解向量的概念課件

1、解向量的概念解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記（1）,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21則上述方程組（則上述方程組（1）可寫成向量方程）可寫成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 若若為方程為方程 的的0 Ax解，則解，則 121111nx 稱為方程組稱為方程組(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 21 x

2、,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .證明證明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2）若）若 為為 的解，的解， 為實數(shù)，則為實數(shù)，則 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax證明證明 .kkAkA0011 由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組性方程組 的的解空間解空間0 Ax證畢證畢.如果如果解系解系的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)

3、稱為齊次線性方程組稱為齊次線性方程組,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一組組線線性性無無關(guān)關(guān)是是 Axt .,0)2( 21出出線線性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中rnkkk 線性方程組基礎(chǔ)解系的求法線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不

4、妨設(shè)設(shè) 的前的前 個列向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān)r于是于是 可化為可化為AAA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax現(xiàn)對現(xiàn)對 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分別別代代入入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個解：個解：rn .bb,rn,rrn, 1,

5、bbr 212,bbr 111,下面證明下面證明 是齊次線性方程組解空是齊次線性方程組解空間的一個基間的一個基rn, 21 100,010,001由于由于 個個 維向量維向量rn rn 線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以 個個 維向量維向量 亦線性無關(guān)亦線性無關(guān).rn nrn, 21.,)1(21線線性性無無關(guān)關(guān)證證明明n .,2)( 21線線性性表表示示可可由由證證明明解解空空間間的的任任一一解解都都rn .11方方程程組組的的一一個個解解為為上上述述設(shè)設(shè)Tnrrx ,rn的的線線性性組組合合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax

6、 0 Ax,. 下面來證明下面來證明 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn , rrn ,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程與與由由于于0 又又等等價價于于而而0 Ax nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11, 11111,都都是是此此方方程程組組的的解解與與所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11方方程程組組. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齊次線性方程組解空間的一個基是齊次線性方程組解空間的一個基.rn, 1說明說明解空間的基不是唯一的解空間的基不是唯一的解空間的基又

7、稱為方程組的解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系，則其其通解通解為為 rn, 210 Ax.,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中rnkkk 定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的的維維數(shù)數(shù)為為解解空空間間時時當當系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的秩秩是是一一個個向向量量空空間間構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合的的全全體體解解所所元元齊齊次次線線性性方方程程組組);0,(,)( 維向量空間維向量空間為為向量向量此時解空間只含一個零此時解空間只含一個零系系故沒有基礎(chǔ)解故沒有基礎(chǔ)解方程組只有零解方程組只有零解時時當當nAR .,)(111

8、1221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空間可表示為解空間可表示為為任意實數(shù)為任意實數(shù)其中其中方程組的解可表示為方程組的解可表示為此時此時基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系個向量的個向量的方程組必有含方程組必有含時時當當例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解,0000747510737201137723521111 A對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有陣，有A .7475,7372432431xxxxx

9、x 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及對對應應有有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解線性方程組解線性方程組 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A對系數(shù)矩陣施對系數(shù)矩陣施行初等行變換行初等行變換 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程組有無窮多解，即方程組有無窮多解，

10、其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為, 001121 故原方程組的通解為故原方程組的通解為.kkkx332211 .k,k,k為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中321,xx 1221依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).()(ARAART 證證明明證證.,維維列列向向量量為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 x

11、AAAxAAxxTT即即則則有有滿滿足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT從而推知從而推知即即則則滿足滿足若若 ,0)(0同解同解與與綜上可知方程組綜上可知方程組 xAAAxT).()(ARAART 因因此此.0,1)( 2121的解的解為對應的齊次方程為對應的齊次方程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢證畢.,0,2)( 的的

12、解解仍仍是是方方程程則則的的解解是是方方程程的的解解是是方方程程設(shè)設(shè)bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 為對應齊次線性方程為對應齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特為非齊次線性方程組的任意一個特解解.rnrnkk 11 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為與方程組與方程組 有解等價的命題有解等價的命題bAx ;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等等價價與與向向量量組組向向量量組組bnn .,2121的的秩秩相相等等與與矩矩陣陣矩矩陣陣bBAnn 線

13、性方程組線性方程組 有解有解bAx 線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應用克萊姆法則）應用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題用來證明很多命題特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法的計算

14、方法例例4 4 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行變變換換對對增增廣廣矩矩陣陣B 2132111311101111B,00000212100211011 并并有有故故方方程程組組有有解解可可見見, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx則則即得方程組的一個解即得方程組的一個解.021021 取取中中組組在在對對應應的的齊齊次次線線性性方方程程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及則則xx程組的基礎(chǔ)解系程組的基礎(chǔ)解系即得

15、對應的齊次線性方即得對應的齊次線性方,1201,001121 于是所求通解為于是所求通解為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例5 5 求下述方程組的解求下述方程組的解 0000000000002362120711111 .,知知方方程程組組有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程組有無窮多解所以方程組有無窮多解.且原方程組等價于方程組且原方程組等價于方程組

16、236227543254321xxxxxxxxx求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.10032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令所以方程組的通解為所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系故得基礎(chǔ)解系.0002232910032000100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk另一種解法另一種解法 12134382362120231213711111B 0000000000002

17、362120711111 00000000000022331211029202101則原方程組等價于方程組則原方程組等價于方程組 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程組的通解為所以方程組的通解為.0002232910032010100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）對系數(shù)矩陣）對系數(shù)矩陣 進行初等變換，將其化為進行初等變換，將其化為最簡形最簡形A

18、 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同時也可知方程組的一，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有個基礎(chǔ)解系含有 個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量 rAR rn ,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.有解有解0 Ax nAR 個解向量個解向量此時基礎(chǔ)解系中含有此時基礎(chǔ)解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有有無無窮窮多多解解bAx BRAR .無無解解bAx .有唯一解有唯一解bAx 線性方程組解的情況線性方程組解的情況 滿滿足足的的三三個個解解向向量量方方程程組組如如果果非非齊齊次次