Ch02一維隨機變量及其分布

1、第二章 一維隨機變量及其分布第一節(jié) 隨機變量第二節(jié) 離散型隨機變量第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布第一節(jié) 隨機變量定義 設X X (w )是定義在樣本空間W上的實值函數(shù)，稱X X (w )為隨機變量.隨機變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，.等表示下圖給出樣本點w與實數(shù)X X (w )對應的示意圖 W1e2e3ex例1 一射手對目標進行射擊，擊中目標記為1分，未中目標記為0分.設X表示該射手在一次射擊中的得分，它是一個隨機變量，可以表示為 ., 0, 1未中擊中；wwX例2 觀察一個電話交換臺在一段時間（0，T）內接到的呼叫次數(shù)如果用X表示呼叫次數(shù)，那

2、么 表示一隨機事件，顯然 也表示一隨機事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX( )BXIww( )( ).P XIP BPXIww隨機變量的取值隨試驗的結果而定，而試驗的各個結果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機變量的取值有一定的概率. 按照隨機變量可能取值的情況，可以把它們分為兩類：離散型隨機變量和非離散型隨機變量，而非離散型隨機變量中最重要的是連續(xù)型隨機變量.因此，本章主要研究離散型及連續(xù)型隨機變量. BIXI記為事件是一個實數(shù)集合若一般的 ,即于是定義 如果隨機變量的全部可能取的值只有有限個或可列無限多個，則稱這種隨機變量為離散型隨機變量. ), 2 , 1(kxk

3、X 取各個可能值的概率，即事件 的概率為kxX ,1,2,kkP Xxpk（1）稱（1）式為離散型隨機變量X的分布律 .一般地，設離散型隨機變量 X 所有可能取的值為分布律也可以直觀地用下面的表格來表示： Xnxxx21kpnppp21由概率的定義，式（1）中的 應滿足以下條件： kp, 2 , 1, 01kpk。. 121kkp。隨機變量X的所有取值隨機變量X的各個取值所對應的概率解：NkNkNaNNakxP111)( 第二節(jié) 離散型隨機變量 例1 某系統(tǒng)有兩臺機器相互獨立地運轉設第一臺與第二臺機器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機器數(shù)，求X 的分布律 2 , 1

4、iiAi臺機器發(fā)生故障”，表示事件“第設解72. 08 . 09 . 0)(021AAPXP26. 02 . 09 . 08 . 01 . 0)()( 12121AAPAAPXP02. 02 . 01 . 0)(221AAPXP故所求概率分布為： X210kp02. 026. 072. 0（一）（01）分布 設隨機變量 X 只可能取0與1兩個值，它的分布律是) 1, 10(1 , 0,1qppkqpkXPkk則稱 X 服從（01）分布或兩點分布 （01）分布的分布律也可寫成 X10kppq拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面H還是反面T，正面X0,反面X1T H對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個

5、元素，即 ，我們總能在W上定義一個服從（01）分布的隨機變量 12,Ww w., 1, 0)(21wwwww當當XX來描述這個隨機試驗的結果。 檢查產(chǎn)品的質量是否合格，對新生嬰兒的性別進行登記，檢驗種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗都可以用（0-1）分布的隨機變量來描述伯努利試驗是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下獨立地進行重復試驗或觀察”的一種數(shù)學模型，有著廣泛的實際應用設試驗 只有兩個可能結果： 及 , 則稱 為伯努利（Bernoulli）試驗設 ，此時 ,將E 獨立重復地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗. EAA) 10()(ppAPpAP1)(E（

6、二） 伯努利試驗與二項分布現(xiàn)在求它的分布律 次這一事件，正好出現(xiàn)重伯努力試驗中事件記若以kAnBk出現(xiàn)的次數(shù)，重伯努力試驗中事件表示以AnX,AiAkXi次試驗中出現(xiàn)事件表示第而以即事件iAiA以表示第 次試驗中出現(xiàn) ，則nknknnkkkAAAAAAAAAAB121121，次試驗出現(xiàn)另外次試驗出現(xiàn)事件右邊的每一項表示某AknAk,由試驗的獨立性，得 )()()()()()(121121nkknkkAPAPAPAPAPAAAAAP這種項共有 個，而且兩兩互不相容 nkknkqppq1其中nknknnkkkAAAAAAAAAAB121121同理可得上式右邊各項所對應的概率均為 knkqp()kn

7、kknP Bp qk即 012kn knP Xkp qknk， ， ， ，利用概率的加法定理知 顯然 0 kXP00()1nnkn knkknP Xkp qp qk 滿足分布律的兩個條件即kXP注意到 剛好是二項式 的展開式中 knknp qknqp)(的二項分布服從參數(shù)為量的那一項，故稱隨機變出現(xiàn)pnXpk,X記為),(pnb例2 已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2，現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機地抽查20件，問恰好有k(k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？ 解 這是不放回抽樣但由于這批產(chǎn)品的總數(shù)很大，且抽查的產(chǎn)品的數(shù)量相對于產(chǎn)品的總數(shù)來說又很小，因而可以當作放回抽樣來處理這樣做會有一些誤差，但誤

8、差不大.我們將檢查一件產(chǎn)品是否為次品看成是一次試驗，檢查20件產(chǎn)品相當于做20重伯努利試驗以X記抽出的20件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么X是一個隨機變量，且Xb(20,0.2)則所求的概率為 2020(0.2) (0.8)0120kkP Xkkk， ，將計算結果列表如下： kXPkXPkk0123450.0120.0580.1370.2050.2180.175678910110.1090.0550.0220.0070.002 0.001作出上表的圖形，如下圖所示 直至達到先是隨之增加增加時，概率從上圖可以看出，當,kXPk4knp最大值（），隨后單調減少.一般地，對于固定的 及 ，二項分布都有類似的

9、結果),(pnb例3 設某種鴨在正常情況下感染某種傳染病的概率為20%.現(xiàn)新發(fā)明兩種疫苗，疫苗A注射到9只健康鴨后無一只感染傳染病，疫苗B注射到25只鴨后僅有一只感染，試問應如何評價這兩種疫苗，能否初步估計哪種疫苗較為有效？ 解 若疫苗A完全無效，則注射后鴨受感染的概率仍為0.2，故9只鴨中無一只感染的概率為90.80.1342.同理，若疫苗B完全無效，則25只鴨中至少有一只感染的概率為 251240.0274.1因為概率0.0274較小，并且比概率0.1342小得多，BA因此可以初步認為疫苗 是有效的，并且比 有效.（三）泊松分布0,1,2,X設隨機變量所有可能取值為，

10、！kkXPke， 210k0其中是常數(shù)( )X 記為且有顯然，, 2 , 1, 0kkXP1eeee000kkkkkkkkXP！而取各個值的概率為X則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布，滿足分布律的兩個條件即kXP例4 商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為 10的泊松分布為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應進該商品多少件？ 解按題意要求為件，件，月底的進貨量為種商品設商店每月銷售nX該95. 0 nXP的泊松分布，則有服從10Xnkkk01095. 0e10！由附錄的泊松分布表知 .95.09513.0e1095.09166.0e101501014010kkkk

11、kk！，！只要在月底進貨15件(假定上個月沒有存貨)，就可以95%的概率保證這種商品在下個月內不會脫銷在幾何上，它表示隨機變量X的取值落在實數(shù)x左邊的概率第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)是任意實數(shù)，函數(shù)是一個隨機變量，設xX定義 xXPxF)(的分布函數(shù)稱為X分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，其定義域是整個實數(shù)軸Xx分布函數(shù)具有以下基本性質： 1)(0 xF1.的不減函數(shù)是xxF)(2.1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，3.)()0(xFxF是右連續(xù)的即)(xF4.例1的分布律為設隨機變量XXkp-1 0 1 10 XPX的分布函數(shù)，并求求由概率的有限可加性分布函數(shù)為：0 11 104( )

12、3 0141 1xxF xxx 01010(1)(0)0311423.4PXPXP XFFP X 解的圖形如下圖所示)(xF 1011 1 11014 2 4F xXX分布函數(shù)的圖形是一條階梯曲線，它在 , ,處有跳躍其跳躍值分別為 取 , ,的概率, , .111xF(x)的分布函數(shù)為變量一般地，設離散型隨機X，21kpxXPkk的分布函數(shù)為由概率的可列可加性得 X, 2 , 1,)(kkkxXPpkxxxF其跳躍值為處有跳躍，在分布函數(shù)xxkkpxF)(kxxk對所有滿足的 求和。例2 在區(qū)間1,5上任意擲一個質點,用X表示這個質點與原點的距離,則X是一個隨機變量.如果這個質點落在1,5上

13、任一子區(qū)間內的概率與這個區(qū)間的長度成正比，求X的分布函數(shù).15x由題意知是一個必然事件解1,( )0 xXxF xP Xx若則是不可能事件) 1(151xkxXPx，則若51511/ 4,xPXk特別取由可得從而) 1(4111)(xxXPxPxXPxF1)(5xFxXx是必然事件，則若. 5, 151),1(41, 1, 0)(xxxxxF的分布函數(shù)為X151PX即 的圖形如下圖所示)(xF.,)(跳躍點在整個數(shù)軸上沒有一個）上的一個連續(xù)函數(shù)，是一個定義在（xF第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量定義，使對于任意實數(shù)有負函數(shù)如果存在非的分布函數(shù)對于隨機變量)(),(xfxFX xttfxFd.)(概率密度

14、的概率密度函數(shù)，簡稱為稱其中函數(shù)稱為連續(xù)型隨機變量，則XxfX 具有以下性質由定義知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx對于任意實數(shù)有 dxxfxFxFxXxPxx211221(4)( )( )( )f xxF xf x若在點 連續(xù)，則有121212( ,( ,( )()Xx xP xXxx xf x落在區(qū)間上的概率等于區(qū)間上曲線之下的曲邊梯形的面積 如圖性質(1),(2)是兩個最基本的性質有的連續(xù)點對于知由性質xxf)(,)4( xxxXxPxxFxxFxfxx00limlim直觀述它的分布比分布函數(shù)機變量，用概率密度描因此對于連續(xù)型隨附近的值的概率大

15、小取映出的大小能反的概率分布的密集程度在點而是的概率取值不是隨機變量上式表明概率密度xXxfxXxXxf)(,)(例1 設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度 1, 02,0 , .kxxfx其他k確定常數(shù)) 1 ( xFX的分布函數(shù)求)2(2523)3( XP求20(1)( )d1,(1)d1f xxkxx由得(2)X的分布函數(shù)為 20, 01d, 0241, 2 xxF xf ttxxxx5335(3)22221 0.93750.0625PXFF 解1/ 2k 解得均勻分布具有概率密度設連續(xù)型隨機變量 X , , 0, ,1其他bxaabxf),(,),(baUXbaX記為上服從均勻分布在區(qū)間則稱

16、 1d, 0)(xxfxf且易知滿足連續(xù)型隨機變量的兩個最基本性質 fx 的圖形與子區(qū)間的位置無關而子區(qū)間的長度子區(qū)間的概率只依賴于落在或者說可能性是相同的一等長度的子區(qū)間內的中任落在變量上服從均勻分布的隨機在,),(,),(),(baXbaXba的分布函數(shù)為X bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0( )F x 相應的圖形為例2解指數(shù)分布概率密度為設連續(xù)型隨機變量X , 0 , 0, 0 ,exxxfx的指數(shù)分布服從參數(shù)為則稱常數(shù)為其中X,0 1ded0)(0 xxxfxfx且易知的分布函數(shù)為X . , 00 ,e1其他，xxFx滿足連續(xù)型隨機變量的兩個最基本性質指數(shù)分布的概率密度及

17、分布函數(shù)分別如圖所示 例3()1/1000,31000X已知某種電子元件壽命單位：h 服從參數(shù)的指數(shù)分布 求 個這樣的元件使用小時至少有一個已損壞的概率。解：的概率密度為X . 0 , 0, 0 ,e100011000 xxxfx 11000ed1000 xxfXP于是各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的，因此3個元件使用1000小時都未損壞的概率為 ，從而至少有一個已損壞的概率為 3e31 e正態(tài)分布概率密度為設連續(xù)型隨機變量 X22()21( )e,2xf xx ).,(,)0(,2 NXX記為分布的正態(tài)服從參數(shù)為則稱為常數(shù)其中( )0( )1f xf x dx顯然，下面來證明滿足連續(xù)

18、型隨機變量的兩個最基本性質得令, tx222()2211eded22xtxt20ed,2xx利用有22ed2tt于是22()21ed12xx如圖所示)(xf.)()(,.)(,)(的圖形就越平的值越大，反之，當?shù)膱D形越尖。的值越小固定時當達到最大處在對稱的圖形關于直線函數(shù)xfxfxxfxxf 的分布函數(shù)為X22()21( )ed2txF xt如下圖所示)(xF表示，即有分別用其概率密度和分布函數(shù)。記為服從標準正態(tài)分布時稱當)(),() 1 , 0(, 1, 0 xxNXX221( )e,2xx221( )ed2txxt()1( ) xx易知引理若2(,)XN 則(0,1)XYN4例解81681

19、6(2)0.977344XP XP880( 2)1(2)0.022744 XP XP12882081220(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP查表得的分布函數(shù)由引理及,X已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX5例設2(,)XN 內的概率落在區(qū)間求),(kkX), 3 , 2 , 1 (k解P XkPkXk( )()2( ) 1kkk于是2(1) 10.6826 P X2 2(2) 10.9544 P X3 2(3) 10.9973P X 3 13 0.00270.003P XP X 則有.003. 0)3,3(不會發(fā)生在實際問題中常認為它，以外的

20、概率小于落在 X)(, 10 ,),1 , 0(如下圖所示分位點為標準正態(tài)分布的上稱點則滿足條件若設uuXPuNXuux1)( 的圖形的對稱性可知：由第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布在實際問題中，不僅需要研究隨機變量，往往還要研究隨機變量的函數(shù).即已知隨機變量X的概率分布，求其函數(shù)Y g (X )的概率分布.1例2(1)2;(2)(1)XYXZX設隨機變量 具有以下分布(如下表)，試求的分布律。P-100.4。的所有可能取值為4 , 2 , 0 , 2) 1 (Y的分布律為得由YpkXPkYPk2解YP-200.44 , 1 , 0)2(的所有可能取值為

21、Z20(1)010.1P ZPXP X=-=21(1)1020.6P ZPXP XP X=-=+=24(1)410.3P ZPXP X=-= -=的分布律為故zZP02例.),(2也服從正態(tài)分布的線性函數(shù)，試證明設隨機變量baXYXNX 證明)(),(,yFxFYXYX的分布函數(shù)為分別記)(, 0yFaY下面先求設 )(yFYybaXPyYP)(abyFabyXPX的概率密度為求導，得關于將baXYyyFY)()(yfY)(1)(abyfaabyabyfXX)(xfX而22()21e,2xx 所以2()2()1( )e,.2()yax baYfyxa 以同樣的方法可以求得若, 0a22()2()1( )e,2yax baYfyxa ).)( ,(2abaNbaXY故ba,1在上例中取特別地,得) 1 , 0( NXY果這就是上一節(jié)引理的結3例.,),(2的概率密度求具有概率密度設隨機變量XYxxfXX解).()(),(,yFYyFxFYXYYX的分布函數(shù)先求的分布函數(shù)為分別記時有當時，故當由于00)(0, 02yyFyXY