復(fù)變課件4習(xí)題課

1、2一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)3復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充充要要條條件件必必要要條條件件冪級(jí)冪級(jí)數(shù)數(shù)收斂半徑收斂半徑r r復(fù)復(fù) 變變 函函 數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂運(yùn)算與性質(zhì)運(yùn)算與性質(zhì)解解析析在在0)(zzf為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù) )(zfnn為函數(shù)為函數(shù) 收斂條件收斂條件條條件件收收斂斂復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)列列收斂半徑的計(jì)算收斂半徑的計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要41.1.復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列 , 0 數(shù)數(shù)相應(yīng)地都能找到一個(gè)正相應(yīng)地都能找到一個(gè)正如果任意給定如果

2、任意給定 , ),(時(shí)成立時(shí)成立在在使使nnnn , 時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)稱(chēng)為復(fù)數(shù)列稱(chēng)為復(fù)數(shù)列那末那末 nn 記作記作.lim nn . 收斂于收斂于此時(shí)也稱(chēng)復(fù)數(shù)列此時(shí)也稱(chēng)復(fù)數(shù)列n , ), 2 , 1( 其中其中為一復(fù)數(shù)列為一復(fù)數(shù)列設(shè)設(shè) nn ,nnniba , 為為一一確確定定的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè)iba 5 nnn 211表達(dá)式表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前面其最前面 項(xiàng)的和項(xiàng)的和nnns 21稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.部分和部分和2.2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),), 2 , 1(為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè) nbannn 1) 定義定義62) 復(fù)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散復(fù)級(jí)

3、數(shù)的收斂與發(fā)散0lim1 nnnn 收斂收斂都收斂都收斂與與收斂收斂 111nnnnnnba 充要條件充要條件必要條件必要條件,收斂收斂如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列ns ,1收斂收斂那末級(jí)數(shù)那末級(jí)數(shù) nn .lim稱(chēng)稱(chēng)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和并并且且極極限限ssnn ,不收斂不收斂如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列ns .1發(fā)散發(fā)散那末級(jí)數(shù)那末級(jí)數(shù) nn 7非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為條件收斂級(jí)數(shù)條件收斂級(jí)數(shù).3)復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果如果 收斂收斂, 那末稱(chēng)級(jí)數(shù)那末稱(chēng)級(jí)數(shù) 為為絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 1nn 1nn .111絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂與與絕對(duì)收斂

4、絕對(duì)收斂 nnnnnnba 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 條件收斂條件收斂8)()()()(21zfzfzfzsnn 稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的部分和部分和. . 級(jí)數(shù)最前面級(jí)數(shù)最前面項(xiàng)的和項(xiàng)的和n3.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , ), 2 , 1()( 為一復(fù)變函數(shù)序列為一復(fù)變函數(shù)序列設(shè)設(shè) nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各項(xiàng)在區(qū)域其中各項(xiàng)在區(qū)域 d內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .表達(dá)式表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf94. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 1) 在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的級(jí)數(shù)稱(chēng)

5、為的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(10-阿貝爾阿貝爾abel定理定理如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那末對(duì)那末對(duì)的的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂, 如果如果在在級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿足那末對(duì)滿足的的級(jí)數(shù)必發(fā)散級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足滿足2)2)收斂定理收斂定理11(3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)收也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)斂的正實(shí)數(shù).此時(shí)此時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.3)3)收斂圓與收斂

6、半徑收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), 其收斂半徑的情況有三種其收斂半徑的情況有三種:(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂處收斂.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除0 z外都發(fā)散外都發(fā)散.12在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意注意xyo . .r收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑13方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4)4)收斂半徑的求法收斂半徑的求法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收

7、斂半徑那末收斂半徑.1 r ., 0; 0,;0,1 r即即, 0lim nnnc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 r14.,)(,)()1(2010rrzbzgrrzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababarz ),min(21rrr 5)5)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)15如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時(shí)時(shí),)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當(dāng)那末當(dāng)rz 時(shí)時(shí), 0.)()(nnnzgazgf(

8、2)(2)冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換( (復(fù)合復(fù)合) )運(yùn)算運(yùn)算復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性 00)(nnnzzc設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑為為,r那末那末是收斂圓是收斂圓raz 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) .它的和函數(shù)它的和函數(shù) 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)16(2)(zf在收斂圓在收斂圓raz 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即即 0.,d)(d )(ncnncrazczazczzf或或 01.)(1

9、d)(nnnzaazncf 175. 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù), 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 1)定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為d 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到d的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0時(shí)時(shí), 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng)18,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn2)常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(11

10、1)3(02 nnnnnzzzzz19,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7(zzzz ,!)1()1( nznn )1( z20 6. 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)定理定理內(nèi)內(nèi)可可展展開(kāi)開(kāi)成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在那那末末析析內(nèi)內(nèi)處處處處解解在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè)dzfrzzrzf )( , )( 201 ,)()(0nnnzzczf cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nc為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉

11、曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).1)21函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式洛朗展開(kāi)式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). nnnzzczf)()(0 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的, 這就是這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù). 22根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi) .(2) 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法2)將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的

12、方法將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的方法(1) 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法,d)()(2110 cnnzfic 根據(jù)洛朗定理求出系數(shù)根據(jù)洛朗定理求出系數(shù).)()(0nnnzzczf 然后寫(xiě)出然后寫(xiě)出23三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因?yàn)橐驗(yàn)榘l(fā)散，發(fā)散， 121nn收斂，收斂，. 21 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nnin24三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.;251)2(1 nni解解,226251 nni 因?yàn)橐驗(yàn)? 0226lim nn. 251 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nni25;)3(1 nnni解解

13、 541321 1iiininn因?yàn)橐驗(yàn)?614121,51311 i . 1收斂收斂故故 nnni收斂收斂收斂收斂三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.26.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 設(shè)設(shè)innnn321limlim 1 因?yàn)橐驗(yàn)?31 , 1 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知 1)32(1nni絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.三、典型例題三、典型例題例例1 1 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性.27例例2 2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.)4(!)3(!)2()1(100022 kknnnnnnzznnznz解解

14、nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 r得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . r得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 r得得28 12)4(kkz ., 1;, 0,22knkncn即即因?yàn)榧?jí)數(shù)是缺項(xiàng)級(jí)數(shù)因?yàn)榧?jí)數(shù)是缺項(xiàng)級(jí)數(shù), 1lim1 nnncr故故. 1 r29例例3 3 展開(kāi)函數(shù)展開(kāi)函數(shù) 成成 的冪級(jí)數(shù)到的冪級(jí)數(shù)到 項(xiàng)項(xiàng).zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,

15、)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的方法解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的方法利用定義來(lái)求利用定義來(lái)求.30分析：分析：采用間接法即利用已知的展開(kāi)式來(lái)求采用間接法即利用已知的展開(kāi)式來(lái)求.解解)(21cos izizzzeeeze 因?yàn)橐驗(yàn)?1)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z31nnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn

16、)( z由于由于,214iei ;214iei 32例例5 5. sin 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成把把zzez分析：分析：利用級(jí)數(shù)的乘除運(yùn)算較為簡(jiǎn)單利用級(jí)數(shù)的乘除運(yùn)算較為簡(jiǎn)單.解解,! 0 nnznze因?yàn)橐驗(yàn)?)!12()1(sin012 nnnnzz故乘積也絕對(duì)收斂故乘積也絕對(duì)收斂., 內(nèi)絕對(duì)收斂?jī)?nèi)絕對(duì)收斂?jī)杉?jí)數(shù)均在兩級(jí)數(shù)均在 z 2)010()01(0sin zzzez所以所以.30131532 zzzz)( z33例例6 6. 0 sec)( 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在點(diǎn)在點(diǎn)求求 zzzf設(shè)設(shè) nnzczczcczf2210)(又又,)()(2210 zczcczfzf由泰勒展式的

17、唯一性由泰勒展式的唯一性, 0531 ccc又又,! 4! 21cos42 zzz所以所以)(! 4! 21seccos14422042 zczcczzzz解解 利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法34 40242020! 4! 2! 2zccczccc 42! 45! 211sec zzz所以所以 2z比較兩端系數(shù)得比較兩端系數(shù)得, 10 c,! 212 c,! 454 c35例例7 7. 1 )1(1 3內(nèi)的泰勒展開(kāi)式內(nèi)的泰勒展開(kāi)式在在求函數(shù)求函數(shù) zz分析：分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法.解解 )1(21)1(1 13zz因?yàn)橐驗(yàn)?1( z所以所以 0321)1(1nnz

18、z22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z36例例8 8. 11的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因?yàn)橐驗(yàn)?11)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所以所以對(duì)上式求導(dǎo)得對(duì)上式求導(dǎo)得0)()32()()1(2 zfzzfz370)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z38例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的

19、泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在點(diǎn)在點(diǎn)求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)即把函數(shù)分成部分分式后分成部分分式后, 應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z39 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z兩端求導(dǎo)得兩端求導(dǎo)得40nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2 nnnnznz 2132)1()1(921312)1( z41, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所