無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課二

1、第第十一十一章章 無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課 (二二)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法一冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法求冪級(jí)數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即求冪級(jí)數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即 型、型、 0nnna x 型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。 00()nnnaxx 對(duì)于對(duì)于 型，通過求型，通過求 ，得半徑，得半徑 ， 0nnna x 1limnnnaa 1r 然后討論然后討論 處的斂散性，從而得收斂域；處的斂散性，從而得收斂域；xr 對(duì)于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論對(duì)于缺冪

2、型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論xr 處的斂散性，從而得收斂域。處的斂散性，從而得收斂域。 解題方法流程圖如下。解題方法流程圖如下。對(duì)于對(duì)于 型，令型，令 , 化為化為 型型, 可得收斂域；可得收斂域；0txx0nnna t 00()nnnaxx 解題方法流程圖解題方法流程圖 求冪級(jí)數(shù)收斂域求冪級(jí)數(shù)收斂域 判別冪級(jí)數(shù)類型判別冪級(jí)數(shù)類型 收斂域收斂域 收斂域收斂域 00()nnnaxx令令 0txx 0nnna t 討論討論 處的斂散性處的斂散性xr ， ，其它，其它 20nnna x 210nnna x 0()nnux 討論討論 處的斂散性處的斂散性 xr 1mr 當(dāng)當(dāng) 時(shí)收斂時(shí)收斂當(dāng)

3、當(dāng) 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散1|mx 1|mx 1( )lim|( )mnnnuxxux 0nnna y用比值法用比值法 令令 2yx 0nnna x 1limnnnaa 1r 123二、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法二、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對(duì)給定的求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對(duì)給定的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用“先求導(dǎo)后積分先求導(dǎo)后積分”或或“先先積分后求導(dǎo)積分后求導(dǎo)”等技巧，并利用與形如等技巧，并利用與形如 （或（或 等）等） 0nnx 0!nnnx冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。解題方法流

4、程圖如下圖所示。 求求 的和函數(shù)的和函數(shù)0nnna x 0nnna xs x 0nnns xa x 令令noyesyesno能直接求能直接求出和函數(shù)出和函數(shù)恒等變換恒等變換直接求和直接求和逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分yes 10 xs xsx dx 1s xsx 10nnnsxb x 能直接求出能直接求出和函數(shù)和函數(shù) 1sx 100 xnnnsx dxb x no 0nnna xs x yesno能直接求出能直接求出和函數(shù)和函數(shù) 1sx解題方法流程圖解題方法流程圖三、典型例題三、典型例題 【例【例1】 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑及收斂域。的收斂半徑及收斂域

5、。 1212nnnxn解：解： nnnaa1lim 1222(1)1lim221nnnnn 12r 11(,)22x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，該級(jí)數(shù)收斂。，該級(jí)數(shù)收斂。21 x 1211nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，該級(jí)數(shù)收斂。，該級(jí)數(shù)收斂。21 x 121)1(nnn故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 21,21 【例【例2】求冪級(jí)數(shù)】求冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。11(2)nnxn 解：令解：令 ，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，原?jí)數(shù)變?yōu)?tx 2nntn11 nnnaa1lim 11lim1lim nnnnnn11r 所以所以 ，即，即 時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂。時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂。121 x31

6、x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂， 1 xnnn)1(11 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為，為p-級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)發(fā)散，3 x11nn 故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。)3, 1 【例【例3】求冪級(jí)數(shù)】求冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。 1124)1(nnnnxn解：缺少偶次冪的項(xiàng)，由比值審斂法解：缺少偶次冪的項(xiàng)，由比值審斂法)()(lim1xuxunnn 2212112414144)1(limxxxnnxnnnnn 當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。1412 x2 x當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。1412 x2 x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為

7、時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。2 x 11122)1(24)1(nnnnnnnn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。2 x 111122)1()2(4)1(nnnnnnnn故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 2, 2 【例【例4】求冪級(jí)數(shù)】求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)，并求的和函數(shù)，并求 112121122)1(nnnnxn的和。的和。 11121)1(nnn解：記解：記 2112112( )( 1)21nnnns xxn 12111( 1)(2 )21nnnxn 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 1221( )2( 1)(2 )nnns xx 2214x )1|2(

8、| x積分得積分得 202( )14xs xdxx 201(2 )arctan21(2 )xdxxx )21|(| x令令 ，則，則 21 x1arctan)21( s21121121( 1)( )21 2nnnnn 111( 1)21nnn 111( 1)214nnn 二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)1泰勒級(jí)數(shù)定義：泰勒級(jí)數(shù)定義：稱為稱為 在點(diǎn)在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)。的泰勒級(jí)數(shù)。 nnnxxnxf)(!)(000)( )(xf0 x 2麥克勞林級(jí)數(shù)定義：麥克勞林級(jí)數(shù)定義：稱為稱為 的麥克勞林級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。nnnxnf 0)(!)0()(xf四、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)四、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)

9、數(shù)(冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù))直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點(diǎn)的各階直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)，寫出泰勒展開式。導(dǎo)數(shù)，寫出泰勒展開式。 間接展開法：間接展開法通常要先對(duì)函數(shù)間接展開法：間接展開法通常要先對(duì)函數(shù) 進(jìn)行進(jìn)行恒等恒等)(xf變形變形，然后利用已知展式（如函數(shù)，然后利用已知展式（如函數(shù) ，11x ,xesin , x(1)mx 的展開式等）或利用和的展開式等）或利用和函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。開成冪級(jí)數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。 求求 的冪級(jí)數(shù)展開式的冪級(jí)數(shù)展開式)(xf關(guān)于關(guān)

10、于 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)x對(duì)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo))(xf對(duì)對(duì) 積分積分)(xf)()(00 xxxfxf令令0yxx)()(yxfyg0將將 展成展成 的的冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù))(ygy)()(0nf 求求( )0(0)!nnnfxn 直接展開法直接展開法間接展開式間接展開式對(duì)對(duì) 進(jìn)行恒等變形進(jìn)行恒等變形)(xf能利用已能利用已知展開式知展開式令令0( )( )xg xf x dx nnnxbxg0)(10nnnxnbxgxf)()(令令( )( )g xfx 0( )nnng xb x 1001nxnnxnbdxxgxf)()(寫出寫出 的的 展開式展開式)(xfyes關(guān)于關(guān)于 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù))(0 xxnn

11、nxnfxf00!)()()(nono解題方法流程圖解題方法流程圖五、典型例題五、典型例題 【例【例5】將函數(shù)】將函數(shù) 展開成的展開成的 冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)，451)(2 xxxf2 x并指出收斂區(qū)間。并指出收斂區(qū)間。 解：對(duì)解：對(duì) 進(jìn)行恒等變形：進(jìn)行恒等變形：)(xf111( )314f xxx 而而 1111(2)xx 0(2) , 21nnxx 1142(2)xx 1011( 1)(2) , 22212nnnnxx 2 12x 故故 00112( )(2)( 1) () 322nnnnnxf xx 101( 1)1(2)32nnnnx 滿足滿足 ，即，即 ，成立區(qū)間為：，成立區(qū)間為： 1|2| x13 x13 x注：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)必須寫出收斂區(qū)間。注：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)必須寫出收斂區(qū)間。【例【例6】 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。12( )arctan12xf xx x分析：本題用直接方法展開非常繁瑣，用先積分后求導(dǎo)的分析：本題用直接方法展開非常繁瑣，用先積分后求導(dǎo)的間接方法是很難間接方法是很難 把展開成把展開成 的冪級(jí)數(shù)，所以，只能用的冪級(jí)數(shù)，所以，只能用)(xfx解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?2( )14fxx 而而 222011( 1) 4141(2 )nnnnxxx 1 1(, )2 2x 對(duì)對(duì) 先求導(dǎo)再積分的間接方法展開成先求導(dǎo)再積分的間接方法