測量誤差、不確定度與數(shù)據(jù)處理

1、第2章 測量誤差、不確定度和數(shù)據(jù)處理2.1 測量誤差與不確定度2.1.1 測量在科學(xué)實驗中，一切物理量都是通過測量得到的。所謂測量就是將待測物理量與規(guī)定作為標(biāo)準(zhǔn)單位的同類物理量(或稱為標(biāo)準(zhǔn)量)通過一定方法進(jìn)行比較。測量中的比較倍數(shù)即為待測物理量的測量值。測量可分為兩類，一類是用已知的標(biāo)準(zhǔn)單位與待測量直接進(jìn)行比較，或者從已用標(biāo)準(zhǔn)量校準(zhǔn)的儀器儀表上直接讀出測量值(例如，用米尺量得物體的長度為0.7300m，用停表測得單擺周期為1.05s，用毫安表讀出電流值為12.0mA等)，這類測量稱直接測量(或簡單測量)；另一類測量，它不能直接把待測量的大小測出來，而是依據(jù)該待測量和一個或幾個直接測得量的函數(shù)關(guān)

2、系求出該待測量(例如，測量銅(圓柱體)的密度時，我們首先用游標(biāo)卡尺或千分尺測出它的高h(yuǎn)和直徑d，用天平稱出它的質(zhì)量M，然后再通過函數(shù)關(guān)系式計算出銅的密度)，我們把這類測量稱為間接測量(或稱復(fù)合測量)。一般說，大多數(shù)測量都是間接測量、但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，很多原來只能以間接測量方式來獲得的物理量，現(xiàn)在也可以直接測量了。例如電功率的測量，現(xiàn)在可用功率表直接測量，又如速度也可用速率表來直接測量等。測得的數(shù)據(jù)(即測量值)不同于數(shù)學(xué)中的一個數(shù)值，數(shù)據(jù)是由數(shù)值和單位兩部分組成的。一個數(shù)值有了單位，便具有了一種特定的物理意義，這時，它才可以稱為一個物理量。因此，在實驗中經(jīng)測量所得的值(數(shù)據(jù))應(yīng)包括數(shù)值和單位

3、，即以上二者缺一不可。2.1.2 誤差任何物質(zhì)都有自身的特性，反映這些特性的物理量所具有的客觀真實數(shù)值稱為這些物理量的真值。測量的目的就是要力求得到真值。但測量總是依據(jù)一定的理論和方法，使用一定的儀器，在一定的環(huán)境中，由一定的人進(jìn)行的。在實驗測量過程中，由于受到測量儀器、測量方法、測量條件和測量人員的水平以及種種因素的限制，使測量結(jié)果與客觀存在的真值不可能完全相同，導(dǎo)致所測得的只能是該物理量的近似值。也就是說，任何一種測量結(jié)果的測量值與客觀存在的真值之間總會或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測量值的測量誤差(又稱測量值的絕對誤差)，簡稱“誤差”，即測量值(x)真值(X)=誤差(e)(2-

4、1)誤差存在于一切測量之中，而且貫穿測量過程的始終。每使用一種儀器進(jìn)行測量都會引起誤差。測量所根據(jù)的方法和理論越繁多、所用儀器越復(fù)雜、所經(jīng)歷的時間越長，引進(jìn)誤差的機會就越多。因此實驗應(yīng)該根據(jù)要求和誤差限度來制訂或選擇合理的方案和儀器。要避免測量中某個環(huán)節(jié)盲目追求不切實際的高指標(biāo)，這樣作既不符合現(xiàn)代信息論的基本思想，又提高了測量的代價。一個優(yōu)秀的實驗工作者，應(yīng)該是在一定的要求下，以最低的代價來取得最佳的結(jié)果。要做到既保證必要的實驗精確度又合理地節(jié)省人力與物力。2.1.3 誤差的分類及相關(guān)知識誤差的產(chǎn)生原因是多方面的。根據(jù)誤差的性質(zhì)和來源，可將誤差分為兩類；系統(tǒng)誤差和隨機誤差。現(xiàn)分別對它們作必要的

5、介紹。2.1.3.1 系統(tǒng)誤差在同一實驗條件下(方法、儀器、環(huán)境和觀測人都不變)多次測量同一量時，誤差的絕對值和正負(fù)號保持不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特征是它的確定性。它主要來自以下幾個方面：(1) 理論(方法)誤差 這是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒灄l件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或由于所采用測量方法或數(shù)據(jù)不完善而引起的誤差。例如，單擺的周期公式的成立條件是擺角趨近于零，這實際上是達(dá)不到的，用它來計算周期必然引起誤差。(2) 儀器誤差 這是由于測量儀器本身的固有缺陷或沒有按規(guī)定使用而引起的。例如，用未經(jīng)校準(zhǔn)零位的千分尺測量零件長度，用不等臂的天平稱衡

6、物體的質(zhì)量，都會引入儀器誤差。(3) 環(huán)境誤差 由于環(huán)境條件變化所引起的誤差。如溫度、氣壓、濕度的變化等。(4) 個人誤差 這是由于觀測人的生理或心理因素所造成的。通常與觀測人員反應(yīng)速度和觀測習(xí)慣有關(guān)。例如，用肉眼在米尺刻線上讀數(shù)時，習(xí)慣地偏向一個方向；按動秒表時，習(xí)慣地提前或落后。系統(tǒng)誤差的規(guī)律及產(chǎn)生的原因可能是實驗者已知的，也可能不知道。已被確切掌握了其大小和符號的系統(tǒng)誤差稱為可定系統(tǒng)誤差。對大小和方向未知(或尚未確定)的系統(tǒng)誤差叫未定系統(tǒng)誤差。前者一般可在測量中采取一定的措施給予減小消除或在測量結(jié)果中進(jìn)行修正，而后者一般難以作出修正，只能估計它的取值范圍?？傊到y(tǒng)誤差是在一定實驗條件下

7、由一些確定的因素引起的，它使測量結(jié)果總是偏向一邊，即偏大或偏小。因此，試圖在相同條件下用增加測量次數(shù)來減小或消除它是徒勞的，只有找出導(dǎo)致該系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，對癥下藥采取一定的方法才能減小或消除它的影響，或?qū)y量結(jié)果進(jìn)行修正。1系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)要發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，就必須仔細(xì)地研究測量理論和方法的每一步推導(dǎo)，檢驗或校準(zhǔn)每一件儀器，分析每一個因素對實驗的影響等。下面從普遍意義上介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的途徑和方法。(1) 對比的方法 實驗方法的對比 用不同方法測同一個量，看結(jié)果是否一致。如用一個單擺測量g=9.80±0.01m/s2，用復(fù)擺測得g=9.830±0.003m/s2，用自由落

8、體法測得g=9.7763±0.0005m/s2，三者結(jié)果不一致，這說明至少其中兩種方法存在系統(tǒng)誤差。 儀器的對比 如用兩個電流表串聯(lián)于同一個電路中，讀數(shù)不一致，則說明至少有一個電路表不準(zhǔn)。如果其中一個是標(biāo)準(zhǔn)表，就可以找出另一個的修正值了。 改變測量方法 例如，把電流反向進(jìn)行讀數(shù)；在增加砝碼過程中與減少砝碼過程中讀數(shù)；分光計測角盤轉(zhuǎn)180度讀數(shù)等。 改變實驗中某些參量的數(shù)值 例如，改變電路中電流的數(shù)值，如果測量結(jié)果單調(diào)或有規(guī)律的變化，則說明有某種系統(tǒng)誤差存在。 改變實驗條件 例如在電路中將某個元件的位置變動一下。 兩個人對比觀測，可發(fā)現(xiàn)個人誤差，等等。(2) 理論分析方法 分析測量所依

9、據(jù)的理論公式所要求的條件與實際情況有無差異，能否忽略。如“單擺”實驗中，公式，這是作了的近似，公式把擺球看作質(zhì)點，忽略擺線質(zhì)量、空氣浮力與阻力等。 分析儀器是否達(dá)到了所要求的使用條件。例如用測高儀測物體高度時，要求支架鉛直、望遠(yuǎn)鏡平移，否則測出的結(jié)果不能反映物體實際高度。(3) 分析數(shù)據(jù)的方法測量所得數(shù)據(jù)明顯不服從統(tǒng)計分布規(guī)律時，則可將測量數(shù)據(jù)依次排列，如偏差大小有規(guī)則地向一個方向變化，則測量中存在線性系統(tǒng)誤差；如偏差符號作有規(guī)律交替變化，則測量中存在周期性系統(tǒng)誤差。2系統(tǒng)誤差的消除和修正從原則上來說，消除系統(tǒng)誤差的途徑，首先是設(shè)法使它不產(chǎn)生，如果做不到，那么就修正它，或在測量中設(shè)法抵消它的影

10、響。下面介紹幾種消除系統(tǒng)誤差的途徑：(1) 消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源 采用符合實際的理論公式。 消除儀器的零位誤差。例如，在使用千分尺之前，要先檢查零位，并記下零讀數(shù)(即零位誤差)，以便對測量進(jìn)行修正；又如電表的指針未通電時不指零位，可進(jìn)行機械校零或記下零讀數(shù)，最后再對測量值進(jìn)行修正。 保證儀器裝置及測量滿足規(guī)定的條件。 采用某種方法(如比較法)，在公式中消去某個量，就可能避免它的系統(tǒng)誤差。例如在測定液體的比熱實驗中，若能保證兩個量熱器系統(tǒng)完全相同、升溫也相同，就能消除因散熱而引起的系統(tǒng)誤差。(2) 找出修正值，對測量結(jié)果進(jìn)行修正 校準(zhǔn)儀器 用標(biāo)準(zhǔn)儀器校準(zhǔn)一般儀器，得出修正值或校準(zhǔn)曲線。如經(jīng)長期

11、使用過的電表、電阻箱在使用前必須經(jīng)過校準(zhǔn)或得出校準(zhǔn)曲線。 對理論公式進(jìn)行修正，找出修正值 例如用單擺測周期時，考慮擺球的體積大小及空氣的浮力和阻力，則此公式必須修正。(3) 從測量方法上或儀器設(shè)計上抵消系統(tǒng)誤差影響 對稱測量可以抵消系統(tǒng)誤差的影響 例如在分光計上讀出度盤相隔180°處的兩組數(shù)據(jù)，以消除偏心差。 保持實驗或儀器一定，可抵消某種系統(tǒng)誤差 例如m=m1m0，測量m1及m0時用同一個砝碼可以抵消砝碼的系統(tǒng)誤差。 線性觀測法可抵消某種線性變化的系統(tǒng)誤差 例如電源電動勢隨時間線性降低，則使用電位差計時可隔相等時間輪流測標(biāo)準(zhǔn)量和待測量，如第一、三次測標(biāo)準(zhǔn)量，將其平均值與第二次所測的

12、待測量對應(yīng)。 周期性系統(tǒng)誤差的消除 對按正弦規(guī)律變化的周期性系統(tǒng)誤差，可采取在每半個周期進(jìn)行偶數(shù)次測量的方法予以消除。在實際工作中，有時系統(tǒng)誤差的大小不易確定或不必精確計算，這時只需判斷它的正負(fù)和估計它的數(shù)量級就行了。如其中有些誤差對測量結(jié)果無影響，就可不予考慮了，這對實際工作很有意義。2.1.3.2 隨機誤差若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減弱到可以忽略的程度，被測量本身又是穩(wěn)定的，在同一條件下對該物理量進(jìn)行多次測量時，測量值總有稍許差異，而且大小和方向變化不定。這種數(shù)值大小和正負(fù)號經(jīng)常變化的誤差稱為“隨機誤差”。隨機誤差主要來自以下幾方面：(1) 主觀方面 由于人們的感官靈敏度和儀器的精度有限，實驗者操作不

13、熟練，估計讀數(shù)不準(zhǔn)等。(2) 客觀方面 外界環(huán)境干擾，如溫度的微小起伏、氣流擾動、振動、雜散電磁場的不規(guī)則脈動等，既不能消除，又無法估量。(3) 其他不可能預(yù)測的次要因素。從隨機誤差的定義和來源我們看到它是實驗過程中各種隨機的或不確定因素的微小變化引起的。它的顯著特點是在任意一次測量之前我們無法事先知道它的大小和方向。鑒于此，我們有必要對它進(jìn)行深入的討論。1測量列的算術(shù)平均值在深入討論隨機誤差問題時，我們假定系統(tǒng)誤差已經(jīng)被消除或減小到可忽略的地步。在相同條件下(即等精度)對某一物理量進(jìn)行K次測量，其測量值為x1，x2，x3，xk，算術(shù)平均值為，則(2-2)根據(jù)統(tǒng)計誤差理論，在一組K次測量的數(shù)據(jù)

14、中，算術(shù)平均值最接近于真值，稱為測量的“最佳值”。當(dāng)測量次數(shù)K，(真值)。測量次數(shù)的增加對于提高算術(shù)平均值的可靠性是有利的，但不是測量次數(shù)越多越好。因為增加測量次數(shù)必定延長測量時間，這樣給保持穩(wěn)定的測量條件增加困難，還可能引起大的觀測誤差。另外，增加測量次數(shù)對系統(tǒng)誤差的減小不起作用，所以實驗測量次數(shù)不必過多。一般在科學(xué)研究中，取10到20次，而在物理教學(xué)實驗中，通常取6到10次。2測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差如前所述，隨機誤差其大小和方向都不能預(yù)知，但在等精度條件下，對物理量進(jìn)行足夠多次的測量，就會發(fā)現(xiàn)測量的隨機誤差是按一定的統(tǒng)計規(guī)律分布的，而最典型的分布就是正態(tài)分布(高斯分布)。典型的正態(tài)分布如圖2-1

15、所示。圖中e為絕對隨機誤差(絕對誤差)，為概率密度函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)誤差。由概率論知識可以證明(2-3)其中被定義為測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差?？杀硎緸?2-4)3隨機誤差的特點具有正態(tài)分布的隨機誤差具備以下特點：(1) 有界性 絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率為零，即誤差的絕對值不會超過一定的界限。(2) 單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。圖2-1 隨機誤差分布曲線(3) 對稱性 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。(4) 抵償性 即隨機誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加而趨于零。即。由此可見，可用增加測量次數(shù)的方法來減小隨機誤差。4的統(tǒng)計意義由式(2-3)表示的正態(tài)分布函數(shù)和概率論知

16、識有上述各式表明，當(dāng)，任何一次測量值與真值之差落在區(qū)間(，)里的概率為1(滿足歸一化條件)；而落于區(qū)間里的概率為0.683，即置信概率P=0.683；落于區(qū)間里的概率為0.954，置信概率P=0.954；落于區(qū)間里的概率為0.997，置信概率P=0.997。由此我們看到是一個統(tǒng)計特征值，它表明了在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況。從上面的介紹我們看到當(dāng)測量次數(shù)無限多時，測量誤差的絕對值大于的概率僅為0.3%，對于有限次測量這種可能性是極微小的，于是可以認(rèn)為此時的測量是失誤，該測量值不可信應(yīng)予剔除。這就是著名的判據(jù)(準(zhǔn)則)。在分析多次測量的數(shù)據(jù)時很有用處。從以上的介紹我們看到標(biāo)準(zhǔn)誤差

17、是隨機誤差散布情況的量度。5標(biāo)準(zhǔn)偏差的最佳估計值在實際測量中，測量次數(shù)K總是有限的，況且真值X也不知道，因此標(biāo)準(zhǔn)誤差只具有理論價值，對它的實際處理只能進(jìn)行估算。估算結(jié)果稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差(簡稱標(biāo)準(zhǔn)差)，其表達(dá)式為(2-5)式子的統(tǒng)計意義為當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，測量列中任一測量值與平均值的偏離落在區(qū)間里的概率為68.3%，此式亦稱為貝塞爾公式。綜上所述，系統(tǒng)誤差和隨機誤差性質(zhì)不同，來源不同，處理方法也不相同。在實驗中系統(tǒng)誤差和隨機誤差往往是并存的共同影響著實驗測量結(jié)果。有關(guān)隨機誤差的進(jìn)一步介紹將在下一節(jié)里進(jìn)行。2.1.4 精密度、準(zhǔn)確度、精確度通常人們用“精度”這類詞來形容測量結(jié)果的誤差大小，但精度是一

18、個籠統(tǒng)的概念，我們有必要從誤差角度對此作一定的說明。精密度(precision)指重復(fù)測量所得結(jié)果相互接近的程度。精密度反映了隨機誤差大小的程度。準(zhǔn)確度(accuracy)系指測量值或?qū)嶒炈媒Y(jié)果與真值符合的程度，它是描述測量值接近真值程度的尺度。準(zhǔn)確度反映了系統(tǒng)誤差大小的程度。精確度為精密度與準(zhǔn)確度的綜合，即既描述了測量數(shù)據(jù)間的接近程度，又表示了與真值的接近程度。總之，精確度反映了綜合誤差的大小程度。圖2-2可以形象地幫助讀者理解以上三名詞。(a) (b) (c)圖2-2 精密度、準(zhǔn)確度、精確度圖2-2(a)彈擊中靶子的點比較集中，但都偏離靶心，表示精密度較高而準(zhǔn)確度較差；圖2-2(b)雖然

19、彈點較分散，但平均值較接近靶心，表示準(zhǔn)確度較高而精密度較差；圖2-2(c)則表明了精密度和準(zhǔn)確度均較好，亦即精確度較高。2.1.5 不確定度測量中的誤差是客觀而普遍存在的，隨著測量者水平的提高以及實驗條件的改善，誤差可以被減小和改善，但不可能完全被消除(也沒有必要這樣作)。人們關(guān)心的是怎樣把誤差控制在允許的范圍內(nèi)。如何評價測量結(jié)果的優(yōu)劣是我們關(guān)心的另一個問題。測量結(jié)果的表述應(yīng)當(dāng)包含結(jié)果精確度即誤差的信息，但是誤差通常是無法知道的。于是，人們引入了一個新的概念不確定度來對誤差情況作定量的估計。不確定度(uncertainty)表征了被測物理量的真值在某個量值范圍內(nèi)的一個評定，亦即測量結(jié)果附近的一

20、個范圍，這個范圍可能包含測量誤差。誤差是測量值與真值之差，真值經(jīng)常無法知道，因此誤差通常也無法知道，而不確定度表示的是測量誤差可能出現(xiàn)的范圍，這樣一來不確定度就能更好地反映測量結(jié)果的性質(zhì)和優(yōu)劣。2.2 儀器誤差與估計誤差2.2.1 儀器誤差(限)當(dāng)人們使用儀器進(jìn)行各種測量時最關(guān)心的問題無疑是儀器提供的測量結(jié)果與真值的一致程度以及各系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合估計不確定度的大小。從后面式(2-13)我們看到儀器誤差()在不確定度估算中扮演了重要角色，因此儀器誤差是本節(jié)的重要內(nèi)容。所謂儀器誤差(限)是指在滿足儀器規(guī)定使用條件，正確使用儀器時，儀器的示值與被測量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對值。在實驗

21、教學(xué)中它常被用來估計由測量儀器導(dǎo)致的誤差范圍，這有助于我們從量級上把握測量儀器的準(zhǔn)確度以及測量結(jié)果的可靠程度。導(dǎo)致儀器產(chǎn)生儀器誤差的因素是多方面的，現(xiàn)以電表為例介紹構(gòu)成電表儀器誤差的因素。它們分別是：a. 儀器活動部分，如軸尖軸套間的摩擦；b. 磁場不均勻；c. 游絲彈性不均勻及游絲老化；d. 分度刻線不均勻；e. 外界條件的變動對儀表讀數(shù)的影響；f. 調(diào)節(jié)儀表指針至所要求的示值所引起的起伏；g. 檢驗用的標(biāo)準(zhǔn)所引起的誤差。若儀器的可定系統(tǒng)誤差為，未定系統(tǒng)誤差為，隨機誤差為，則儀器誤差可表示為1(2-6)式中c為置信因子，其值取決于所遵從的規(guī)律以及值的置信水平。當(dāng)呈正態(tài)分布，并且置信概率P=0

22、.99時，c=3。從以上分析可知，儀器誤差既包含了系統(tǒng)誤差也包含了隨機誤差。對級別不高的儀表則主要是系統(tǒng)誤差。為了簡化計，我們約定大學(xué)物理實驗中的儀器誤差直接作為不確定度中的非統(tǒng)計方法估計的分量處理。通常，生產(chǎn)廠家在儀器出廠時已在其上注明儀器誤差，但注明方式各不相同。最常采用的有幾種形式：1在儀器上直接寫出準(zhǔn)確度來表明該儀器的儀器誤差，如準(zhǔn)確度為0.05mm的游標(biāo)卡尺，其儀器誤差就是0.05mm。2標(biāo)出儀器的精度級別，用戶自己算出儀器誤差，如某電表，它的精度級別定義為(2-7)于是，可得到(2-8)式中最大誤差就是儀器誤差。3數(shù)字式儀器的儀器誤差限表達(dá)式常采用(2-9)或(2-10)其中，K為

23、該儀表的準(zhǔn)確度等級；是示值；是儀表的滿量程；是常量，即誤差的絕對項系數(shù)；n代表儀器固定項誤差，常取1，2，等整數(shù)，相當(dāng)于最小量化單位的n倍。以式(2-10)為例，對于準(zhǔn)確度，量程為2V的某數(shù)字電壓表，其。當(dāng)顯示電壓為，最小量化單位為0.0001V。于是，實驗教學(xué)中作為粗略的估計，數(shù)字儀表也可用顯示的最小讀數(shù)單位作為儀器誤差。對于未注明儀器誤差的儀器(或量具)，作為教學(xué)規(guī)范我們規(guī)定：能連續(xù)讀數(shù)的儀器，取其最小分度值的一半作為儀器誤差，如米尺，螺旋測微計，讀數(shù)顯微鏡等；對于不能連續(xù)讀數(shù)的儀器就以最小分度值作為儀器誤差，如機械停表。以上規(guī)則在運用中有時也有例外，如最小分度值為1的溫度計，它能連續(xù)讀數(shù)

24、，儀器誤差為0.5，但由于其準(zhǔn)確度不高，也可以用最小分度值1作為儀器誤差。為了方便讀者，考慮到大學(xué)物理實驗的對象，根據(jù)上述原則和習(xí)慣，現(xiàn)將常用物理實驗儀器的儀器誤差列成表2-1供大家參考。2.2.2 估計誤差圖2-3 用米尺測物體長度估計誤差涉及到物理實驗測量中的估計讀數(shù)方法。以圖2-3所示的用厘米尺測量物體長度為例，物體始端與末尺零刻線對齊，其終端介于16cm和17cm之間，即物體比16cm長，比17cm短。憑著自己的實驗經(jīng)驗，實驗者可先把米尺的相鄰兩刻線(米尺的最小分度)分成10個等份，再估計物體長于16cm部分占16cm刻線到17cm刻線部分(最小分度)的多少等份，其測量值為16.5cm

25、、16.4cm及16.6cm都是正確的。估讀一般按最小刻度的幾分之一(如1/10，1/5，1/2等)進(jìn)行，這最小刻度的幾分之一，即為測量值的估計誤差，記為。估計誤差是一種非統(tǒng)計性誤差，并且與儀器誤差是相互獨立的。在物理實驗中估計讀數(shù)是普遍存在的，因此估計誤差也是普遍存在的。例如，除前面提到的米尺測長外，用螺旋測微計、指針式電表，水銀溫度計進(jìn)行測量時都會遇到這種誤差。在測量中怎樣科學(xué)、規(guī)范地讀數(shù)與記錄詳見本章第4節(jié)。表2-1 常用物理實驗儀器的儀器誤差儀器名稱儀器誤差 說明毫米尺0.5mm最小分度值的1/2游標(biāo)卡尺0.05mm (1/20分度)0.02mm (1/50分度)最小分度值螺旋測微計(

26、千分尺)0.004mm (或0.005mm)最小分度值的1/2讀數(shù)顯微鏡0.004mm (或0.005mm)最小分度值的1/2測微目鏡0.004mm (或0.005mm)最小分度值的1/2水銀溫度計(最小分度值1)0.5 (或1)最小分度值的1/2 (或最小分度值)計時儀器1s，0.1s，0.01s (各類機械表)最小分度值(5.8×10-6t+0.01)s (電子表)t為時間的測量值物理天平0.05g (感量 0.1g)0.01g (感量 0.02g)天平標(biāo)尺最小分度值的1/2分光計(浙光廠)1¢最小分度值電橋K儀器精度級別R測量值，R0基準(zhǔn)值電位差計K儀器精度級別V測量

27、值，U0基準(zhǔn)數(shù)值電阻箱K儀器精度級別R測量值指針式電表(電流表，電壓表)K儀器精度級別Nm電表的滿量程值各類數(shù)字儀表或或儀器最小讀數(shù)單位K儀器精度級別Nx測量值，Nm滿量程值x誤差絕對項系數(shù)n儀器固定項誤差，為最小量化單位的n倍2.3 測量結(jié)果的不確定度2.3.1 直接測量結(jié)果的不確定度不確定度是指測量值(近真值)附近的一個區(qū)域范圍。測量值與真值之差即誤差可能位于其中。不確定度小，測量結(jié)果可信度高；不確定度大，測量結(jié)果的可信度低。我們不可能用指出誤差的辦法去說明可信度，只能用誤差的某種可能值去說明可信度，因此不確定度更能表示測量結(jié)果的性質(zhì)和質(zhì)量。以上觀點已得到國際公認(rèn)。由于誤差分為隨機誤差和系

28、統(tǒng)誤差，考慮到測量中對測量結(jié)果的已定系統(tǒng)誤差分量進(jìn)行修正以后。其余各種未定系統(tǒng)誤差因素和隨機誤差因素共同影響著測量結(jié)果的不確定度，因此，不確定度的分量計算原則上分為兩類，即A類不確定度(統(tǒng)計不確定度)和B類不確定度(非統(tǒng)計不確定度)。下面就兩類不確定度的計算作進(jìn)一步的介紹。1直接測量結(jié)果的A類不確定度分量估算A類不確定度分量是指可以用統(tǒng)計方法計算的不確定度。這類不確定度因服從正態(tài)分布規(guī)律，因而可以象計算標(biāo)準(zhǔn)偏差一樣用式(2-5)進(jìn)行計算。設(shè)待測物理量x(真值為X)是穩(wěn)定的，足夠大的K次獨立測量的結(jié)果為，平均值作為x的最佳估計，則平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差(2-11)就是該量的A類不確定度分量。即該測量列

29、的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差(標(biāo)準(zhǔn)差)。的統(tǒng)計意義在于：待測物理量落入?yún)^(qū)間里的概率為68.3%；落入?yún)^(qū)間里的概率為95.4%；落入?yún)^(qū)間里的概率為99.7%。需指出，對A類不確定度分量的計算還可以采用最大偏差法，極差法，最小二乘法等方法計算。為了不增加讀者的負(fù)擔(dān)，本書僅推薦貝塞爾法。圖2-4 正態(tài)分布與t分布的比較對于實際測量，測量次數(shù)既不可能足夠的多，更不可能無限多，當(dāng)測量次數(shù)減少概率密度分布曲線由正態(tài)分布曲線變得較平坦，變成了t分布(亦稱學(xué)生分布)，其圖形見圖2-4所示。很顯然對于有限次測量，特別是大學(xué)物理實驗中要保持同樣的置信概率水平辦法就只有一個：將乘上一個大于1的因子，使置信區(qū)間擴大。這樣一來A

30、類不確定度就表示為：(2-12)表2-2給出了不同置信概率水平下t因子與測量次數(shù)K的關(guān)系。表2-2 t與測量次數(shù)K的關(guān)系對照測量次數(shù)K t P2345678910t0.681.841.321.201.141.111.091.081.071.06t0.954.303.182.782.572.452.362.312.262.23t0.999.925.844.604.033.713.503.363.253.17在大學(xué)物理實驗教學(xué)中為了簡化、方便和統(tǒng)一，我們約定置信概率P取95%，以下的討論也遵從這種約定，不再重復(fù)。2直接測量結(jié)果的B類不確定度分量估算B類不確定度分量是指用不同于統(tǒng)計方法獲得(或評定)

31、的不確定度()。評定B類不確定度分量常用估計的方法。要作到估計適當(dāng)，對初學(xué)者往往是很困難的，因為需要實驗者確定誤差的分布規(guī)律、參照標(biāo)準(zhǔn)、估算誤差限以及實驗者的實踐經(jīng)驗等?？紤]到本書的讀者大多數(shù)是大學(xué)一、二年級的本科生，因此本書對B類不確定度分量的估算僅作簡化處理。我們約定大學(xué)物理實驗中的B類不確定度僅涉及儀器的最大允差(儀器誤差)和測量時實驗者選用的估計誤差。由于和是相互獨立的。都不遵從統(tǒng)計規(guī)律，因此，B類不確定度分量2、3(2-13)在多數(shù)測量中存在的情況，作為一種簡化有(2-14)例如用一級精度螺旋測微計測量物體長度時mm(或0.005mm)。實驗者將最小分度0.01mm按1/10估讀，這

32、時估計誤差mm。按式(2-13)計算mm，按式(2-14)計算mm。因此在上述情況下采用式(2-14)是可行的，但必須滿足上述條件即。有時也有例外，例如用毫米尺測物體長度時，mm，若物體邊緣粗糙，常按1/2估讀，mm，這時仍然應(yīng)按式(2-13)計算B類不確定度分量。3直接測量結(jié)果的不確定度及測量結(jié)果表示(1) 直接測量結(jié)果的不確定度U按ISO、IUPAP頒布的指南精神，直接測量列結(jié)果表示中的總不確定度的具體計算為：(2-15)或，(當(dāng))(2-16)對于單次測量或只能(或只需)進(jìn)行一次測量的情況。此時貝塞爾公式是發(fā)散的，不能用式(2-5)、(2-11)和(2-12)計算，作為一種簡化于是有：3(

33、2-17)或(2-18)應(yīng)當(dāng)指出式(2-17)、(2-18)并不說明單次測量的總不確定度U比多次測量的U值小，只能說明這種估算是比式(2-15)更為粗略的估計方法。(2) 直接測量結(jié)果的規(guī)范表述對于直接測量結(jié)果 (單位) (P=0.95)(2-19)其中各量可按如下方式計算(2-20)注：若測量中存在可修正的系統(tǒng)誤差(可定系統(tǒng)誤差)則應(yīng)對測量值進(jìn)行修正，這時的最佳值應(yīng)為(2-21)4測量結(jié)果的規(guī)范表示細(xì)則每一位實驗者都應(yīng)學(xué)會怎樣正確，規(guī)范，科學(xué)地書寫測量結(jié)果的最終報告形式。作為一種教學(xué)規(guī)范，我們約定：(1) 當(dāng)直接測量結(jié)果是最終結(jié)果，不確定度取位為12位，即不超過2位有效數(shù)字；若其作為間接測量

34、的中間結(jié)果，不確定度最好比正常截斷多取1到2位，以避免舍入誤差的積累效應(yīng)。相對不確定度則一律用2位有效數(shù)學(xué)(百分?jǐn)?shù))表示。(2) 為保證不確定度的置信概率水平不致降低，不確定度值截斷時采取“只入不舍”的原則，亦即寧大勿小。例如：mm若截取為2位數(shù)有效數(shù)字就是mm，截取1位數(shù)則為mm。(3) 測量結(jié)果表達(dá)式中測量值(平均值)的最末位數(shù)應(yīng)與不確定度U的最末位數(shù)對齊。對測量值中保留數(shù)字末位以后的部分應(yīng)按通常的“四舍六入五湊偶”的修約規(guī)則進(jìn)行。例如，一測量數(shù)據(jù)計算的平均值為13.5025cm，其經(jīng)計算獲得的不確定度值為0.0134cm，不確定度取2位有效數(shù)字應(yīng)為0.014cm，則測量結(jié)果為(cm)即測

35、量值平均值的有效數(shù)字位數(shù)最終應(yīng)根據(jù)不確定度的有效數(shù)字位數(shù)來決定，而平均值的修約原則是按“四舍六入，五湊偶”進(jìn)行。(4) 在測量結(jié)果x以及，U，E等量的后面必須用括號注明置信概率的近似值(雖然我們前面已約定了P=0.95%)。(5) 測量結(jié)果完整表達(dá)式中應(yīng)包含該物理量的單位。2.3.2 間接測量的不確定度及結(jié)果表達(dá)式設(shè)間接測量量N與各直接測量量的函數(shù)關(guān)系為：1間接測量量的平均值間接測量結(jié)果是由一個或幾個直接測量值經(jīng)過公式計算得出。因，均代表各直接測量量的最佳值，于是間接測量量的最佳值就應(yīng)該是(2-22)即間接測量量的最佳值由各直接測量量的最佳值代入函數(shù)表達(dá)式求得。2間接測量結(jié)果的不確定度設(shè)，分別

36、為x，y，z，等相互獨立的直接測量量的不確定度，則間接測量量的總不確定度為(2-23)式中偏導(dǎo)數(shù)，稱為傳遞系數(shù)，它的大小直接代表了各直接測量結(jié)果不確定度對間接測量結(jié)果不確定度的貢獻(xiàn)(權(quán)重)。間接測量量的相對不確定度可表示為(2-24)式中表示對函數(shù)f取自然對數(shù)。以上式(2-23)、(2-24)僅僅是原理性的表達(dá)式，當(dāng)落實到一個具體的間接測量量的函數(shù)關(guān)系式參與運算時計算量不小，為了方便讀者，表2-3將常用函數(shù)不確定度公式列于其中。表2-3 常用函數(shù)不確定度使用說明間接測量結(jié)果的函數(shù)表達(dá)式不確定度的傳遞公式說 明直接求宜先求相對不確定度宜先求相對不確定度宜先求相對不確定度；直接求宜先求相對不確定度

37、直接求3不確定度計算實例例1 利用流體靜力稱衡法測一銅塊的密度，密度公式為，其中m為空氣中銅塊的質(zhì)量(注：空氣浮力可以忽略)；m1為銅塊浸沒于純水中的質(zhì)量；為純水密度?，F(xiàn)已測得，純水密度 。求銅塊的密度測量結(jié)果。解：銅塊密度近真值利用式(2-23)求銅塊密度的合成不確定度銅塊密度的測量結(jié)果為，例2 用單擺測重力加速度，已測得擺長L和周期T的測量結(jié)果為求重力加速度的測量結(jié)果。解：重力加速度的近真值為按式2-24或表2-3求重力加速度的相對不確定度重力加速度的不確定度為重力加速度的測量結(jié)果為對于例2有興趣的讀者也可采用式(2-23)求解，但經(jīng)比較你會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)間接測量量與直接測量量的函數(shù)關(guān)系為乘、除

38、或冪函數(shù)關(guān)系時，用式(2-24)先求相對不確定度可以大大簡化運算。因此，表2-3就是按此思路制成的。讀者參照此表，并根據(jù)其說明欄的步驟計算可以使計算量減至最小，而且不易出錯。應(yīng)當(dāng)指出，無論用式(2-23)、(2-24)或是按表2-3計算間接測量量的不確定度時，均應(yīng)保持置信概率的統(tǒng)一。例如各直接測量量的不確定度用標(biāo)準(zhǔn)不確定度(P=68.3%)表達(dá)時，它們傳遞的間接測量結(jié)果的不確定度也是標(biāo)準(zhǔn)不確定度(P=68.3%)。所有直接測量量都用高置信概率下的不確定度時，經(jīng)傳遞后間接測量結(jié)果的不確定度也只能是在該高置信概率下的不確定度。2.3.3 不確定度均分原理前面已經(jīng)談到，不確定度能科學(xué)地反映測量結(jié)果的

39、可靠程度，但不確定度的意義遠(yuǎn)不止這些。人們還可以根據(jù)對測量的不確定度大小的要求設(shè)計實驗方案，選擇實驗儀器，不斷改進(jìn)實驗，提高測量精確度等。以上這些問題涉及到不確定度均分原理和不確定度的分配調(diào)整，它對我們的測量有指導(dǎo)性意義。所謂不確定度均分原理就是間接測量結(jié)果的總不確定度均勻地分配到各直接測量量的不確定度中去，利用這一原理我們就可以從總體上科學(xué)、合理地指導(dǎo)實驗。例：已知一圓柱體，粗略地知道其直徑D»10mm，高h(yuǎn)»30mm，若要求該園柱體體積V的相對不確定度不大于1.0%，求D、h的允許不確定度？進(jìn)而設(shè)計一個測量該圓柱體體積的實驗儀器方案。解 圓柱體體積，其相對不確定度的表達(dá)

40、式應(yīng)滿足根據(jù)不確定度均分原理，應(yīng)當(dāng)有即或也就是得由于量程為025mm的一級精度螺旋測微計的儀器誤差為0.004(或0.005)mm，二級精度螺旋測微計的儀器誤差為0.012mm，估計誤差為0.001mm。A類不確定度也大約在此數(shù)量級。因此選用一、二級精度的螺旋測微計均能夠滿足測量直徑D的不確定度要求。若考慮游標(biāo)卡尺測直徑，20分度的游標(biāo)卡尺儀器誤差為0.05mm，肯定不行。50分度游標(biāo)卡尺的誤差為0.02mm，再考慮估計誤差為0.02mm以及A類不確定度，因此也是不行的。再看圓柱體高度測量，由于高度h»30mm，實驗室一般螺旋測微計量程為025mm。因此，不能在測高度時采用它。又看毫

41、米尺，其儀器誤差為0.5mm(太大)，因此也不能選用毫米尺測高度。再看游標(biāo)卡尺，量程最小的一種為0125mm。另外，對于20分度和50分度游標(biāo)，它們的儀器誤差，估計誤差，A類不確定度全考慮進(jìn)去也不超過0.2mm，因此圓柱體的高度測量宜采用游標(biāo)卡尺(無論20分度，50分度均可)。2.4 測量值的有效數(shù)字及運算規(guī)律2.4.1 測量值的有效數(shù)字1有效數(shù)字在進(jìn)行直接測量時要用到各種各樣的儀器、儀表。根據(jù)儀器、儀表顯示讀數(shù)的方式，可把儀器、儀表分為兩類：用一定長度或弧長表示某物理量大小的稱為模擬式儀表；直接用數(shù)字顯示測量結(jié)果的稱為數(shù)字式儀表。用模擬式儀器，儀表進(jìn)行測量時，首先要弄清它的測量范圍(即量程)

42、以及整個測量范圍包含多少最小分度，其最小分度值稱為儀器、儀表的最小量或讀數(shù)精度。從儀表上讀取數(shù)字時要盡可能讀到儀器、儀表最小分度值的下一位(有時在同位)。最小分度以上的數(shù)值可以直接讀出，是準(zhǔn)確的，稱可靠數(shù)字(也稱準(zhǔn)確數(shù)字)。最小分度以下的數(shù)值只能估計得到(且只能估計出一個數(shù)字)。這個數(shù)字因為是估計得到的，是不準(zhǔn)確的，我們把這個數(shù)字稱為可疑數(shù)字(也稱欠準(zhǔn)數(shù)字)?？梢蓴?shù)字雖不準(zhǔn)確，但它仍代表了該物理量的一定大小、是有一定意義的、是對測量值有一定貢獻(xiàn)的數(shù)字，因而是有效的。我們把儀器、儀表上直接讀得的準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位估計得到的可疑數(shù)字統(tǒng)稱為測量值的有效數(shù)字。一個實驗數(shù)據(jù)的數(shù)值有幾個有效數(shù)字，就稱該測

43、量值有幾位有效數(shù)字。另外，要估讀到最小分度的幾分之一(如1/10，1/5，1/2等)，這個最小分度的幾分之一，即為測量值的估計誤差，簡記為?，F(xiàn)以毫米尺測物體長度為例介紹如何確定物體長度的有效數(shù)字。如圖2-5(a)，從尺上可讀出4.57cm這個數(shù)據(jù)的前兩位數(shù)“4”、“5”是從尺上直接讀得的，是可靠的，而最后一位數(shù)“7”是估計出來的(只能估計一位)是可疑的，這時我們就說測得該物體長為4.57cm。這個數(shù)據(jù)有3個有效數(shù)字，我們就說它有3位有效數(shù)字。又如圖2-5(b)所示，可讀得物體長為4.50cm，也是有3位有效數(shù)字，其中，最后一位“0”是估計得到的，這個“0”不能省去，因為米尺的精度(即最小量)是

44、1mm，如果省去“0”，那么“5”就是估計得到的可疑數(shù)字，這把尺子就不是毫米尺，而是厘米尺了。這兩個物體的長，如果再用精度為0.002cm的游標(biāo)尺來測量，可讀得4.574cm和4.502cm，它們有四位有效數(shù)字，其中最后一位的“4”和“2”都是可疑的。以上物體用兩種精度不同的尺子測量其長度，用米尺只有三位有效數(shù)字，而用游標(biāo)尺卻有四位有效數(shù)字，可見測量結(jié)果所包含的有效數(shù)字位數(shù)是由所用測量儀器的精度及估計讀數(shù)方式?jīng)Q定的。因此，在記錄測量結(jié)果時不允許任意增減有效數(shù)字。一個數(shù)據(jù)有效數(shù)字的多少，往往能反映諸如測量所用儀器、測量方法等情況。大體上說，一個數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差就越小，測量就越準(zhǔn)確，

45、有效數(shù)字位數(shù)越少，相對誤差就越大，測量就越不準(zhǔn)確。另外，可疑數(shù)字所占數(shù)位越低，測量就越準(zhǔn)確。(a) (b)圖2-5 米尺測物體長度測量得到的數(shù)據(jù)都應(yīng)以有效數(shù)字表示，準(zhǔn)確數(shù)字由儀器直接讀得，最后一位可疑數(shù)字由估計讀數(shù)得到。至于怎樣科學(xué)地進(jìn)行估計讀數(shù)，應(yīng)根據(jù)具體情況確定，一般最小分度刻線間的寬度為1mm或以上者，應(yīng)按10等分估計讀數(shù)，否則可根據(jù)情況按5等分或2等分估計讀數(shù)。但如果是指針式儀表或光標(biāo)儀表，它們的指針或光標(biāo)尺絲線較寬，大于最小分度的1/10時，可按1/5估讀；若它們的寬度大于最小分度的1/5時；可按1/2估讀。另外，還要根據(jù)儀器精度等級以及所測物理量的不確定度對整個測量的總不確定度的貢

46、獻(xiàn)大小來確定估讀方式。如果儀器的精度等級高，就須按1/10估讀，如果該物理量對總不確定度的貢獻(xiàn)小，則可按1/2或1/5估讀。使用數(shù)字式儀器、儀表進(jìn)行測量時，不需要進(jìn)行估計讀數(shù)，顯示的末位數(shù)字就是可疑數(shù)字，其估計誤差為此位的±1個單位。2記錄實驗數(shù)據(jù)宜采用科學(xué)記數(shù)法實驗數(shù)據(jù)用有效數(shù)字記錄。在記錄時為了方便，為了不易出錯，常用科學(xué)記數(shù)法記錄實驗數(shù)據(jù)?？茖W(xué)記數(shù)法，即把數(shù)據(jù)寫成小數(shù)乘以10的n次冪的形式(n可以是正數(shù)，負(fù)數(shù))，且小數(shù)的小數(shù)點前只有一位整數(shù)。例如地球直徑為6371km，用科學(xué)記數(shù)法表示就是6.371×103km?？茖W(xué)記數(shù)法有以下好處：a. 能方便地表達(dá)出數(shù)據(jù)有效數(shù)字的

47、位數(shù)；如地球直徑是4位有效數(shù)字；b. 單位改變時，只是乘冪次數(shù)改變其它不變。但一般的書寫就要出錯，如用以米為單位寫出地球的直徑，一般書寫法在6371之后要添0才能保證數(shù)值大小不變，寫成6371000m，但這是7位有效數(shù)字了，顯然是錯誤的，測量數(shù)據(jù)不能因為單位換算而改變其有效數(shù)字的位數(shù)；c. 表示很大和很小的數(shù)字特別方便，也容易記憶，如鉑的電阻溫度系數(shù)為a=0.00391k-1，科學(xué)記數(shù)法寫成a=3.91×10-3k-1，很方便。3有效數(shù)字尾數(shù)舍入規(guī)則在實驗數(shù)據(jù)參與運算后，在用不確定度規(guī)范測量值時存在數(shù)值的“舍入”(或“修約”)。舍入時按熟知的“四舍五入”規(guī)則是見“五”就入。這一規(guī)則有

48、不完善之處：導(dǎo)致從1到9的九個數(shù)字中，入的機會總是大于舍的機會，這是不合理的，這就不可避免帶來舍入誤差。為了彌補這一缺陷，現(xiàn)在通用的規(guī)則是：對保留數(shù)字末位以后的部分的第一個數(shù)，小于“5”則舍，大于“5”則入，等于“5”則把保留數(shù)字末位湊為偶數(shù)，即原來末位是奇數(shù)則加1(五入)，原來末位是偶數(shù)則不變(五舍)。此規(guī)則稱為“四舍六入，五湊偶”規(guī)則。2.4.2 有效數(shù)字的運算規(guī)則間接測量值是由直接測量值通過公式計算得到的，所以間接測量值也應(yīng)該用有效數(shù)字表示。下面討論有效數(shù)字運算規(guī)則。有效數(shù)字運算的總原則是：準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字進(jìn)行四則運算時，其結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字。 準(zhǔn)確數(shù)字與可疑數(shù)字以及可疑數(shù)字與可疑數(shù)字進(jìn)

49、行四則運算時，其結(jié)果均為可疑數(shù)字。 在運算最后結(jié)果中一般只保留一位可疑數(shù)字，其余可疑數(shù)字，應(yīng)根據(jù)尾數(shù)取舍規(guī)則處理。一個經(jīng)計算得到的結(jié)果不會比參與計算的諸數(shù)據(jù)中最不準(zhǔn)確的數(shù)值更準(zhǔn)確或可靠。因此，為了簡化運算，在進(jìn)行四則運算前，可將參加運算的原始數(shù)據(jù)，分別按加減、乘除不同情況進(jìn)行修正。對加減運算應(yīng)首先找出參與運算的諸項中可疑數(shù)字所占數(shù)位最高的項，以此項為標(biāo)準(zhǔn)，其余各項一律按尾數(shù)取舍原則使這些項的可疑數(shù)字占的數(shù)位比標(biāo)準(zhǔn)項可疑數(shù)字?jǐn)?shù)位低一位。在乘除運算時，應(yīng)首先找出參與運算的各項中所含有效數(shù)字個數(shù)(即位數(shù))最少的項，以此項為標(biāo)準(zhǔn)，其它各項按尾數(shù)取舍原則使各項有效數(shù)字的個數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)項多一個。1四則運算在運

50、算時，為了把可疑數(shù)字、可靠數(shù)字加以區(qū)別，我們在可疑數(shù)字下加一橫線。(1) 加和減運算例112.34+2.3574=14.6974=14.70例243.326.2568=37.0632=37.06由例1、例2可以看到，在加、減運算中，和或差的可疑數(shù)字所占數(shù)位，與參加運算的各數(shù)據(jù)項中可疑數(shù)字所占數(shù)位最高的相同。(2) 乘除法運算例32432.6×0.341=8.295×103=8.30×103例4354 4÷27.1=13.08=13.1由例3、例4可以看到，在乘除運算中，積或商所包含的有效數(shù)字位數(shù)，與參加運算的各數(shù)據(jù)項中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個相同。(3)

51、混合運算中，要按部就班地運用有效數(shù)字四則運算規(guī)則。2函數(shù)運算在進(jìn)行函數(shù)運算時，不能沿用四則運算的有效數(shù)字運算規(guī)則。乘方或開方運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與其底的有效數(shù)字位數(shù)相同。對于其它函數(shù)運算應(yīng)該先計算出間接測量結(jié)果的不確定度，用不確定度來確定間接測量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。今后在相應(yīng)的實驗中具體再介紹。在用有效數(shù)字運算規(guī)律進(jìn)行運算時，還應(yīng)注意以下三點： 出現(xiàn)在計算公式中的比例常數(shù)是非測量值，可以認(rèn)為它們具有足夠多位有效數(shù)字，不因它們的出現(xiàn)影響運算結(jié)果的位數(shù)。至于無理數(shù)、e等，在運算中要截取成有效數(shù)字形式時，應(yīng)比其它測量得到的數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)最少者多取1位或2位。 一個數(shù)據(jù)的第一個數(shù)是9或8，在乘除

52、運算中，計算有效數(shù)字的位數(shù)時，可多取1位。例如9.81×16.24=159.3，可把9.81看為4位有效數(shù)字，所以結(jié)果應(yīng)記為159.3。 有多個數(shù)據(jù)參加運算時，運算的中間結(jié)果應(yīng)保留兩個可疑數(shù)字以減少多次取舍引入的計算誤差，但運算到最后仍應(yīng)舍去。例如3.144×(3.61522.6842)×12.39=3.144×(13.0687.2039)×12.39 =3.144×5.86×12.39=22 8最后還需再次指出，上述運算涉及的間接量的有效數(shù)字位數(shù)的確定僅僅是一種粗略的估計，用不確定度來決定測量值的有效數(shù)字位數(shù)才是總的原則和

53、依據(jù)，即測量結(jié)果的有效數(shù)字的取位是由不確定度最終來決定的。方法是，測量結(jié)果(無論直接測量量以及間接測量量)的算術(shù)平均值的最末一位一定要與不確定度的末位對齊。2.5 物理實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法實驗得到的一系列數(shù)據(jù)，往往是零碎而有誤差的，要從這一系列數(shù)據(jù)中得到最可靠的實驗結(jié)果，找出物理量之間的變化關(guān)系及其服從的物理規(guī)律，這要靠正確的數(shù)據(jù)處理方法。所謂數(shù)據(jù)處理，就是對實驗數(shù)據(jù)通過必要的整理分析和歸納計算，得到實驗的結(jié)論。常用的方法有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法。2.5.1 列表法在記錄和處理數(shù)據(jù)時，常常將所得數(shù)據(jù)列成表。數(shù)據(jù)列制成表后，可以簡單而明確，形式緊湊地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系；

54、便于隨時檢查結(jié)果是否合理，及時發(fā)現(xiàn)問題，減少和避免錯誤；有助于找出有關(guān)物理量之間規(guī)律性的聯(lián)系，進(jìn)而求出經(jīng)驗公式等。列表的要求是：(1) 要寫出所列表格的名稱，列表力求簡單明了，便于看出有關(guān)量之間的關(guān)系，便于后面處理數(shù)據(jù)。(2) 列表要標(biāo)明各符號所代表物理量的意義(特別是自定的符號)，并注明單位。單位及測量值的數(shù)量級寫在該符號的標(biāo)題欄中，不要重復(fù)記在各個數(shù)值上。(3) 列表時可根據(jù)具體情況，決定列出哪些項目。個別與其它項目聯(lián)系不密切的數(shù)據(jù)可以不列入表內(nèi)。列入表中的除原始數(shù)據(jù)外，計算過程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可以列入表中。(4) 表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。2.5.2 作圖法1

55、作圖法的作用和優(yōu)點物理量之間的關(guān)系既可以用解析函數(shù)關(guān)系表示，還可用圖示法來表示。作圖法是把實驗數(shù)據(jù)按其對應(yīng)關(guān)系在坐標(biāo)紙上描點，并繪出曲線，以此曲線揭示物理量之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求出經(jīng)驗公式。作圖法是一種被廣泛用來處理實驗數(shù)據(jù)的很重要的方法。它的優(yōu)點是能把一系列實驗數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或變化情況直觀地表示出來。同時，作圖連線對各數(shù)據(jù)點可起到平均的作用，從而減小隨機誤差；還可從圖線上簡便求出實驗需要的某些結(jié)果。例如，求直線斜率和截距等；從圖上還可讀出沒有進(jìn)行觀測的對應(yīng)點(稱內(nèi)插法)；此外，在一定條件下還可從圖線延伸部分讀到測量范圍以外的對應(yīng)點(稱外推法)。作好一幅正確、實用、美觀的圖是實驗技能訓(xùn)練的一項

56、基本功，應(yīng)該很好掌握它。實驗作圖不是示意圖，它既要表達(dá)物理量間的關(guān)系，又要能反映測量的精確程度，因此必須按一定要求作圖。2作圖的步驟及規(guī)則(1) 作圖一定要用坐標(biāo)紙 根據(jù)所測的物理量，經(jīng)過分析研究后確定應(yīng)選用哪種坐標(biāo)紙。常用坐標(biāo)紙有：直角坐標(biāo)紙，單對數(shù)坐標(biāo)紙、雙對數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等。(2) 坐標(biāo)紙大小的確定 坐標(biāo)紙大小，一般根據(jù)測得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)來確定。原則上應(yīng)使坐標(biāo)紙上的最小格，對應(yīng)于有效數(shù)字最后一位可靠數(shù)位。(3) 選坐標(biāo)軸 以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量，要畫兩條粗細(xì)適當(dāng)?shù)木€表示橫軸和縱軸，并畫出方向。在軸的末端近旁標(biāo)明所代表的物理量及單位。(4) 定標(biāo)尺及標(biāo)度 在用直角坐標(biāo)紙時，采用等間隔定標(biāo)和整數(shù)標(biāo)度，即對每個坐標(biāo)軸在間隔相等的距離上用整齊的數(shù)字標(biāo)度。標(biāo)尺的選擇原則是： 圖上觀測點坐標(biāo)讀數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。 縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的標(biāo)尺選擇應(yīng)適當(dāng)。應(yīng)盡量使圖線占據(jù)圖面的大部分，不要偏于一角或一端。 標(biāo)尺的選擇應(yīng)使圖線顯示出其特點。標(biāo)尺應(yīng)劃分得當(dāng)，以不用計算就能直接讀出圖線上每