平面幾何中的向量方法

1、2.5 2.5 平面向量應(yīng)用舉例平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 2.5.1 平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法精品ppt2向量的相關(guān)概念及其形式向量的相關(guān)概念及其形式cosa ba b 2121yyxxba aaa 22yxa babacos 222221212121yxyxyyxxcos 0 ba02121 yyxx01221yxyx），（），（非非零零向向量量2211yxbyxa ab 1212xxyy 且且a=b1 22 1abx y -x y0(b0) 向量在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線）的條件用向量平行（

2、共線）的條件 ab . (2)證明垂直問(wèn)題證明垂直問(wèn)題,常用向量垂直的條件常用向量垂直的條件ab .1212a b0 x xy y0. 利用夾角公式利用夾角公式 2 21 12 22 21 12 2) )y y- -( (y y+ +) )x x- -( (x x (3)求夾角問(wèn)題求夾角問(wèn)題 ， (4)求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模向量的模|a|= 或或|AB|=|AB|= .121222221122x xy ya bcosa bxyxy 2a aa 22axy精品ppt5ABCD,ACABAD,DBABAD 問(wèn)題問(wèn)題：平行四邊形是表示向量加法

3、與減法的幾何模型。平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，如圖， 你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線線AC的長(zhǎng)度與鄰邊的長(zhǎng)度與鄰邊AB、AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？對(duì)角線對(duì)角線DB？對(duì)角線對(duì)角線的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度與兩條鄰邊兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？涉及到涉及到長(zhǎng)度問(wèn)題長(zhǎng)度問(wèn)題常?？紤]向量的常?？紤]向量的數(shù)量積數(shù)量積AB AC AD DB 精品ppt6ABCDAB = a AD = b 設(shè)AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b，分析：分析：AC =AC+AC=(a+b) (a-b)=a a+a b+b a+b b= a +2a b+ b DB = a -

4、2a b+ b 同理同理DB =AC +2( a + b )AB + AD = 2 ( )平行四邊形平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.精品ppt7利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)為向量問(wèn)題；題；（2）通過(guò)向量通過(guò)向量運(yùn)算運(yùn)算，研究集合之間的關(guān)系，如距離、，研究集合之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算

5、結(jié)果把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。精品ppt8ABCDEFRT例例2 如圖，如圖， ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、F分別是分別是AD 、 DC邊的邊的中點(diǎn)，中點(diǎn)，BE 、 BF分別與分別與AC交于交于R 、 T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？,ABa ADb ARr 解解設(shè)設(shè)：ACab 則則EREB又又與與共共 線線(),rn ab nR設(shè)設(shè)1()2ERmEBm ab 設(shè)設(shè) ARAC與與共共線線ARAEER 精品ppt91122()rbm ab 1122()()n abbm ab 102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量

6、不不共共線線0102nmmn 13nm 解解得得：111333,ARACTCACRTAC 同同理理于于是是故故AT=RT=TCARAEER ABCDEFRT精品ppt10 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)： 兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？精品ppt11在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)： 兩個(gè)人共提一兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大

7、越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？象嗎？GFF1F211.F 當(dāng)當(dāng) 逐逐漸漸增增大大時(shí)時(shí)，的的大大小小怎怎樣樣變變化化，為為什什么么？ 12.F 為為何何值值時(shí)時(shí)，最最小小，最最小小值值是是多多少少？ 13.FG 為為何何值值時(shí)時(shí)，？ 精品ppt12GFF1F21|2cos2GF即即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力力當(dāng)當(dāng)由由0180逐漸增大時(shí)，逐漸增大時(shí)， 由由090逐漸增大，而逐漸增大，而 的值逐

8、漸縮小，因此的值逐漸縮小，因此 逐漸增大逐漸增大cos211.F 當(dāng)當(dāng) 逐逐漸漸增增大大時(shí)時(shí)，的的大大小小怎怎樣樣變變化化，為為什什么么？ 解：解：設(shè)設(shè) 則由向量的平行四邊則由向量的平行四邊形法則、力的平衡及直角三角形的知形法則、力的平衡及直角三角形的知識(shí)可知識(shí)可知12| |FF 精品ppt13GFF1F2 當(dāng)當(dāng)=0， 最小，最小值是最小，最小值是|2G1|F當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 231| |FG例例3. 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)： 兩個(gè)人共兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾

9、角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？這種現(xiàn)象嗎？12.F 為為何何值值時(shí)時(shí)，最最小小，最最小小值值是是多多少少？ 13.FG 為為何何值值時(shí)時(shí)，？ 精品ppt14v1v2v例例4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度 ，水流速，水流速度度 ，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？(精確到精確到0.1min) 1| 10/vkm h2| 2/vkm hv1v2v1212210/ ,2/.vvv

10、vkm h vkm hvvt 如如圖圖，分分已已知知，求求析析： 精品ppt15v1v2v例例4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度 ，水流速，水流速度度 ，問(wèn)行駛，問(wèn)行駛航程最短航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？時(shí)，所用時(shí)間是多少？(精確到精確到0.1min) 1| 10/vkm h2| 2/vkm h20v v解解：由由已已知知條條件件得得 2212|96(/),vvvkmh 0.5603.1(min).|96dtv 所所以以 思考：思考：要使船要使船行駛的時(shí)間最短行駛的時(shí)間最短

11、，所用時(shí)間是多少？，所用時(shí)間是多少？v1v2 vABCD精品ppt16例例3 3 證明直徑所對(duì)的圓周角是直角證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO已知：已知：如圖所示，已知如圖所示，已知 O，AB為為直徑，直徑，C為為 O上任意一點(diǎn)。上任意一點(diǎn)。求證：求證：ACB=90證明：證明：,AO a OCb 設(shè)設(shè),ACa b CB a b 則則 AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=900AC CB 思考：思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？能否用向量坐標(biāo)形式證明？xy精品ppt17已知直線已知直線l：mx2y60，向量，向量(1m，1)與與l平行平行則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的值為的值為 （ ）A

12、.-1 B.1 C.2 D.-1或或2D利用向量證明：利用向量證明：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直菱形的兩條對(duì)角線互相垂直ABCD精品ppt18練習(xí)練習(xí)1、一船從某河的一岸駛向?qū)Π?，船速為一船從某河的一岸駛向?qū)Π?，船速?，水速為，水速為已知船可垂直到達(dá)對(duì)岸，則（已知船可垂直到達(dá)對(duì)岸，則（ ）1v2v12121212.| | .| | .| | .| |AvvBvvCvvDvv 2、已知作用在已知作用在A點(diǎn)的三個(gè)力點(diǎn)的三個(gè)力 ，A(1，1)則合力則合力 的終點(diǎn)坐的終點(diǎn)坐標(biāo)是（標(biāo)是（ ）A.(8,0) B.(9,1) C.(-1,9) D.(3,1)1(3,4)F 2,(2, 5)F 3(3,1)F 123FFFFBB精品ppt193、一個(gè)物體受到兩個(gè)相互垂直的力一個(gè)物體受到兩個(gè)相