高數(shù)不定積分[1]

1、高數(shù)不定積分PPT課件第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)高數(shù)不定積分PPT課件 本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)通過(guò)原函數(shù)引出了不定積分的概念本節(jié)通過(guò)原函數(shù)引出了不定積分的概念, 并得到不定并得到不定一、原函數(shù)與不定積分一、原函數(shù)與不定積分二、不定積分的計(jì)算二、不定積分的計(jì)算積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)積分的簡(jiǎn)單性質(zhì).高數(shù)不定積分PPT課件一、一、原函數(shù)和不定積分的概念原函數(shù)和不定積分的概念 1.原函數(shù)原函數(shù) 在第二章中曾提出對(duì)已知在第二章中曾提出對(duì)已知 求求 的的( ),F x( )( )F xf x求導(dǎo)問(wèn)題求導(dǎo)問(wèn)題, 而現(xiàn)在的問(wèn)題是而現(xiàn)在的問(wèn)題是:( )f x( )( )F xf x的的 這類

2、問(wèn)題就是求原函數(shù)問(wèn)題這類問(wèn)題就是求原函數(shù)問(wèn)題.( ).F x若若已知已知, 求滿足求滿足高數(shù)不定積分PPT課件即對(duì)任一即對(duì)任一 都有都有,xI( ),f x定義定義3.1 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為( )F xI dd,Fxf xF xf xx或或則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為為 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的一個(gè)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù).( )F x( )f xI例如例如 函數(shù)函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)為sinxcos , xcossin .xx又如又如,221ln1,1xxx這是因?yàn)檫@是因?yàn)楦邤?shù)不定積分PPT課件2ln1.xx故故, 的原函數(shù)為的原函數(shù)為211x 我們

3、知道我們知道, 對(duì)函數(shù)而言對(duì)函數(shù)而言, 如果導(dǎo)函數(shù)存在的話如果導(dǎo)函數(shù)存在的話, 導(dǎo)函導(dǎo)函數(shù)是唯一的數(shù)是唯一的, 但某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一呢？為此但某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一呢？為此, 先引入先引入:高數(shù)不定積分PPT課件( )( ),F xf x間間 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) 使得對(duì)任一使得對(duì)任一 都有都有I( ),F x,xI即即連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).如果如果 是是 的原函數(shù)的原函數(shù), 則則 ( )F x( )f x( )F xC的原函數(shù)的原函數(shù). 其中其中 為任意常數(shù)為任意常數(shù); 并且并且 的原函數(shù)的原函數(shù)C( )f x一定可寫成一定可寫成 的形式的形式.( )

4、F xC原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理( )f x如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)連續(xù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù), 則在區(qū)則在區(qū)I也是也是 ( )f x高數(shù)不定積分PPT課件 2.不定積分不定積分 由上面的討論由上面的討論, 可得到如下定義可得到如下定義:定義定義3.2 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi), 函數(shù)函數(shù) 的帶有任意常數(shù)的原函的帶有任意常數(shù)的原函I( )f x數(shù)稱為數(shù)稱為 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分, 記作記作( )f xI( )d .f xx其中記號(hào)其中記號(hào)稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，( )f x( )df xx稱為稱為積分號(hào)積分號(hào)，稱為稱為被積表達(dá)式被積表達(dá)式， 稱為稱為積分變量積分變量x高數(shù)不定積分PP

5、T課件 由此定義知由此定義知, 若若 是是 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 則則 f x F x f x的不定積分為的不定積分為 ( )d.f xxF xC 可見(jiàn)可見(jiàn), 要計(jì)算函數(shù)的不定積分要計(jì)算函數(shù)的不定積分, 只需找出它的一個(gè)原函只需找出它的一個(gè)原函數(shù)即可數(shù)即可.高數(shù)不定積分PPT課件例例3.1 容易得到下面的不定積分容易得到下面的不定積分:323xx1ln xxsincosxx21arctan1xx231d,3xxxC1dln,xxCxcos dsin,x xxC21darctan.1xxCx高數(shù)不定積分PPT課件 注注1 在不定積分表達(dá)式中最后的常數(shù)在不定積分表達(dá)式中最后的常數(shù) 不能漏掉不

6、能漏掉.C 注注2 如果不計(jì)任意常數(shù)，不定積分運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算如果不計(jì)任意常數(shù)，不定積分運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算d( )d( ),df xxf xx是互逆的因?yàn)椋啥x可知是互逆的因?yàn)?，由定義可知( )d( ).fxxf xC高數(shù)不定積分PPT課件二、基本積分公式二、基本積分公式 由原函數(shù)的定義由原函數(shù)的定義, 以及求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)公式, 可以得到下面這些可以得到下面這些基本積分公式基本積分公式.高數(shù)不定積分PPT課件 1d.k xkxC 12d1 .1xxxC d3ln.xxCx 2d4arctan.1xxCx 2d5arcsin.1xxCx 6cos dsin.x xxC 7sin dcos.x xx

7、C 28secdtan.x xxC 29csc dcot.x xxC 10sec tan dsec.xx xxC高數(shù)不定積分PPT課件 11csc cot dcsc.xx xxC12e de.xxxC13d.lnxxaaxCa高數(shù)不定積分PPT課件例例3.2 求求d .x x x解解35222dd.5x x xxxxC倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系高數(shù)不定積分PPT課件例例3.3 求求21d . xxx解解5221ddxxxxx3222.33xCCx x 高數(shù)不定積分PPT課件例例3.4 求求5 e d .xxx解解5 e5 e d5ed.1 ln5xxxxxxxC高數(shù)不定積分PPT課件三、不定積分的性質(zhì)和

8、應(yīng)用舉例三、不定積分的性質(zhì)和應(yīng)用舉例 由原函數(shù)與不定積分的定義不難得到如下不定積分的由原函數(shù)與不定積分的定義不難得到如下不定積分的性質(zhì)性質(zhì):高數(shù)不定積分PPT課件 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 兩個(gè)函數(shù)和（差）的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)和（差）的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù) 的不定積分的和（差）的不定積分的和（差）, 即即 df xg xx dd .f xxg xx（3.1）高數(shù)不定積分PPT課件性質(zhì)性質(zhì)2 求不定積分時(shí)求不定積分時(shí), 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可可以提到積分號(hào)外面來(lái)以提到積分號(hào)外面來(lái), 即即 dd .kf xxkf xx（3.2）高數(shù)不定積

9、分PPT課件例例3.5 求積分求積分321d .xxx解解 先將先將 展開(kāi)展開(kāi), 然后再利用積分公式及運(yùn)算法然后再利用積分公式及運(yùn)算法31x 332221331ddxxxxxxxx2133ln.2xxxCx2313dxxxx 則則, 得得高數(shù)不定積分PPT課件例例3.6 求積分求積分23d .5xxxx解解2323dd555xxxxxxx1213.ln2ln5 5ln3ln5 5xxC高數(shù)不定積分PPT課件例例3.7 求積分求積分32sind .xxx解解32sind3 d2 sin dxxxxxx x32cos.ln3xxC高數(shù)不定積分PPT課件例例3.8 求積分求積分221d .1xxxx

10、x解解 將被積函數(shù)拆成兩項(xiàng)的和將被積函數(shù)拆成兩項(xiàng)的和, 可得可得22221(1)dd11xxxxxxxxxxarctanln.xxC211d1xxx高數(shù)不定積分PPT課件例例3.9 求積分求積分42d .1xxx44221 1dd11xxxxxx 解解 分子部分減分子部分減1 1加加1 1后后, 得得 2211d1xxx 222111d1xxxx3arctan.3xxxC高數(shù)不定積分PPT課件例例3.10 求積分求積分2tand .x x2tandx x 解解 利用三角公式利用三角公式22sectan1,xx2sec1 dxxtan.xxC得得高數(shù)不定積分PPT課件例例3.11 求積分求積分2

11、sind .2xx解解 利用半角公式利用半角公式21 cossin,22xx2sind2xx11cosd2xx1sin.2xxC得得高數(shù)不定積分PPT課件例例3.12 求積分求積分221d .sincos22xxx解解 由三角公式由三角公式sin22sin cos ,xxx22214ddsinsincos22xxxxx24 cscd4cot.x xxC 得得高數(shù)不定積分PPT課件例例3.13 求積分求積分22cos2d .cossinxxxx解解 由倍角公式由倍角公式22cos2cossin,xxx222222cos2cossinddcossincossinxxxxxxxxx22cscsecd

12、xxxcottan.xxC 得得高數(shù)不定積分PPT課件例例3.14 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜且其上任一點(diǎn)處的切線斜解解 設(shè)此曲線的方程為設(shè)此曲線的方程為 由題設(shè)得關(guān)系由題設(shè)得關(guān)系( ),yf xd2 ,dyxx即即, 是是 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 因因 且曲且曲( )f x2x22 d,x xxC21.yx率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.1,C 線過(guò)線過(guò)(1, 2), 代入曲線方程得代入曲線方程得 故所求曲線的方程為故所求曲線的方程為高數(shù)不定積分PPT課件 對(duì)本例說(shuō)明對(duì)本例說(shuō)明: 函數(shù)函數(shù) 的原函數(shù)的圖形稱

13、為的原函數(shù)的圖形稱為 積分積分( )f x( )f x曲線曲線. 當(dāng)常數(shù)當(dāng)常數(shù) 取不同值時(shí)取不同值時(shí), 曲線間是平行的曲線間是平行的. 因而可因而可C2yx-1-0.50.511.52X12345y21yx通過(guò)某條積分曲線的平移得到所求曲線通過(guò)某條積分曲線的平移得到所求曲線.高數(shù)不定積分PPT課件例例3.15 以初速以初速 將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋, 不計(jì)阻力不計(jì)阻力, 求其運(yùn)動(dòng)求其運(yùn)動(dòng)0v規(guī)律規(guī)律.解解 所謂運(yùn)動(dòng)規(guī)律所謂運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 是指質(zhì)點(diǎn)的位置關(guān)于時(shí)間是指質(zhì)點(diǎn)的位置關(guān)于時(shí)間 的函數(shù)的函數(shù)t關(guān)系關(guān)系, 為此建立坐標(biāo)系統(tǒng)如下為此建立坐標(biāo)系統(tǒng)如下: 把質(zhì)點(diǎn)所在的鉛直線取作把質(zhì)點(diǎn)所在的鉛直線取作 軸軸, 方向向上方向向上, 軸與地面的交點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn)軸與地面的交點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn). x開(kāi)始時(shí)刻為開(kāi)始時(shí)刻為 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在的位置的坐標(biāo)此時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在的位置的坐標(biāo) 0,t 為為 在時(shí)刻在時(shí)刻 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為0,xt, x所求函數(shù)為所求函數(shù)為 .xx tOx0 x設(shè)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng) 高數(shù)不定積分PPT課件 由導(dǎo)數(shù)的物理意義知道由導(dǎo)