(F?5x4x1O3壓桿CD的工作應(yīng)力為廠號(hào)=忘正而才79.6MPa 于是，壓桿的工作安全因數(shù)79 6 = 2.27訃 1.8 這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。J 181<n = cr例7-5 壓

32、桿由兩個(gè)等邊角鋼(140x140x12)組成(如 圖7-17)，用直徑歸25mm的釧釘聯(lián)接成一個(gè)整體。桿長(zhǎng) Z=3m,兩端絞支，承受軸向壓力F=700kNo壓桿材料為 Q235鋼，許用應(yīng)力o|=100MPa,穩(wěn)定安全系數(shù)=2。試校 核壓桿的穩(wěn)定性及強(qiáng)度。imr【解】柔度計(jì)算由于截面為組合截面，因此必須分析截面對(duì)拐口 n軸的慣性矩。查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性 I H- 10 圖77例75圖質(zhì)為：A = 32.512cm2 Ix = 603.68cm4z0 = 3.9cm dQ = 1.2cm于是組合截面軸慣性矩分別為Z =2/ =2x603.68 = 1207.36cm4 =1.20736

33、xio7mm4Iy =2x Ix + A x(5 + 0.5)2 = 2x 603.68 + 32.512 x (3.9 + 0.5)2=2466.22cm4 = 2.46622 xlO7 mm42Amin z由于Iz<Iy,因此截面將繞中性軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)最小慣性半； 徑為一則L20736x_10-3 lmm2x32.512xl02最大柔度為1X3000 廠c r=69.6“43 1Fin2丄材料的柔度極限為易=100, 2=61.6,即61.6 <2max <100所以壓桿為中柔度桿。 穩(wěn)定校核由直線公式得臨界應(yīng)力為cr = 304 -1.12 x 69.6 = 226M

34、Pa CI*臨界壓力為耳 二 226 x 10& x 2 x 32.512 x 10“ 二 1470kN于是，桿件的工作安全系數(shù)為_=1470 = 21>F 700故滿足穩(wěn)定樹。 強(qiáng)度校核由于有局部削弱，因此進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，必須 考慮削弱對(duì)強(qiáng)度的影響，削弱后的截面面積為A = 2x(A-dxd0) = 2x (32.512x 102-25x12)= 5902.4mm2則截面上的應(yīng)力為cr =700 xlO35902.4 x IO-6= 119MPa>cr = 100MPa故不滿足強(qiáng)度要求。 討論 由以上計(jì)算分析可見，壓桿有局部削弱時(shí)，在滿足 穩(wěn)定條件的同時(shí)，強(qiáng)度條件可能不滿

35、足。因此，有局部削弱 時(shí)，在進(jìn)行穩(wěn)定校核的同時(shí)要進(jìn)行強(qiáng)度校核。工程實(shí)際中， 應(yīng)盡量避免對(duì)壓桿的局部削弱，以免引起強(qiáng)度不足。第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施臨界應(yīng)力作為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力，其大小反映了壓桿承載能力的高低。因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性，就需要從決定臨界應(yīng)力的各種因素著手。根據(jù)以上各節(jié)的討論，影響壓桿穩(wěn)定措施。性的因素有：壓桿的長(zhǎng)度.約束條件.截面幾何形狀及尺寸. 材料的性質(zhì)等。以下將從四個(gè)方面討論提高壓桿穩(wěn)定性的一些1盡量減小壓桿長(zhǎng)度對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷與桿長(zhǎng)的平方成反比，由柔度計(jì)算 公式可知，減小壓桿長(zhǎng)度可降低壓桿柔度，而降低柔度可提高 臨界應(yīng)力。因此，在結(jié)構(gòu)允許的情況下，盡可能地減小壓

36、桿的 長(zhǎng)度，可以有效而顯著地提高壓桿的承載能力。如下圖所示兩種桁架結(jié)構(gòu)，其中桿、都是壓桿，但圖（b）中的壓桿的承載能力要遠(yuǎn)高于圖（a）中的壓桿。圖7-15不同桿長(zhǎng)的桁架I2增強(qiáng)壓桿的約束條件桿件支承的剛性越大，即加強(qiáng)壓桿的約束，壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)“值越低， 臨界載荷也就越大。如圖7-16 ( a )所示，兩端較支的細(xì)長(zhǎng)桿，變成兩端 固定約束，如圖7-16 (b )所示，其臨界載荷將顯著增加。f兩端較支細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界壓力為p * ,如果將較支座改為固定端， t席 _2則其臨界壓力卩=込 =4但皿見，臨界壓力提高了 3倍，穩(wěn)ItT (0.5/)2 I2 cr定性明顯提高。.WV也可通過增加中間支承的辦法來達(dá) 到提高其穩(wěn)定性的目的。例如，若在兩 端較支細(xì)長(zhǎng)壓桿的中間增加一個(gè)較支座， 如圖7-16 (c )所示，則臨界壓力同樣可 以提高3倍，穩(wěn)定性也能明顯提高。一般 說來，增加壓桿的約束，使其不容易發(fā) 生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定